考慮摩擦因素的結合面加 /卸載分形理論模型

王顏輝，張學良，溫淑花，陳永會

(1.太原科技大學 機械工程學院，太原 030024；2.山西能源學院 機電工程系，山西 晉中 030600)

結合面在機械結構中大量存在，使得機械結構或系統不再具有連續性，進而導致了問題的復雜性。從微觀上看，結合面局部呈雜亂無規律分布的一系列高低不同的微凸體；從總體上看，微凸體又表現自相似性分布的特性，因此，結合面具有明顯的分形特征，有不少學者利用分形理論對結合面建模方面進行了研究[1-6]。

文獻[7]建立了一個球體與硬光滑面(不考慮摩擦)的彈塑性接觸卸載模型，推導出在一定載荷水平下彈塑性球體接觸無量綱接觸載荷和卸載過程中殘余位移的經驗無量綱表達式，得出球接觸在彈塑性接觸變形狀態下的卸載是一種非線性非彈性現象。文獻[8]研究了不同尺度不規則金屬粗糙結合面在動態激勵下的摩擦機理，探討了如何解決在考慮不同尺度的情況下微凸體的變形問題，得出激勵的強度和所加的法向載荷對彈塑性材料特性物體結合面間摩擦的影響。文獻[9-10]對結合面接觸的黏滑摩擦進行建模，研究塑性指數對切向載荷和相對變形的影響，并得到兩者之間的關系。

結合面間的接觸行為對摩擦學和接觸力學的研究有重要的作用，而在機械零件工作中，結合面不斷受到接觸力的作用，表面微凸體不斷處于加載-卸載的狀態，所以研究微凸體加/卸載過程的接觸行為很有必要。微凸體彈塑性接觸變形的加/卸載的研究是接觸力學、生物力學、微電子學和機器人技術等研究領域中非常重要的問題[11-12]。實際工程中的接觸表面都不是完全光滑的，存在摩擦、磨損的問題，摩擦因素對結合面接觸特性的影響不可忽視，然而很多模型在研究的過程中假設了不考慮摩擦因素的影響[13-15]。為解決這個問題，本文在前期研究成果的基礎上，考慮摩擦因素的影響建立一種考慮摩擦因素的結合面彈塑性變形加/卸載分形理論模型，本模型對今后研究結合面反復加/卸載過程中的行為有一定的參考價值，對接下來要研究的結合面加/卸載過程中摩擦因素所起到的影響作用有重要的意義，對更加科學合理地描述結合面接觸狀態有一定幫助，以期為結合面的接觸、摩擦等問題的研究提供理論依據。

1 考慮摩擦因素時單個微凸體接觸面積、接觸載荷分形模型

圖1為單個微凸體與剛性平面接觸時加載-卸載過程示意圖，加載過程中，隨著變形量的增大，微凸體處于不同的變形狀態，當加載到一定程度時對微凸體進行完全卸載，對于不同變形狀態的微凸體其加/卸載過程的規則不同，需分別進行研究。

圖1 微凸體變形示意圖Fig.1 Deformation diagram of asperity

1.1 加載過程

1) 微凸體的彈性變形。根據赫茲理論，微凸體在接觸過程中由彈性變形變為彈塑性變形所對應的臨界變形量為：

(1)

當結合面之間有相對滑動摩擦時，微凸體出現初始屈服的臨界平均接觸壓力為[6]：

pc=1.1kμσs.

(2)

式中：σs是屈服極限；μ為摩擦系數；kμ是與摩擦系數有關的摩擦力修正因子。

將式(2)代入式(1)得出考慮摩擦因素影響時微凸體彈性臨界變形量為：

(3)

(4)

由此可得考慮摩擦因素影響的情況下，微凸體彈性臨界接觸面積為：

(5)

由式(5)可以看出aμec是與kμ(摩擦力修正因子)、σs(屈服極限)、E′(等效彈性模量)、G(輪廓參數)、D(分形維數)、γn(粗糙表面頻率參數，通常取γ=1.5)有關的函數，而以上參數均為材料的分形參數、材料的物理參數以及摩擦系數，所以當結合面摩擦狀態確定時，微凸體彈性臨界接觸面積aμec為定值。

在考慮摩擦因素影響下單個微凸體彈性臨界接觸載荷為：

(6)

2) 微凸體的彈塑性變形。根據KOGUT[16]的研究，單個微凸體與剛性平面接觸，當變形量滿足ωec≤ω≤110ωec時，微凸體處于彈塑性變形狀態，該彈塑性變形階段根據下壓量不同可分為兩個彈塑性變形階段，其接觸面積與載荷的擬合曲線分別為：

第一彈塑性變形階段(ωec≤ω≤6ωec)

(7)

第二彈塑性變形階段(6ωec≤ω≤110ωec)

(8)

將式(3)、(4)分別代入式(7)、(8)可得考慮摩擦因素影響情況下，加載過程中微凸體發生彈塑性變形時的載荷為：

(9)

(10)

由此可得，考慮摩擦因素影響的情況下，微凸體處于第一彈塑性變形臨界狀態時的臨界接觸面積和臨界接觸載荷分別為：

aμepc=7.119 7aμec.

(11)

(12)

考慮摩擦因素影響的情況下，微凸體處于第二彈塑性變形臨界狀態時的臨界接觸面積和臨界接觸載荷分別為：

aμpc=205.382 7aμec.

(13)

(14)

3) 微凸體的塑性變形。當微凸體的變形量大于110ωμec時，將發生完全塑性變形，此時，接觸面積和接觸載荷分別為：

aμp=2πRω.

(15)

fμp=Haμp.

(16)

1.2 卸載過程

微凸體處于不同的變形階段時，對其進行卸載會有不同的情形。當微凸體發生彈性變形時，卸載會使得其變形完全恢復初始狀態，此種情況下微凸體的接觸載荷和接觸面積和加載過程一致。而當微凸體發生完全塑性變形時，即使對其進行卸載微凸體的變形量也不會有所恢復，所以在研究微凸體的卸載過程時，本文指的是微凸體發生彈塑性變形時的卸載過程。對發生彈塑性變形的微凸體進行卸載時，微凸體的變形并不能恢復到加載前的原始狀態，即ωu≠ω.ETSION et al[7]在前期的研究中提出殘余變形量ωres和微凸體的最大變形量ωmax存在如下關系：

(17)

卸載后的半徑Ru與初始半徑R之間存在如下關系：

(18)

其中，σs為材料的屈服極限。

根據式(7)、(8)、(17)、(18)以及fμec得到考慮摩擦時卸載過程中單個微凸體在彈塑性變形階段的載荷為：

(19)

(20)

2 考慮摩擦因素時結合面實際接觸面積、接觸載荷分形模型

根據文獻[17]，微凸體面積分布密度函數為：

(21)

2.1 加載過程

1) 結合面實際接觸面積

Aμr=Aμre+Aμrep1+Aμrep2+Aμrp.

(22)

其中，考慮摩擦因素影響下，彈性變形階段結合面實際接觸面積為：

(23)

考慮摩擦因素影響下，第一彈塑性變形階段結合面實際接觸面積為：

(24)

考慮摩擦因素影響下，第二彈塑性變形階段結合面實際接觸面積為：

(25)

考慮摩擦因素影響下，完全塑性變形階段結合面實際接觸面積為：

(26)

于是，考慮摩擦因素影響下，加載過程結合面實際接觸面積為：

(27)

2) 結合面實際接觸載荷

考慮摩擦因素情況下，結合面在加載過程中實際接觸載荷為：

Fμr=Fμre+Fμrep1+Fμrep2+Fμrp.

(28)

式中考慮摩擦因素影響下，彈性變形階段結合面實際接觸載荷為：

(29)

考慮摩擦因素影響下，第一彈塑性變形階段結合面實際接觸載荷為：

(30)

將式(5)代入式(30)得：

(31)

考慮摩擦因素影響下，第二彈塑性變形階段結合面實際接觸載荷為：

(32)

將式(5)代入式(32)得：

(33)

考慮摩擦因素影響下，完全塑性變形階段結合面實際接觸載荷為：

(34)

將式(5)、(13)代入式(34)得：

(35)

2.2 卸載過程

定義結合面微凸體分布密度函數為：

(36)

2.2.1結合面實際接觸面積

當微凸體可能發生彈性變形、第一彈塑性變形、第二彈塑性變形時，對結合面進行卸載的過程中結合面實際接觸面積為：

(37)

假設微凸體在各個變形階段分布密度函數修正系數分別為：Ce、Cep1、Cep2，根據理論上加載結束時與卸載開始時結合面真實接觸面積相等有如下關系式：

由此可得：Ce=1 .

(38)

(39)

(40)

考慮摩擦因素影響下，卸載過程彈性變形階段結合面實際接觸面積為：

(41)

考慮摩擦因素影響下，卸載過程第一彈塑性變形階段結合面實際接觸面積為：

(42)

考慮摩擦因素影響下，卸載過程第二彈塑性變形階段結合面實際接觸面積為：

(43)

2.2.2結合面實際接觸載荷

當微凸體可能發生彈性變形、第一彈塑性變形、第二彈塑性變形時，對結合面進行卸載的過程中結合面實際接觸載荷為：

(44)

(45)

(46)

假設結合面在各個變形階段接觸載荷修正系數分別為：De、Dep1、Dep2，根據理論上加載結束時與卸載開始時結合面真實接觸載荷相等有如下關系式：

(47)

根據式(47)有：

(48)

可得：De=0.353 6.

同理可得：

(49)

(50)

從而推導出第一、第二彈塑性變形階段結合面接觸載荷：

(51)

(52)

3 結果分析和驗證

取如下參數對上述模型進行仿真分析，等效彈性模量E′=7.2×1010N/m2；泊松比υ=0.17；硬度H=5.5×109N/m2；輪廓尺度參數G=2.5×10-9m；分形維數1

圖2所示為分形維數對加/卸載過程中結合面接觸載荷與接觸面積關系的影響曲線，加/卸載曲線只在起始點會有部分交集，其他階段均未有重疊，這也說明結合面的彈性變形量在總的變形量中所占比重較小，結合面在變形過程中表現為非彈性變形。隨著變形量和接觸面積的增大，彈塑性變形在總變形量中的比重也隨之增大。而在分形理論模型中，分形維數對結合面接觸載荷和接觸面積的關系有一定影響，相同接觸面積情況下，隨著分形維數的增大，接觸載荷同時增大。圖3所示為輪廓尺度參數對加/卸載過程中結合面接觸載荷與接觸面積關系的影響曲線。由圖可見隨著輪廓尺度參數的增大對結合面加/卸載過程的影響幅度增大，卸載真實面積與加載真實面積差值增大。通過圖2和圖3可以看出本文所建立的分形模型仿真曲線與Kadin統計模型[7]以及文獻[17]所建模型的計算結果趨勢一致，從而驗證了本文分形模型的可行性。

圖2 分形維數對加/卸載過程結合面接觸載荷與接觸面積關系的影響Fig.2 The influence of fractal dimension on the relationship between contact area and contact load of joint interface during loading and unloading

圖3 當D=1.5時，輪廓尺度參數對加/卸載過程結合面接觸載荷與接觸面積關系的影響Fig.3 When D=1.5, the influence of contour scale parameters on the relationship between contact load and contact area of joint interface during loading and unloading

4 結論

本文考慮微凸體在彈塑性變形兩個階段摩擦因素對接觸面積和接觸載荷的影響，建立一種新的結合面加/卸載過程接觸面積和接觸載荷分形理論模型，得出如下結論：

1) 基于分形理論并考慮結合面第一彈塑性接觸、第二彈塑性接觸兩個彈塑性變形階段的情形，分別建立考慮摩擦因素影響情況下單個微凸體加載過程接觸面積、接觸載荷分形理論模型。

2) 研究卸載過程中摩擦因素對微凸體接觸面積、接觸載荷的影響，得出卸載過程單個微凸體接觸面積、接觸載荷分形理論模型。

3) 引入結合面在各個變形階段分布密度函數修正系數Ce、Cep1、Cep2，接觸載荷修正系數De、Dep1、Dep2，并根據邊界條件分別進行求值。

4) 推導考慮摩擦因素情況下結合面在各變形階段加卸載過程實際接觸面積、接觸載荷分形理論模型。根據該模型，結合面加卸載過程實際接觸面積、接觸載荷與摩擦力修正因子kμ、屈服極限σs、等效彈性模量E′、輪廓參數G、分形維數D、粗糙表面頻率參數γn有關，而結合面在卸載過程實際接觸面積、接觸載荷還與最大變形量及卸載后殘余變形量有關。

附 錄：

參數名稱表

ωec：微凸體由彈性到彈塑性變形臨界變形量；

pc：微凸體出現初始屈服的臨界平均接觸壓力；

ωμec：考慮摩擦因素時微凸體彈性臨界變形量；

aμec：考慮摩擦因素時微凸體彈性臨界接觸面積；

fμec：考慮摩擦因素時微凸體彈性臨界接觸載荷；

fμep1、fμep2：考慮摩擦因素時加載過程微凸體發生第一、二彈塑性變形時的載荷；

aμepc、aμpc：考慮摩擦因素時加載過程微凸體第一、二彈塑性變形臨界接觸面積；

fμepc、fμpc：考慮摩擦因素時加載過程微凸體第一、二彈塑性變形臨界接觸載荷；

au：微凸體卸載過程接觸面積；

ωu：微凸體卸載過程變形量；

ωres：卸載后微凸體的殘余變形量；

ωmax：微凸體加載時最大變形量；

Aμre：考慮摩擦因素時彈性變形階段結合面實際接觸面積；

Aμrep1、Aμrep2考慮摩擦因素時第一、二彈塑性變形階段結合面實際接觸面積；

Aμrp：考慮摩擦因素時完全塑性變形階段結合面實際接觸面積；

Fμre：考慮摩擦因素時彈性變形階段結合面實際接觸載荷；

Fμrep1、Fμrep2：考慮摩擦因素時第一、二彈塑性變形階段結合面實際接觸載荷；

Fμrp：考慮摩擦因素時完全塑性變形階段結合面實際接觸載荷；

Ce：微凸體在彈性變形階段分布密度函數修正系數；

Cep1：微凸體在第一彈塑性變形階段分布密度函數修正系數；

Cep2：微凸體在第二彈塑性變形階段分布密度函數修正系數；

De：結合面在彈性變形階段接觸載荷修正系數；

Dep1：結合面在第一彈塑性變形階段接觸載荷修正系數；

Dep2：結合面在第二彈塑性變形階段接觸載荷修正系數；