解密轉盤游戲中的數學原理

◆湖北省赤壁市第一中學 謝雅蘭 定 涵

一天上午，我們在路邊看到這樣一個游戲：攤販前面放一張畫有轉盤的白紙，獎品擺在轉盤的周圍，有氣球、鉛筆、橡皮擦、鐘表、溜冰鞋等，然后，攤販拿出一副撲克牌讓玩客任意抽出兩張，并事先說好向哪個方向轉，將抽出的兩張撲克的數字相加（J、Q、K分別為11、12、13，A為1），得到數字n，就從n開始按照事先說好的方向轉n-1步，轉到哪個數字，那個數字前的獎品就歸玩客。但唯有轉到數字“1”的位置時，如圖1，就必須付2元錢，轉到其他位置都不必付錢。

圖1

通過一段時間的觀察我們發現，所有參與游戲的玩客不是轉到要付2元錢的位置即數字“1”，就是轉到一些價值較小的獎品位置，而擺放鐘表、溜冰鞋等貴重獎品的位置沒有一個玩客轉到過。

轉盤上有26個位置，獲獎的可能性有25/26，需要付2元錢的可能性只有1/26，怎會沒有人中大獎呢？其中是不是有“機關”？我們對此展開了探究。

一、用觀察法解密

1.過程

從轉盤上的任何一個數字開始向左轉或向右轉，按照小攤販設定的轉法，轉到付2元錢的位置所轉過的最少步數恰好比這個數字少1（比如數字6，逆時針轉5步到付2元錢的位置“1”，順時針轉5步到數字17）。因此，抽到的撲克數字之和無論是多少，或者左轉或者右轉，按照游戲規定的轉法，只有兩種結果，一個方向是轉到付2元錢的位置；另一個方向是轉到奇數的位置，絕對不會轉到偶數的位置。

因為如果抽出的兩張撲克牌的數字相加是奇數n，從這個數字開始轉n-1（為偶數）步，相當于增加了“偶數”，奇數+偶數=奇數；如果抽出的兩張撲克牌的數字相加是偶數n，從這個數字開始轉n-1（為奇數）步，相當于增加了“奇數”，偶數+奇數=奇數。

我們觀察轉盤上獎品的分布發現，鐘表、溜冰鞋這類價格高的獎品都放在偶數字前，而奇數字前只有氣球、鉛筆等價值較小的獎品。因為按照攤販規定的游戲玩法，無論怎么轉也轉不到偶數字的位置，所以玩客就得不到價格高的獎品了。

2.結論

通過觀察分析，我們發現了游戲的騙人“機關”：每轉一次只有兩種可能，要么轉到付2元錢的位置，要么轉到奇數字位置，玩客付2元錢與得到小獎品的概率都是1/2，相當于將每件價值幾角錢的小物品用2元錢的價格賣出去。因此，玩客玩的次數越多，輸的可能性就越大。

二、用歸納法解密

1.過程

因為n是兩張撲克牌的數字之和，所以1

當n為奇數時，從n開始轉n-1步得到的數要么是1，要么是其他奇數。其他的奇數有如下兩種情形：當1＜n≤13時，最終轉到的奇數為2n-1；當13＜n≤25時，最終轉到的奇數為2n-27。觀察轉盤可知，若事先規定朝逆時針方向轉，奇數n轉n-1步后得到的數是奇數2n-1（1＜n≤13）或奇數2n-27（13＜n≤25），永遠不可能轉到位置“1”處；若事先規定朝順時針方向轉，奇數n轉n-1步后得到的數都是付2元錢的位置“1”，不可能轉到其他位置。

當n為偶數時，從n開始轉n-1步得到的數要么是1，要么是其他奇數。其他的奇數也有如下兩種情形：當2≤n≤14時，最終轉到的奇數為29-2n；當16≤n≤26時，最終轉到的奇數為55-2n。

觀察轉盤可知，若事先規定朝逆時針方向轉，偶數n轉n-1步后得到的數都是要付2元錢的位置“1”，不可能轉到其他位置；若事先規定朝順時針方向轉，偶數n轉n-1步后得到的數是奇數29-2n（2≤n≤14）或 奇 數55-2n（16≤n≤26 ），永遠不可能轉到位置“1”處。

注意：29-2n=55-2n-26，可見，兩種情形的數學關系式有深刻的內在聯系。

2.結論

綜合以上兩種情況，對游戲轉盤而言，若事先規定朝逆時針方向轉，奇數n轉n-1步后到達的數都是奇數2n-1（1＜n≤13）或奇數2n-27（13＜n≤25），偶數n轉n-1步后到達的數都是位置“1”；若事先規定朝順時針方向轉，奇數n轉n-1步后到達的數都是位置“1”，偶數n轉n-1步后到達的數都是奇數29-2n（2≤n≤14）或奇數55-2n（16≤n≤26 ）。

三、用代數法解密

1.過程

能否從數學的嚴密性要求出發，給出一般性的邏輯論證來得到結論？答案是肯定的。因為轉盤可朝順時針與逆時針兩個方向旋轉，所以將轉盤上的數進行排列時，也應分順時針方向排列與逆時針方向排列兩種情況。

這里我們研究了逆時針方向排列的情況，順時針方向排列的情況可采用相同的方法研究。

圖2 轉盤數字按逆時針方向排列

轉盤的旋轉過程中不變形，有些數在轉動后會循環出現前面的數，所以這個數列是以1、26、3、24、5、22……25、2為基礎循環排列的，所以當項數n超過26時，就有an=an-26。

根據數列的排列規律，我們發現項數n與對應項an之間有如下關系：

按照轉盤規定的轉法，當抽出兩張撲克牌的和為an時，如果事先約定沿逆時針方向轉，則轉an-1步后，到達以上數列的第（n+an-1）項位置。

（1）當an為奇數時，由上面通項公式知an=n，從而n+an-1=n+n-1=2n-1（奇數）。再由上面通項公式得：

亦即奇數an（實際上就是奇數n），沿逆時針方向轉an-1步后（即轉n-1步后），到達以上數列的第（n+an-1）項位置，此位置對應的數是2n-1。

注意，以上結果是1＜n≤13時的結果，當13＜n≤25時，則2n-1>26，這時an=an-26。根據數列的排列規律 ，再根據通項公式，我們有：

（2）當an是偶數時，則

偶數an沿逆時針方向轉an-1步后，到達以上數列的第（n+an-1）項位置，此位置對應的數是：

亦即偶數an沿逆時針方向轉an-1步后，到達要付2元錢的位置“1”處。

綜合以上兩種情況即得，若事先規定朝逆時針方向轉，奇數n轉n-1步后到達的數是奇數2n-1（1＜n≤13）或奇數2n-27（13＜n≤25），偶數n轉n-1步后到達的數都是付2元錢的位置“1”。

如果沿順時針方向排列轉盤上的數，按照上述研究方法，很容易得出相應的結論。

四、新玩法定輸贏的奧秘

我們研究了一種新玩法，玩客只贏不輸：兩張牌的點數之和是n，就從n開始按照事先說好的方向轉n步（不是n-1步）。這種新玩法的結果是，無論如何都轉不到要付2元錢的位置，即數字“1”處，但能轉到偶數位置。玩客只要有耐心，就能分文不出地將小攤販的獎品一掃而光。

然而，當我們向小攤販說出改變游戲規則，按我們所說的玩法去玩時，小攤販一口拒絕了。

發現轉盤贏錢的“機關”后，我們又思考，能否設計一種玩法，讓小攤販每次都能賺2元錢，連小獎品都不給出一次？經過分析思考，我們發現這樣的游戲玩法也是有的。但再貪的小攤販也不會采用這種游戲玩法，因為如果玩客每次都輸2元錢，一無所獲，就會無人“上鉤”。

通過對轉盤“機關”的分析，我們更加意識到數學的重要性，只有認真學習數學知識，有一顆善用數學知識分析問題的大腦，才能讓我們立于不敗之地。賭博的花樣層出不窮，如果我們對每一種賭博方式都能從數學的角度進行揭秘，相信社會將變得風清氣正，人人都會在和諧的社會氛圍中，憑自己勤勞的雙手和智慧的大腦開創美好幸福的人生。 一句話，知識就是力量！

作者心聲

經過觀察分析，我們發現，所有設計的玩法中，小攤販設計的玩法最“科學”，讓玩客有失有得，雖有誘惑性與欺騙性，但能讓玩客“無怨無悔”地自投羅網?？磥碓O計游戲的小攤販既有聰明的數學意識，又能抓住玩客的心理，讓玩客樂在其中，哪怕受騙也不會找麻煩。

專家點評

數學源于生活，孩子們根據生活中看到的現象提煉出相應的數學問題，通過已有的知識水平和現實情境進行思考和推理，從而解密生活中的數學問題，充分體現了數學的生活價值。

從觀察法出發，孩子們通過數學學習中重要的研究方法如歸納法、代數法進行研究，體現了其嚴密的科學思維方式；將數學知識與趣味游戲結合，體現了玩中學的思想；最后通過研究一種新的玩法，反映出他們具有很強的創新能力。