基于最小均方誤差的兩步信號幅度估計算法

杜立嬋，黃繹琿

(1.南寧職業技術學院人工智能學院，廣西 南寧 530008;2. 廣西大學計算機與電子信息學院，廣西 南寧 530004)

0 引言

快速發展的無線通信技術實現了更高效的信息傳遞，但也使通信環境變得更加復雜，接收機同時接收到多個信號的情況難以避免，如微小衛星平臺的PCMA信號偵收[1-3]、星載AIS信號探測[4]等。因此，研究單通道接收數字調制混合信號有重要的應用價值[5-6]。而如何快速準確地獲知混合信號的參數，特別是幅度參數，是后續信號處理不可缺少的一環，直接影響著信號處理的速度和精度。因此研究單通道混合信號幅度估計問題具有重要的實用意義。

通信信號在傳輸過程中，信號幅度受信道衰落和噪聲等因素的影響發生改變，幅度估計的精度直接影響到后續解調算法性能的優劣，因此幅度估計是信號盲分離的重要環節。對于單個信號的幅度估計，主要有極大似然估計方法、傅里葉譜分析法[7]和高階差分法[8]等。文獻[9]提出了一種適合于PCMA系統中幅度估計的基于判決反饋的迭代算法，算法性能在較高信噪比下接近克拉美羅不等式；文獻[10]提出基于MAX-MIN思想的幅度盲估計算法，該算法在兩路信號幅度差異較大條件下有著較好的估計性能，但算法性能受頻率估計精度影響較大，且不適用于兩路信號幅度相當的情況；針對于此情況，文獻[11]提出了一種獨立于載頻估計的算法，算法的適應性和穩健性較好；文獻[12]通過搜索零頻率處循環頻率軸上的大強度譜線進行混合信號的幅度估計，算法無需任何先驗信息，對功率差異不大的混合信號幅度具有較高的估計精度，但不適用于兩路信號幅度相差較大的情況；文獻[13]通過高次方法對混合信號的幅度進行估計，該方法適用于兩路信號幅度值相當的情況，而當幅度差距較大時，忽略算法的交叉項帶來較大的誤差，方法不再適用。

綜上所述，目前已有的方法在幅度估計精度上受較多因素影響且精度不足，應用范圍受限。混合信號的幅度估計，特別是高精度的幅度估計，對信號盲分離有重要意義，一些現有的單通道盲分離算法需要幅度的估值作為設置初始值的依據，但沒有給出幅度估計的方法[14-15]。本文針對單通道數字混合信號幅度估計精度不足的問題，提出了基于最小均方誤差的兩步信號幅度估計方法。

1 混合信號幅度粗估計

接收端接收到兩個信號，復基帶模型可以寫成：

(1)

式(1)中，Ak(t)表示兩路信號的傳輸衰落，fk表示兩路信號的載波頻率偏差，θk表示兩路信號的載波初相，v(t)為信道引入均值為零的復加性高斯白噪聲(additive white gauss noise,AWGN)，單邊功率譜密度為N0/2，x1(t)和x2(t)為接收到的兩路獨立的同數字調制方式復基帶信號，可以表示為：

(2)

(3)

y(t)=A1ej(2πf1t+θ1)x1(t)+A2ej(2πf2t+θ2)x2(t)+v(t)

(4)

1.1 四次方法

為了方便分析，對式(4)的接收信號模型進行頻率變換y(t)=y(t)e-j2πf1t，得：

y(t)=A1ejθ1x1(t)+A2ej(2π(f2-f1)t+θ2)x2(t)+v(t)

(5)

接下來y(t)對信號做四次方運算，然后對運算后的信號按采樣點求平均，即：

(6)

式(6)中，E{·}表示求平均運算。由于兩路信號是獨立調制且高斯白噪聲是零均值的，利用分量信號內各符號獨立性與數字調制信號的恒模特性，可得：

(7)

可將升余弦脈沖分量與調制信號分量分離開來，將上式定義為常數G。殘余頻偏導致式(6)第二項趨于零，由四次方平均值的模值與常數G即可估計出第1 路信號幅度值：

(8)

同理，可用類似的方法得到第2路信號的幅度估值。

該方法適用于兩路信號幅值相當的情況，而當兩路信號幅值差異較大時，式(6)第二項不再趨于零，按照此方法進行幅度估計將會帶來較大的誤差，方法將不再適用。

1.2 MAX-MIN法

當兩路信號幅值差距較大時，假設A1>A2，即第一路信號的幅值強于第二路信號。同樣對接收信號模型進行頻率變換y(t)=y(t)e-j2πf1t。此時，y(t)的離散采樣值y(k)=y(kT)將聚合在第一路信號的星座點周圍。此時，將2π相平面分為D個相同大小的區間，依次記做Ω0,Ω1,Ω2,…,ΩN-1(N足夠大)，則可以得到兩個分量信號的幅度估值：

(9)

(10)

至此，得到了兩種不同情況下信號的幅度估值，可設置為下一步精估計算法的初值。

2 混合信號幅度高精度估計

對接收到的信號按P/T速率進行采樣，可以得到離散基帶信號：

(11)

對于式(11)表示的信號模型，假設已經由以上方法估計出信號幅值，因為本文只研究信號幅值的高精度估計問題，則設其他參數已知(包括相位、時延和頻偏)，模型可以進一步寫成：

(12)

(13)

根據四階累計量的性質，可得：

Lys(l,m,n)=γxLb(l,m,n)

(14)

Ly(l,m,n)=Lys(l,m,n)+Ln(l,m,n)

(15)

其中，E{x(k)4}-[3·E{x(k)2}]2=γx≠0，接收信號y(k)、濾波器輸出ys(n)的四階累計量定義如下：

Ly(l,m,n)=My,4(l,m,n)-My,2(l)·
My,2(n-m)-My,2(m)·My,2(n-l)-
My,2(n)·My,2(m-l)

(16)

Lys(l,m,n)=Mys,4(l,m,n)-Mys,2(l)·
Mys,2(n-m)-Mys,2(m)·Mys,2(n-l)-
Mys,2(n)·Mys,2(m-l)

(17)

式中，二階矩My,2(j)，Mys,2(j)和四階矩My,4(l,m,n)，Mys,4(l,m,n)定義如下：

Ln(l,m,n)=0

(18)

Ly(l,m,n)=Lys(l,m,n)

(19)

由于s(n)是獨立產生序列，可得：

(20)

高精度估計就是使整個接收序列y(k)的四階累計量的均方誤差J1最小：

(21)

式(21)中，

(22)

用最優梯度法對J1求導，可得：

(23)

F(l,m,n,h)=b(h+l)b(h+m)b(h+n)u-1(L-h-n)+
b(h-l)b(h+m-l)b(h+n-l)u-1(h-l)u-1×
(L-h-n+l)+b(h-m)b(h+l-m)×
b(h+n-m)u-1(h-m)u-1×
(L-h-n+m)+b(h-n)×
b(h+l-n)b(h+m-n)u-1×
(h-n)u-1(L-h-m+n)
0≤h≤L

(24)

式(24)中，

(25)

通過迭代更新b(h)：

(26)

正數μ稱為步長參數(step size parameter)或者步長因子，它將控制算法的迭代速度，可得：

0

(27)

bk(h)→b(h)

(28)

信道參數的組合中，使用了時延、頻偏以及初相的準確值，由式(19)可知，信道參數的誤差與兩路信號的幅值誤差成線性關系，所以由此得出兩路信號的高精度估計幅值。

3 仿真結果與分析

仿真實驗采用兩路QPSK信號的混合，采樣率、頻偏等參數都是相對于符號率的歸一化參數，碼元隨機均勻產生且獨立同分布，假設已知兩個信號的頻偏f1=1×10-2,f2=1.001×10-2，符號速率分別為80和100 kHz，過采樣倍數P=4，成型濾波器滾降系數β=0.35，等效濾波器長度L=17，迭代步長μ=0.01，其余參數設置為：θ1=π/4,θ2=π/8,ε1=0.8,ε2=0.65，信噪比定義為SNR=10·lg[((|A1|2+|A2|2)Es)/2N0]，單路信號的幅度估計誤差定義為：

(29)

平均誤差定義為：

MSE(A)={MSE(A1)+MSE(A2)}/2

(30)

3.1 不同符號數下算法性能的對比

本實驗考察不同符號數目對算法精度的影響。采用符號數目分別為30 000,35 000和40 000，兩信號幅度比A1/A2=0.9，幅度粗估計采用四次方法進行，得到的幅度估計誤差曲線如圖1所示。

圖1 不同符號數下算法性能的對比Fig.1 Comparison of algorithm performance under different symbol numbers

從圖1中可以看出，兩種算法的幅度估計誤差隨數據長度的增加而減小，在符號數為35 000，信噪比為12.5 dB時，兩種算法的幅度估計誤差均在2×10-2以內。分析算法原理可知，四次方算法涉及四階統計量、本算法涉及四階累計量，需要較長的數據才能提升估計精度，所以兩者適合數據量較大的參數估計場合。為了滿足后續處理需求，一般采用符號數30 000以上，例如，本文其他仿真實驗參數估計采用符號數為35 000。

3.2 幅度估計算法對比

當兩信號幅度比大于0.6且小于1時[16]，即0.6

圖2 四次方法與本算法性能對比Fig.2 Comparison of the performance of the quadratic method and this algorithm

從圖2中可以看出，四次方法估計精度基本不受信噪比增加的影響，分析算法原理可知，四次方法利用了信號內各個符號間的獨立性、數字信號的恒模特性及噪聲方差可忽略性原理，避免了噪聲對信號幅度估計的影響；而本文算法的估計精度則隨信噪比的增加而提高，盡管本文算法是基于累積量的原理構造代價函數，但是本文算法有自適應迭代提升精度的過程，所以算法性能曲線有一定的提升。在信噪比較低的情況下，兩種算法的估計誤差均比較大，主要是因為信道環境惡劣，四次方法賦給本文算法的初值誤差較大；隨著信噪比的升高，本文算法幅度估計精度有所提升，在信噪比為15 dB時，精度達到了10-2量級，證明了算法的有效性。

在實驗條件A1/A2=0.2的條件下，圖3給出了MAX-MIN方法和本文算法在不同信噪比下幅度估計誤差曲線。由圖3可知，當兩信號幅度比為0.2且信噪比大于13 dB時，MAX-MIN方法的平均誤差在2%左右，所以MAX-MIN方法適用于兩路幅度差異較大的混合信號幅度估計。對于不存在近似運算的MAX-MIN方法，無論是大信號還是小信號，在幅度比較小時都能提供較為準確的估計，在信噪比為15 dB時，精度可達到10-3量級。本文算法在信噪比為13 dB時，精度達到了10-3量級。

圖3 MAX-MIN方法與本算法性能對比Fig.3 Comparison of the perfor-mance of MAX-MIN method and this algorithm

需要說明的是，本實驗算法對比中，信號2的幅度估計誤差要低于信號1：一是因為信號2的幅度值更大，代表信號能量越大，估計誤差更小；二是因為信號2的符號速率大于信號1，對于同樣的采樣點來說，信號2參與估計算法的符號數要多于信號1，符號數越多則統計量的估計值也就越準確。

3.3 算法的收斂速度

本節考察以四次方法為粗估計算法的條件下，本文算法隨迭代次數的收斂速度情況。實驗條件設定為：信噪比15 dB，h1、h2的準確值h1=0.448 2,h2=0.567 5，迭代步長μ=0.01，符號數目N=35 000。從圖4、圖5中可以看出，在經過四次方法估計之后，兩信號幅值估計較為準確，均在2%左右，本算法經過50次的迭代后，誤差減少一半以上，經過大約1 000次的迭代，誤差可以達到10-5量級，精度提升作用明顯。在實驗中取迭代次數為50次，精度已經能滿足后續處理的要求。

圖4 本算法h1收斂曲線Fig.4 h1 convergence curve in this algorithm

圖5 本算法h2收斂曲線Fig.5 h2 convergence curve in this algorithm

4 結論

本文提出了基于最小均方誤差的兩步信號幅度估計方法，該方法采用高次方法或最大最小法進行幅度的粗估計，然后利用接收序列累積量的最小均方誤差準則，通過自適應迭代更新參數，提升了分量信號的幅度估計精度。仿真實驗表明了本算法的有效性，算法經過50次迭代后，幅度估計誤差減少一半以上，參數估計精度提升明顯。算法收斂速度快，應用范圍廣，做到了性能和復雜度的較好折中，具有實用價值。