RV減速器主軸承擬靜力學模型簡化分析方法

陳瑛琳，史文華，陳江義，秦東晨，袁峰

(鄭州大學 機械與動力工程學院，鄭州 450001)

為滿足RV減速器外形尺寸小，承受扭矩大的工作需求，其主軸承往往采用薄壁、多球結構[1]。球數增多會導致軸承受力和變形計算量大幅增加，求解速度慢。如何快速計算和分析RV減速器主軸承的受力和變形是一個亟待解決的問題。

常用的軸承設計方法為數值分析法[2]，其中的擬靜力學方法適用于高速、重載場合，計算速度快，是目前應用廣泛的方法之一[3-6]，該方法以赫茲理論[7]為基礎，考慮離心力、陀螺力矩作用，采用溝道控制假設，可分析球和溝道在點、線接觸下的載荷分布和接觸變形[8]。文獻[9-10]的實踐證明該方法在內、外圈接觸角差異較大時具有良好的數值穩定性和較高的計算精度。

擬靜力學法中求解非線性方程組多采用牛頓-拉弗森算法，求解簡單但對初值敏感，且方程組的數量隨球數增加而成倍增加，求解速度也相應變慢。針對該問題，文獻[11]在算法中引入迭代步長松弛因子，并采用二分法對松弛因子的取值進行優化，同時通過矩陣變換簡化了雅克比矩陣求解過程，從而縮減了迭代時間；文獻[12]對迭代公式進行改進和修正，降低了因初值偏差給收斂性帶來的影響;文獻[13]建立迭代約束條件，使迭代能在合理范圍內進行;文獻[14]提出減少非線性方程數量和迭代變量約束的方法，提高了方程組求解的效率。然而，對于RV減速器主軸承，未知數和方程組數量較多，即使采用優化算法，也難以快速得出結果[15]。文獻[16]提出可將滾子軸承沿受載方向視為對稱，非承載區滾子受力情況視為相同，減少了方程數量，使未知參數減少近一半，從而快速計算；但在大扭矩作用下，RV減速器軸承載荷分布復雜，在三維空間內并不沿載荷方向對稱分布，該方法理論上不再適用。

鑒于上述原因，在建立RV減速器主軸承(角接觸球軸承)擬靜力學模型的基礎上，針對球數較多導致非線性方程組數量成倍增加，求解難度增大的問題，提出一種復雜工況下的簡化分析方法，并從計算速度和分析精度兩方面與原方法進行對比。

1 RV減速器主軸承擬靜力學模型

為便于表述，省略部分球，角接觸球軸承球的角位置關系如圖1所示，以軸承中心為原點，軸向中心線為z軸，建立坐標系Oxyz。球之間的夾角Δψ=2π/Z(Z為球數)，設定第1個球的位置角為γ，則第j個球的位置角ψj=2π(j-1)/Z+γ。

圖1 球角位置示意圖Fig.1 Diagram of ball angle position

在力Fx，Fy，Fz和力矩Mx，My作用下，軸承發生非線性偏移，原有幾何接觸關系也發生改變。假定軸承外圈固定，則第j個球的中心和內外圈溝曲率中心的位置關系如圖2所示。若內圈溝道相對外圈溝道分別沿x，y，z軸方向產生偏移δx，δy，δz，繞x，y軸中心線方向產生角度偏轉θx，θy，則在位置角ψj處內外圈溝曲率中心的軸向距離A1j和徑向距離A2j可表示為

圖2 載荷作用前后第j個球中心和內外圈溝曲率中心的位置關系Fig.2 Position relationship between j-th ball center and curvature center of inner and outer groove before and after loading

(1)

Gi=Dpw/2+(fiDw-Dw/2)cosα0,

式中：A為受載前軸承內外圈溝道中心的距離；α0為軸承初始接觸角；Gi為內溝道轉動半徑；Dpw為球組節圓直徑；Dw為球直徑；fi為內溝曲率半徑系數。

為簡化計算，引入變量X1j，X2j，分別表示受載后球中心到外溝曲率中心之間的軸向和徑向距離。根據勾股定理可得

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2-[(fi-0.5)Dw+δij]2=0,

(2)

式中：fe為外溝曲率半徑系數；δij，δej分別為受載后內、外圈溝道的法向變形。

用A1j，A2j，X1j，X2j分別表示受載后軸承內、外圈的實際接觸角αij，αej,即

(3)

為減少計算量，提高迭代速度，聯立(2)，(3)式，將δij，δej，X1j，X2j用αij和αej表示，可使未知數減半，其轉換公式為

(4)

對垂直于軸承軸線并通過第j個球中心的平面進行分析，球受到內外圈溝道接觸載荷Qij和Qej、離心力Fcj、陀螺力矩Mgj和摩擦力作用(圖3)。若非共面的摩擦力很小，可以假設陀螺力矩Mgj完全被球與外圈溝道接觸區的摩擦力所阻止，取陀螺力矩作用控制系數λij=0，λej=2，若條件不滿足，則取λij=1，λej=1。

圖3 第j個球所受載荷Fig.3 Load on j-th ball

由赫茲接觸理論可知任意位置角ψj處球的法向載荷與法向變形的關系為

(5)

式中：Qij，Qej分別為內、外圈與球的法向接觸載荷；Kij，Kej分別為內、外圈溝道位移-載荷系數。

單個球所受離心力Fcj為

(6)

式中：m為單個球質量；ωmj為球公轉角速度。

陀螺力矩Mgj可表示為

Mgj=JωmjωRjsinβj，

(7)

式中：J為球轉動慣量；ωRj為球自轉角速度；βj為球姿態角。

由圖3球受載情況可知單個球在豎直方向和水平方向的受力平衡，平衡方程為

(8)

根據軸承整體所受力和力矩的平衡關系，可得軸承平衡方程組為

。(9)

2 簡化分析方法

傳統擬靜力學方法通過(8)，(9)式迭代求解，在此基礎上，針對RV主軸承的多球特性，設計了1套RV減速器主軸承擬靜力學模型簡化分析方法，計算流程(圖4)為：

圖4 RV減速器主軸承擬靜力學分析流程Fig.4 Analysis process of quasi-static model of main bearing for RV reducer

1)假定軸承處于靜止狀態，采用靜力學方法求解軸承在靜載荷下的內外圈溝道接觸角、位移和變形等參數。以靜力學計算結果為基礎，求解軸承運轉時各零件的速度、陀螺力矩、離心力等參數。

2)假定軸承位移參數δx，δy，δz，θx，θy不變，且第1個球的位置角γ為0，以靜力學算法求解的位移和角度作為初值，對 (8)式進行迭代，求得軸承內、外圈動態接觸角αij和αej。

3)將接觸角代入(9)式進行迭代，求得新的軸承位移、法向變形以及所受載荷等參數。判斷新位移參數δx，δy，δz，θx，θy是否達到平衡，若是則輸出結果，若否則更改第1個球的位置角γ，重新計算參數，不斷重復直至位移參數滿足精度要求。

該流程中迭代算法以牛頓-拉弗森算法為基礎，增加迭代步長松弛因子，保證每次迭代都使方程的絕對值減小，避免迭代跳出范圍，造成不收斂。同時，對角度迭代中的變量進行判斷和修正，避免出現死循環。

該算法中方程組數量為2Z+5，RV主軸承球數較多，則方程組求解易出現迭代緩慢，難以達到精度等問題，有必要對其進行簡化。因為球排列密集時，相鄰球受力相似，接觸角相近，假設相鄰k個球接觸狀態一致，在計算中將其作為完全相同的零件進行處理，進而成倍減少方程組數量。

若原球數Z可被k整除，則簡化后的球數N=Z/k，第j個球的位置角ψ′j=2π(j-1)k/Z+γ，則(9)式中x方向受力平衡方程可轉換為

(10)

若Z不能被整除，且余數為h，則球數N=[Z/k]+1，(10)式可轉換為

(11)

同理可對其他幾個力和力矩平衡方程式進行簡化，替代(9)式進行計算。

3 實例分析

以某減速器用主軸承H76/182RV角接觸球軸承為例分析，其主要結構參數見表1。

表1 H76/182RV角接觸球軸承主要結構參數Tab.1 Main structural parameters of H76/182RV angular contact ball bearing

軸承轉速n取40 r/min，施加徑向載荷Fy=4 000 N，軸向載荷Fz=13 720 N，力矩載荷My=2 450 N·m，按k個球進行分組，分別取k=1，2，3，4(k=1表示沒有簡化的情形)。采用上述簡化模型計算軸承第1個球與內圈的法向載荷以及接觸角，其結果如圖5和圖6所示。由圖5可知：當k為2，3，4時，球所受內圈的法向載荷與未簡化時的法向載荷有相同的分布趨勢；k取2時，計算結果與未簡化模型結果幾乎一致，k值增大，求解結果與未簡化模型結果差異增大，但誤差仍能滿足基本的工程需求。由圖6可知:簡化前后內圈接觸角曲線分布幾乎相同。由此可知簡化模型是合理的。

圖5 簡化與原算法計算所得第1個球與內圈的法向載荷Fig.5 Normal load of first ball and inner ring calculated by simplified and original method

為進一步檢驗算法是否在不同工況下都適用，根據RV減速器所能承受的最大載荷和轉速，分別取軸承轉速n為20～200 r/min，軸向載荷Fz為1 372mN，徑向載荷Fy為500mN，力矩載荷My為245mN·m(m為工況載荷系數，m=1，2，…，10)。取k為1，2，3，4，記錄不同工況下程序實際計算時間，結果見表2。并以內外圈溝道在x方向的相對位移δx為參數，計算在不同工況下簡化算法與原算法的相對誤差，結果如圖7和圖8所示。

表2 不同工況下簡化算法的計算時間Tab.2 Calculation time of simplified method under different operating conditionss

圖7 轉速為40 r/min時不同載荷下內外圈溝道相對位移δx的相對誤差Fig.7 Relative error of relative displacement δx of inner and outer raceway under different loads at rotational speed of 40 r/min

圖8 Fy=5 000 N，Fz=13 720 N，My=2 450 N·m時不同轉速下內外圈溝道相對位移δx的相對誤差Fig.8 Relative error of relative displacement δx of inner and outer raceway under load of Fy=5 000 N,Fz=13 720 N,My=2 450 N·m and different rotational speeds

由表2可知：采用簡化分析方法能夠有效地提升計算效率，減少計算時間。由圖7、圖8可知，不同轉速和載荷工況下簡化算法與原算法的相對誤差都在3%以內。故可認為載荷和轉速對于簡化分析方法的求解精度影響不大，簡化算法在任意載荷和轉速工況下都具有適用性。

4 結束語

建立了RV減速器主軸承擬靜力學分析模型，并針對其多球特性導致的數值分析計算量大，求解緩慢的問題，提出了一種簡化分析方法，該方法假設相鄰k個球所受的接觸載荷及接觸角相同，可以簡化為1個零件進行計算。并以某減速器主軸承H76/182RV角接觸球軸承為例，對該方法進行驗證，結果表明簡化方法能有效提高計算效率。當k=2，3，4時，簡化分析方法誤差都小于3%，可以滿足工程需要。該簡化方法的計算精度受載荷和轉速影響較小，誤差在較小范圍內波動，可以認為該簡化分析方法適用于不同的載荷和轉速工況。提出的方法不僅可以用于RV減速器主軸承的擬靜力學分析，還適用于球數較多的其他角接觸球軸承。