基于變分模態分解的侵徹過載信號特征提取

張晨陽，張 亞，李培英，李世中，趙海峰

(1.中北大學機電工程學院，山西 太原 030051;2.邯鄲學院，河北 邯鄲 056005;3.南京信息職業技術學院機電學院，江蘇 南京 210023)

0 引言

彈體在侵徹彈靶過程中產生的減加速度稱為侵徹過載信號[1]。侵徹過載信號的成分復雜，不僅包括由彈體和彈靶的應力作用產生的剛體加速度，還包括彈體的振動響應、彈靶的應力波響應以及噪聲等干擾信號[2]。因此，分析侵徹過載信號的首要任務在于尋找一種有效的信號特征提取方法，濾除侵徹過載信號中的干擾信號，提取到僅由應力作用產生的侵徹過載信號[3-4]。

文獻[5]采用機械濾波的方法在壓電傳感器的兩端加入減震片，只能濾除指定頻率范圍的干擾信號，無法提取出疊加在彈體上的頻率響應。文獻[6]采用小波分解法，相對完整地保留了侵徹過載信號中的波峰部分和突變部分，但該方法只能表征以低頻信號為主要成分的信號特性，不能有效分解包含大量細節信息的信號，并且其算法本身缺乏自適應性,容易受到小波基函數、分解層數以及閾值的影響。文獻[7]采用小波包分解法，對分解后的高、低頻分解系數繼續分解，得到了更精確的頻譜成分以及更多頻段信號所包含的信息。文獻[8]采用經驗模態分解(empirical mode decomposition,EMD)循環篩分的方式實現了信號的有效分解，但EMD以包絡線分解結束作為判斷標準，缺乏理論支撐，且多次遞歸分解會放大包絡估計誤差，容易出現模態混疊和端點效應問題。集合經驗模態分解和完備集合經驗模態分解在一定程度上解決了EMD的模態混疊問題，但同時加大了算法計算量，且仍未解決端點效應問題[9-10]。文獻[11]根據變分思想和維納濾波器提出一種非遞歸式變分模態分解(variational mode decomposition,VMD)算法，該算法的循環迭代過程是在變分模型的約束下進行，通過求取有限變分模型的最優解，確定每個本征模態函數的中心頻率和帶寬，然后根據輸入信號的頻域特征，實現信號各頻率成分的自適應分解[12-13]。該方法目前已實際應用于軸承故障診斷、生物組織識別診斷、復雜信號分析處理等方面[14-15]。針對傳統侵徹過載信號處理方法存在濾波效果不佳、模態混疊、端點效應、自適應性差的問題，本文提出基于變分模態分解的侵徹過載信號特征提取方法。

1 VMD理論

VMD是基于維納濾波、希爾伯特變換與解析信號、頻率混合等理論基礎提出的一種信號分解方法，以尋找變分模型的最優解為目標，將信號自適應地分解為有限個具有稀疏特性的模態函數。

1.1 維納濾波

含有高斯白噪聲的時域信號表達式如下：

f0=f+n

(1)

式(1)中，f0為觀測信號，f為原始信號，n為均值為0的高斯白噪聲。

從含噪的觀測信號中恢復出原始信號是一個病態逆問題，可采用Tikhonov正則化求解，即構造式(2)：

(2)

式(2)中，α為高斯白噪聲方差，?tf為f對t求偏導。利用歐拉-拉格朗日方程可將式(2)化為：

(3)

通過傅里葉變換，得到上式在頻域內的解為：

(4)

原始信號f是觀測信號f0在ω=0附近的低通窄帶，因此維納濾波器對信號具有一定的降噪能力。除此之外，維納濾波器對信號還具有一定的約束能力，為建立VMD算法中的約束變分模型奠定了基礎。

1.2 希爾伯特變換與解析信號

設f(t)為一個連續的時間信號，其希爾伯特變換定義為：

(5)

式(5)中，H算子表示希爾伯特變換，f(t)的希爾伯特變換為f(t)與1/πt的卷積，表明希爾伯特變換所得結果為線性時不變系統的輸出。系統的脈沖響應h(t)=1/πt，對應的傅里葉變換見式(6)，因此希爾伯特變換可視為一個全通濾波器。

(6)

希爾伯特變換常用于構造實信號的解析信號。設信號f(t)為實信號，其復數解析信號定義為：

fA(t)=f(t)+jHf(t)=A(t)ejφ(t)

(7)

式(7)中，A(t)為振幅，φ(t)為相位。VMD中模態函數的振幅變化緩慢，根據Bedrosian定理，可將解析信號化為：

uk,A(t)=Ak(t)[cos(φ(t))+jsin(φ(t))]=
Ak(t)ejφ(t)

(8)

解析信號的單邊頻譜僅由非負頻率組成，因此可通過求解析信號的實部恢復出原始實信號。

f(t)=R{fA(t)}

(9)

1.3 頻率混合

頻率混合是指在處理多個不同頻率的非線性信號時，分析結果中出現頻率交叉項的現象。設兩個非線性信號的頻率分別為ω1和ω2，二者相乘結果如下：

2cos(ω1t)cos(ω2t)=
cos[(ω1+ω2)t]+cos[(ω1-ω2)t]

(10)

在輸出端得到兩個混合頻率ω1+ω2和ω1-ω2。同樣，用解析信號表示可得：

ejω1tejω2t=ej(ω1+ω2)t

(11)

而在傅里葉變換域中有：

(12)

由式(12)可知，在復頻域中，解析信號與純指數函數相乘相當于發生了頻移。

2 基于VMD的侵徹過載信號特征提取方法

VMD將侵徹過載信號f(t)分解為有限個具有固定帶寬的本征模態函數，以每個本征模態函數及其中心頻率附近的窄帶信號構造變分模型，通過交替方向乘子法在其頻域內迭代求解，將f(t)分解為各本征模態函數的線性組合。

2.1 構建變分模型

在VMD中將本征模態函數定義為一組調幅-調頻信號，表達式如下：

uk=Ak(t)cos(φk(t))

(13)

式(13)中，Ak為本征模態函數的瞬時振幅，φk是相位，對相位求導可得瞬時頻率ωk(t)。

ωk(t)=φ′k(t)

(14)

為了使本征模態函數既能最大化包含侵徹過載信號中的有用信息，又具有一定的稀疏度，將本征模態函數看作幅值為Ak，頻率為ωk(t)的正弦波，并通過以下3步建立變分模型：

1)對每個本征模態函數進行希爾伯特變換，求出相應的解析信號，獲得單邊頻譜：

(15)

2)為每個本征模態預估一個中心頻率ωk(t)，將各模態解析信號的頻譜搬移至基帶：

(16)

3)計算解調信號的H1高斯平滑度即梯度的平方范數，估算各本征模態函數的帶寬，建立變分模型。

(17)

2.2 求解變分模型

為了將求解變分模型最優解的約束變分問題轉化為非約束變分問題，引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘子λ(t)，表達式如下：

(18)

采用交替方向乘子法求解增廣拉格朗日函數的鞍點uk和ωk，即為該非約束變分問題的解。求解uk和ωk的具體步驟如下：

1)求解uk。將式(18)中的非約束變分問題轉化為uk最小化問題。

(19)

在傅里葉域內采用L2范數下的Parseval/Plancherel傅里葉等距求解式(19)。

(20)

將式(20)中第一項的ω替換為ω-ωk，結果如下：

(21)

利用重構保真度項中實信號的厄米特對稱性，將式(21)改寫成積分形式：

(22)

可得uk最小化結果如下：

(23)

2)求解ωk。由于中心頻率ωk不包含在重構保真項中，可將式(18)化簡如下：

(24)

與uk的求解過程相同，對式(24)在傅里葉域內進行求解：

(25)

可得ωk最小化結果如下：

(26)

拉格朗日乘子的迭代計算結果如下：

(27)

2.3 重構侵徹過載信號

重構信號不僅要最大程度地保留侵徹過載信號特征，而且要去除侵徹過載信號中的干擾信號。為此引入均方誤差μ和曲線光滑度ρ兩個參數構造目標函數，判斷各重構信號的特征提取效果，以確定重構信號，目標函數如下：

η=a×μ+(1-a)ρ

(28)

式(28)中，η為提取效果，a為比例系數。

3 侵徹實驗及結果分析

3.1 侵徹實驗

為了獲取彈體侵徹過載信號，使用如圖1所示的彈載測試系統進行侵徹過載實驗。實驗流程如下：首先將彈載測試系統安裝在實驗彈體底部，在侵徹實驗中由加速度傳感器測得彈體侵徹振動信號；然后振動信號經信號處理器放大、濾波后，傳送到模數轉換器中進行模數轉換并存儲到數據存儲器中；在實驗結束后，通過測試系統的數據接口將數據讀取出來。實驗測得的彈體侵徹過載信號曲線如圖2所示，測得彈體侵徹深度為100.42 cm。侵徹實驗效果如圖3所示。

圖1 彈載測試系統Fig.1 Bomb test system

圖2 彈體侵徹過載信號曲線Fig.2 The projectile penetrates the overload signal curve

圖3 侵徹實驗效果Fig.3 Penetration experiment effect

3.2 實驗信號變分模態分解

以1 kHz作為采樣頻率對侵徹過載信號進行變分模態分解。由于信號分量個數未知，為確定本征模態函數分解個數K，將各本征模態函數的中心頻率按從低到高排列，并觀察其中心頻率曲線的變化結果如圖4所示，為了使圖像顯示更加明晰，對X坐標軸使用對數坐標。

由圖4可知，K取9時本征模態函數的中心頻率曲線沒有重疊且高頻部分間隔較為均勻；K取10時中心頻率曲線在高頻部分間隔較近，容易發生重疊，所以K取9。K取9時，各本征模態函數圖像如圖5所示。

圖4 中心頻率變化曲線Fig.4 Center frequency curve

圖5 各本征模態函數圖像Fig.5 Images of each eigenmode function

3.3 重構侵徹過載信號

為了去除變量間的量綱關系，使數據具有可比性，對計算的均方誤差和曲線光滑度進行標準化處理，同時為了使重構信號兼顧保留侵徹過載信號特征及去除侵徹過載信號中的干擾信號，式(28)中的a取0.5。均方誤差、曲線光滑度及目標函數圖像如圖6所示。

由圖6可知，目標函數在第2個重構信號處的計算結果最低，即第2個重構信號的重構效果在9個重構信號中為最佳，因此取第2個重構信號作為VMD重構信號。VMD重構信號波形圖及誤差如圖7所示。

圖6 均方誤差、曲線光滑度及目標函數曲線Fig.6 Mean square error,curve smoothness and objective function curves

圖7 VMD重構信號波形圖及誤差Fig.7 VMD reconstruct signal waveform and error

3.4 實驗結果分析

為了驗證VMD處理侵徹過載信號的可行性和有效性，采用EMD處理同一侵徹過載信號，得到兩種處理方法下的重構信號波形對比圖如圖8所示。

圖8 兩種方法重構信號波形對比圖Fig.8 Two methods of reconstructing signal waveform contrast diagram

由圖8可知，VMD重構信號在保留侵徹過載信號數據特征規律的同時，信號曲線更為光滑。為了進一步比較二者的特征提取效果，一方面計算兩個重構信號的信噪比，另一方面對兩個重構信號在時域內進行二次積分，計算彈體的侵徹深度(見圖9)并與實際侵徹深度比較，計算結果見表1。

圖9 重構信號侵徹深度曲線Fig.9 Reconstruct the signal penetration depth curves

表1 兩種方法的處理效果Tab.1 The treatment effect of two methods

由表1可知，VMD重構信號的計算侵徹深度為98.43 cm與實驗測得的彈體侵徹深度100.42 cm更為接近，且VMD重構信號的信噪比更高，因此VMD比EMD更具可行性和有效性。

4 結論

本文提出了基于VMD的侵徹過載信號特征提取方法，該方法將侵徹過載信號的特征提取過程轉移到變分框架內進行處理，通過尋找變分模型的最優解獲取本征模態函數，能夠自適應地實現信號的頻域劃分和各分量的有效分離，并有效地提取出侵徹過載信號的數據統計特性，在分析處理非平穩、非線性、多尺度的信號中具有優良的噪聲魯棒性。通過處理實驗測得的侵徹過載信號，驗證了VMD方法的可行性和有效性，與EMD的處理效果對比，得出以下結論：

1)相比于EMD，VMD在侵徹數據的事后處理方面對噪聲具有更好的抑制作用且重構信號的積分侵徹深度更接近實驗侵徹深度；

2)VMD在保留原始信號變化趨勢的基礎上有效地去除了高頻噪聲，提高了重構信號的曲線光滑度，有助于進一步分析信號的數據統計特性；

3)VMD為研究侵徹實驗中的侵徹數據事后處理提供了新方法，通過分析處理提取出的重構過載信號，獲得重構過載信號的數據統計特性，挖掘其中蘊含的深層信息，進而分析彈體的侵徹過程，對彈體強度設計、引信結構設計、防御工事的材料選擇和結構設計都具有重要意義。