基于平面立體的三視圖繪制正等軸測圖教學(xué)探析

朱仕成

摘? ?要：三視圖是高中通用技術(shù)學(xué)科具有深刻內(nèi)涵的技術(shù)圖樣語言，也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。通過繪制正等軸測圖來識讀三視圖是提高學(xué)生通用技術(shù)學(xué)科“圖樣表達(dá)”核心素養(yǎng)的重要載體。對通用技術(shù)《技術(shù)與設(shè)計(jì)1》蘇教版教材中三視圖、正等軸測圖的教學(xué)內(nèi)容重構(gòu)，基于平面立體的三視圖繪制正軸測圖的教學(xué)中引入數(shù)學(xué)三維坐標(biāo)（x，y，z）概念，創(chuàng)造坐標(biāo)描點(diǎn)繪圖法，實(shí)現(xiàn)二者互為轉(zhuǎn)換的融合教學(xué)探索。

關(guān)鍵詞：通用技術(shù);三視圖;正等軸測圖;坐標(biāo)

1? 問題來源

“圖樣表達(dá)”是普通高中通用技術(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，是運(yùn)用圖樣形式對意念中或客觀存在的技術(shù)對象進(jìn)行可視化的描述和交流[ 1 ]。 而三視圖、正等軸測圖已成為一種具有深刻內(nèi)涵的圖樣語言，可以快捷、高效、豐富地呈現(xiàn)設(shè)計(jì)方案。能識讀一般的機(jī)械加工圖是學(xué)生用技術(shù)語言實(shí)現(xiàn)抽象與具體思維轉(zhuǎn)換能力的重要評價(jià)指標(biāo)。新版的通用技術(shù)《技術(shù)與設(shè)計(jì)1》蘇教版教材將“繪制簡單形體的正等軸測圖”置于“繪制三視圖標(biāo)注尺寸”之后，增加了由疊加法繪制形體的正等軸測圖來識讀三視圖的內(nèi)容。彌補(bǔ)了舊教材對“繪制正等軸測圖幫助學(xué)生識讀三視圖的作用”的忽視。同時(shí)，三視圖作為高中數(shù)學(xué)新教材新增內(nèi)容，曾是高考的常考知識點(diǎn).識讀三視圖的試題經(jīng)“考”不衰。很多學(xué)生能將“長對正，高平齊，寬相等”記得爛熟，也對簡單幾何體的三視圖了如指掌，可處理這類問題時(shí)仍力不從心，無從下筆[ 2 ]。

平面立體的三視圖還原是識讀三視圖的基本功。 如何幫助學(xué)生能從具體案例中抽象出識讀三視圖的一般方法，迅速實(shí)現(xiàn)由二維平面到三維空間的轉(zhuǎn)換，從而發(fā)展學(xué)生空間想象能力呢？這一問題是所有高中通用技術(shù)老師和數(shù)學(xué)老師的聚焦點(diǎn)。筆者經(jīng)過深入研究，發(fā)現(xiàn)引入坐標(biāo)概念，基于平面立體的三視圖繪制正等軸測圖，應(yīng)用坐標(biāo)描點(diǎn)繪圖法，具有簡單易行、立竿見影的效果。

2? 引入坐標(biāo)概念

令正等軸測圖的三維笛卡爾坐標(biāo)（x，y，z）的x值為長度值，y值為寬度值，z值為高度值，原點(diǎn)o（0，0，0）。三視圖中主視圖所在坐標(biāo)系為xoz，原點(diǎn)o（0，0）設(shè)置為過最右側(cè)點(diǎn)的豎直線與過最下邊點(diǎn)的水平直線相交點(diǎn)，x值為長度值， z值為高度值;相似的俯視圖所在坐標(biāo)系為xoy，原點(diǎn)o（0，0）設(shè)置為過最右側(cè)點(diǎn)的豎直線與過最上邊點(diǎn)水平線相交點(diǎn)，x值為長度值， y值為寬度值;相似的左視圖所在坐標(biāo)系為yoz，原點(diǎn)o（0，0）在設(shè)置為過最左側(cè)點(diǎn)的豎直線與最下邊點(diǎn)的水平直線相交點(diǎn)， y值為寬度值，z值為高度值。這樣使三視圖與正等軸測圖之間通過坐標(biāo)建立起一一對應(yīng)聯(lián)系，通過坐標(biāo)描點(diǎn)繪圖可以快速實(shí)現(xiàn)由二維平面到三維空間的轉(zhuǎn)換。如圖1所示是正立方體的三視圖和對應(yīng)的正等軸測圖（伸縮系數(shù)簡化為1，下同）。

在教學(xué)中，教師結(jié)合圖1講解正等軸測圖三維笛卡爾坐標(biāo)（x，y，z）的建立及其與三視圖的對應(yīng)關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三視圖投影規(guī)律“長對正、高平齊、寬相等”，準(zhǔn)確標(biāo)出正立方體正等軸測圖中未標(biāo)出坐標(biāo)的輪廓線交點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y，z）。

評述：三視圖三個(gè)視圖的二維笛卡爾坐標(biāo)系原點(diǎn)的設(shè)置是關(guān)鍵，必須明確使它們的“長、高、寬”方向的值與正等軸測圖三維笛卡爾坐標(biāo)（x，y，z）的“x值、y值、z值”相等。即正等軸測圖的三維笛卡爾坐標(biāo)（x，y，z）的x值為長度值，y值為寬度值，z值為高度值。 從而建立起二維平面到三維空間轉(zhuǎn)換的橋梁。

3? 繪制正等軸測圖

基于平面立體的三視圖繪制正等軸測圖，可根據(jù)三視圖上的基本尺寸采用坐標(biāo)描點(diǎn)法繪制完成。

案例1：根據(jù)如圖2所示平面立體三視圖，畫出它的正等軸測圖。

其繪圖步驟如下：

（1）根據(jù)形體的結(jié)構(gòu)特征，建立三維笛卡爾坐標(biāo)系，軸間角互為120°，z軸在豎直方向上，確定x軸、y軸、z軸在圖紙上的位置。

（2）根據(jù)三視圖的投影規(guī)律“長對正、高平齊、寬相等”標(biāo)出各點(diǎn)的三維笛卡爾坐標(biāo)（x，y，z）。按照 “抓主視，分線框，對投影，標(biāo)坐標(biāo)”的方法逐個(gè)標(biāo)注各點(diǎn)的坐標(biāo)。

（3）繪制坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，連接相應(yīng)的輪廓線。如圖3所示。在逐個(gè)坐標(biāo)平面上按坐標(biāo)進(jìn)行描點(diǎn)，再用細(xì)直線連接。

（4）繪制坐標(biāo)空間上的點(diǎn)，連接相應(yīng)的輪廓線。如圖4所示。作豎直線必須與z軸平行，用刻度尺或圓規(guī)截取高度。

（5）去除輔助線，虛化或去除不可見的輪廓線，加深輪廓線。

評述：該案例是由一個(gè)長方體通用兩次切割形成的，在機(jī)械制圖教學(xué)中一般采用“抓主視、按線框、對投影、想形狀”的方法，繪制正等軸測圖來還原三視圖，這需要學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象力，并且熟悉基本幾何形體的三視圖，這對于空間想象力差、基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生有一定的困難。高中數(shù)學(xué)上常用的拔高法也相對較復(fù)雜。而上述筆者創(chuàng)建的坐標(biāo)描點(diǎn)繪圖法，對基礎(chǔ)差的學(xué)生也能迅速繪制出來。

案例2：如圖5所示是某三棱錐的三視圖，畫出它的正等軸測圖。

分析：根據(jù)前述坐標(biāo)描點(diǎn)繪圖法建立正等軸圖的三維笛卡爾坐標(biāo)系;依據(jù)坐標(biāo)（x，y，z）的x值為長度值，y值為寬度值，z值為高度值，以及三視圖“長對正、高平齊、寬相等”投影規(guī)律，依次描出各點(diǎn)在坐標(biāo)空間的位置，再對照三視圖用直線段進(jìn)行連接，如圖6所示，最后去除輔助線、去除或虛化不可見輪廓線，加深輪廓線即可。

評述：該案例是一個(gè)簡單的組合體結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)采用疊加法進(jìn)行繪制，難點(diǎn)在于上方三棱柱的擺放位置。若弄不清三視圖的方位關(guān)系，往往容易畫錯(cuò)。而應(yīng)用坐標(biāo)描點(diǎn)繪圖法則可一氣呵成，有效避免類似的錯(cuò)誤。

4? 結(jié)束語

通過上述三視圖、正等軸測圖的融合教學(xué)，可以深化學(xué)生對三視圖投影規(guī)律“長對正、高平齊、寬相等”的理解和熟練應(yīng)用，辨析三視圖與正等軸測圖的關(guān)系，正確繪制簡單形體的正等軸測圖。在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生的獨(dú)立思考，給學(xué)生足夠的思維時(shí)間或?qū)嵺`機(jī)會。特別是繪制圖樣的實(shí)踐教學(xué)，不能只注重教師的講，而忽視學(xué)生的學(xué)。教師要緊扣概念，通過實(shí)踐引領(lǐng)學(xué)生深剖概念的內(nèi)涵與外延，真正落實(shí)“做中學(xué)，學(xué)中做”的課程理念。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中通用技術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社， 2018：4-5.

[2]何業(yè)亮.割補(bǔ)法在三視圖還原空間幾何體中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（3）：21-22.