基于置信水平和q階orthopair正則模糊數的群決策方法

王紅娟,劉 芳

(內江師范學院，四川 內江 641100)

1 引言

洪澇災害會沖毀農田，造成農民的經濟損失，因此需要修筑堤壩來防洪。 多屬性決策方法就是從多種方案中選出最優方案，專家可以通過模糊集對建筑公司進行評價選擇最好的建筑公司來修建堤壩， 這是因為專家很難通過精確的值來表達他們對建筑公司的評價。Zadeh[1]提出了模糊集的理論。Atanassov[2]提出了直覺模糊集的理論，其特征是隸屬度和非隸屬度的和小于等于1。 Yager[3]提出了畢達哥拉斯模糊集，其特征是隸屬度的平方與非隸屬度平方的和小于等于1。 當專家給出的隸屬度的平方與非隸屬度的平方和大于1，但三次或更高冪次的和小于等于1時，直覺模糊集和畢達哥拉斯集無法處理這類信息。因此，Yager[4]提出了q階orthopair模糊集的概念， 它要求隸屬度的q次冪和非隸屬度的q次冪的和小于或等于1。可以看到當q=1和q=2時，q階orthopair模糊數分別簡化為直覺模糊數和畢達哥拉斯模糊數。近年來，q階orthopair模糊數受到越來越多的關注[5～9]。

在實際問題中，許多現象服從正態分布[10,11]，如“燈泡使用壽命”和“股票價格”等。對于此，Yang和 Ko[11]介紹了正則模糊數。正則模糊數要更接近于人類的決策思考比三角形和梯形模糊數。許多學者對正則模糊數進行研究。Wang等[10]和Wang等[12]提出了直覺正則模糊數和運算規則以及聚合算子。在此基礎上，一系列聚合算子被提出基于直覺正則模糊[14～16]。Yang等[17]提出了q階orthopair正則模糊數，介紹了q階orthopai正則模糊加權平均和q階orthopair正則模糊加權幾何等算子。

在q階orthopair模糊環境中提出的許多屬性決策問題沒有將專家對方案的熟悉度納入信息聚合中。多屬性決策問題中專家根據屬性只給出了對方案的偏好，也就是專家對方案的熟悉度(叫做置信水平)沒有包括。因此，Joshi和Gegov[18]提出了基于置信水平的置信q階orthopair模糊加權平均，置信q階orthopair模糊有序加權平均，置信q階orthopair模糊加權幾何，置信q階orthopair模糊有序加權幾何。在q階orthopair正則模糊環境中提出的許多屬性決策問題沒有將專家對方案的熟悉度納入信息聚合中。 因此，本文提出了置信q階orthopair正則模糊加權平均(CNFWA)和置信q階orthopair正則模糊加權幾何(CNFWG)基于置信水平在q階orthopair正則模糊環境中。

本文主要由以下幾方面構成：第二部分給出了正則模糊數、q階orthopair模糊集、q階orthopair正則模糊數、q階orthopair正則模糊數比較大小的方法、q階orthopair正則模糊加權平均和q階orthopair正則模糊加權幾何；第三部分介紹了置信q階orthopair正則模糊加權平均和置信q階orthopair正則模糊加權幾何以及各自的冪等性和單調性，且有兩個例子；第四部分介紹了一個多屬性群決策方法基于置信水平，并且通過一個實例將提出的方法和現有的方法進行比較說明提出的方法更有效；第五部分給出結束語。

2 基礎知識

2.1 正則模糊數

2.2 q階orthopair模糊集

定義2[4]假設Z是一個給定的集合，定義在Z上的q階orthopair模糊集合Ξ表示為：

Ξ={〈z,ηΞ(z),μΞ(z)〉|z∈Z},

其中0≤ηΞ(z),μΞ(z)≤分別表示z的隸屬度和非隸屬度滿足0≤(ηΞ(z))q+(μΞ(z))q≤1,?z∈Z(q≥1)。

一般地, 把(ηΞ(z),μΞ(z))叫做一個q階orthopair模糊數，表示為ζ=(η,μ)。

定義 3[17]設Z是一個給定的集合,(η,μ)∈H,Θ=〈(α,σ),(ηΘ,μΘ)〉是一個q階orthopair正則模糊集，當它的隸屬度和非隸屬度分別為：

其中0≤ηΘ(z)≤1,0≤μΘ(z)≤1,0≤(ηΘ(z))q+(μΘ(z))q≤1(q≥1)。

為了方便，將Θ=〈(α,σ),(η,μ)〉稱為一個q階orthopair正則模糊數。

Yang等[17]介紹比較q階orthopair正則模糊數的方法。設Θ=〈(α,σ),(η,μ)〉,稱S1(Θ)=α(ηq-μq)和S2(Θ)=σ(ηq-μq),H1(Θ)=α(ηq+μq)和HH2(Θ)=σ(ηq+μq),分別為Θ的得分函數和精確函數。

設Θ1和Θ2為兩個q階orthopair正則模糊數，則

(1)如果S1(Θ1)>S1(Θ2),則Θ1>Θ2;

(2)如果S1(Θ1)=S1(Θ2)并且H1(Θ1)>H1(Θ2),則Θ1>Θ2;

(3)如果S1(Θ1)=S1(Θ2)并且H1(Θ1)=H1(Θ2)則如果S2(Θ1)Θ2;

如果S2(Θ1)=S2(Θ2)并且H2(Θ1)Θ2;如果S2(Θ1)=S2(Θ2)并且H2(Θ1)=H2(Θ2),則Θ1=Θ2。

q-RONFWA(Θ1,…,Θm)

q-RONFWA(Θ1,…,Θm)=

3 q階orthopair正則模糊聚合算子基于置信水平

下面將提出置信q階orthopair正則模糊加權平均和置信q階orthopair正則模糊加權幾何算子。將專家的置信水平與評價方案融合在一起。

則稱CNFWA為置信q階orthopair正則模糊加權平均算子。

例1設Θ1=〈((0.4,0.03),(0.6,0.5)),0.3〉,Θ2=〈((0.7,0.04),(0.5,0.5)),0.6〉,Θ3=〈((0.6,0.04),(0.7,0.1)),0.5〉和Θ4=〈((0.5,0.02),(0.4,0.3)),0.8〉是4個q階orthopair正則模糊數和它們的置信水平，令w=(0.25,0.2,0.3,0.25)T為它們的權重向量，q=3，則：

CNFWAq(〈Θb,lb〉,…,〈Θ4,l4〉)

CNFWA算子有冪等性和單調性：

(1)冪等性: 如果〈Θb,lb〉=〈Θ,l〉，?b,即αb=α,σb=σ,ηb=η,μb=μ,lb=l，則：

CNFWAq(〈Θ1,l1〉,…,〈Θm,lm〉)=lΘ

CNFWAq(〈Θ1,l1〉,…,〈Θ,lm〉)≥C

則稱CNFWG為置信q階orthopair正則模糊加權幾何算子。

例2設Θ1=〈((0.5,0.06),(0.5,0.4),0.5〉,Θ2=〈((0.1,0.07),(0.6,0.4),0.6〉,Θ3=〈((0.8,0.06),(0.5,0.5),0.6〉和Θ4=〈((0.7,0.01).(0.5,0.6),0.8〉是4個q階orthopair正則模糊數和它們的置信水平，令w=(0.24,0.26,0.3,0.2)T為它們的權重向量，q=3，則：

CNFWGq(〈Θ1,l1〉,…,〈Θ4,l4〉)

CNFWG算子有冪等性和單調性：

(1)冪等性:如果〈Θb,lb〉=〈Θ,l〉，?b,即αb=α,σb=σ,ηb=η,μb=μ,lb=l，則

CNFWGq(〈Θ1,l1〉,…，〈Θm,lm〉)=Θl。

4 多屬性決策方法基于置信水平

下面給出關于CNFWG和CNFWG算法的步驟。

步驟3： 分別用q-RONFWA和q-RONFWG對γ=(Θrb)p×m每一行進行聚合得到Θr=((αr,σr),(ηr,μr))(r=1,…,p)；

步驟4：根據q階orthopair正則模糊數比較大小的方法，得到最優方案。

例：某地農民通過專家的評價要從{Ψ1,…,Ψ4}這4家建筑公司里選一家來修筑堤壩，3位專家{Φ1,Φ2,Φ3}和他們的權重為0.3,0.35,0.35，公司的屬性為技術(?1)、經驗(?2)和成本(?3)且權重為0.4,0.3,0.3，專家用q階orthopair正則模糊數對建筑公司進行評價和他們的置信水平得到專家矩陣，如表1。

表1 專家矩陣

表2 決策矩陣

表3 決策矩陣

步驟3：用q-RONFWA和q-RONFWG對γ=(Θrb)p×m每一行進行聚合分別得到：

Θ1=〈(0.608,0.608),(0.644,0.411)〉,Θ2=〈(0.557,0.557),(0.698,0.359)〉,Θ3=〈(0.601,0.601),(0.679,0.400)〉,Θ4=〈(0.513,0.513),(0.615,0.394)〉,

Θ1=〈(0.787,0.099),(0.727,0.357)〉,Θ2=〈(0.751,0.123),(0.765,0.295)〉,Θ3=〈(0.770,0.084),(0.711,0.395)〉,Θ4=〈(0.721,0.086),(0.689,0.315)〉。

計算得分值分別為S1(Θ1)=0.149,S1(Θ2)=0.200,S1(Θ3)=0.181,S1(Θ4)=0.114,S1(Θ1)=0.315,S1(Θ2)=0.375,S1(Θ3)=0.269,S1(Θ4)=0.271。

根據步驟3四種方案的排序分別為Ψ2>Ψ3>Ψ1>Ψ4和Ψ2>Ψ1>Ψ4>Ψ3，雖然排序略微不同，但方案Ψ2是最優方案。

表4 不同方法的排序結果(q=3)

表4給出了不同方法的排序結果。 從中可以看到不同方法的排序結果有些不同，但是都是最優方案。 Yang等[17]介紹的方法是假設專家對所有方法都百分百熟悉的情況下對方法進行評價在q階orthopair正則模糊環境中，但是在實際問題中由于各種限制專家不可能對所有方法都是百分百熟悉，這篇文章介紹的方法考慮了專家不完全對各家建筑公司都完全熟悉的問題在q階orthopair正則模糊環境中，因此介紹的方法要更實用和有效。

5 結語

在q階orthopair正則模糊情況下，現有的各種群決策方法都是假設專家對所有方案都百分百熟悉的情況下對方法進行評價，但是由于各種限制專家不可能對所有方案都是百分百熟悉。根據置信水平和q階orthopair正則模糊數提出了CNFWA和CNFWG算子；進一步介紹了CNFWA和CNFWG各自的冪等性和單調性，將多屬性群決策方法應用到實例中， 和Yang等[17]介紹的進行比較，說明本文所述方法更適用于決策問題。同樣基于上述理由，在今后的工作中，將置信水平應用到語言環境中，這將是今后要做的工作。