復合歐拉函數方程φ(n-φ(φ(n)))=6,8,10,12,16的正整數解

趙祈芬，雷興輝，張永華

(安康職業技術學院，陜西 安康 725000)

對于正整數n，φ(n)是著名的Euler函數，φ(n)定義為在序列1,2,…,n-1中與n互素的整數的個數[1]。張天平[2]討論了復合歐拉函數方程φ(φ(n))=2Ω(n)的奇數解的問題；田呈亮[3]討論了復合歐拉函數方程φ(φ(n))=2Ω(n)的正整數解的問題；多布杰[4]討論了復合歐拉函數方程φ(φ(n))=2t的可解性問題；王洋、張四保[5]討論了復合歐拉函數方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=2的可解性問題；袁合才[6]討論了復合歐拉函數方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=4,6的可解性問題；張明麗[7]討論了復合歐拉函數方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=8,10的可解性問題。本文研究了復合歐拉函數方程φ(n-φ(φ(n)))=6,8,10,12,16的可解性問題。

1 若干引理

引理2[8]當n≥2時，有φ(n)

2 主要結論及其證明

定理1 復合歐拉函數方程φ(n-φ(φ(n)))=6

(1)的正整數解：n=9,11,13,17,22。

證明：因為φ(n-φ(φ(n)))=6，所以n-φ(φ(n))=7,9,14,18，下面分4種情況加以討論：

情形一：若n-φ(φ(n))=7，則由引理4，知8≤n≤13，將其逐一代入驗證，經檢驗n=9,11滿足n-φ(φ(n))=7，即n=9,11為(1)式的解。

情形二：若n-φ(φ(n))=9，則由引理4，知10≤n≤17，將其逐一代入驗證，經檢驗n=13,17滿足n-φ(φ(n))=9，即n=13,17為(1)式的解。

情形三：若n-φ(φ(n))=14，則由引理4，知15≤n≤27，將其逐一代入驗證，經檢驗n-φ(φ(n))=14不成立，此時(1)式無解。

情形四：若n-φ(φ(n))=18，則由引理4，知19≤n≤35，將其逐一代入驗證，經檢驗n=22滿足n-φ(φ(n))=18，即n=22為(1)式的解。

定理2 復合歐拉函數方程φ(n-φ(φ(n)))=8

(2)的正整數解：n=18,20,24,28,32。

證明：因為φ(n-φ(φ(n)))=8，所以n-φ(φ(n))=15,16,20,24,30，下面分5種情況加以討論：

情形一：若n-φ(φ(n))=15，則由引理4，知16≤n≤29，將其逐一代入驗證，經檢驗n-φ(φ(n))=15不成立，即此時(2)式無解。

情形二：若n-φ(φ(n))=16，則由引理4，知17≤n≤31，將其逐一代入驗證，經檢驗n=18,20滿足n-φ(φ(n))=16，即n=18,20為(2)式的解。

情形三：若n-φ(φ(n))=20，則由引理4，知21≤n≤39，將其逐一代入驗證，經檢驗n=24滿足n-φ(φ(n))=20，即n=24為(2)式的解。

情形四：若n-φ(φ(n))=24，則由引理4，知25≤n≤47，將其逐一代入驗證，經檢驗n=28,32滿足n-φ(φ(n))=24，即n=28,32為(2)式的解。

情形五：若n-φ(φ(n))=30，則由引理4，知31≤n≤59，將其逐一代入驗證，經檢驗n-φ(φ(n))=30不成立，此時(2)式無解。

定理3 復合歐拉函數方程φ(n-φ(φ(n)))=10

(3)的正整數解：n=15,26。

證明：因為φ(n-φ(φ(n)))=10，所以n-φ(φ(n))=11,22，下面分2種情況加以討論：

情形一：若n-φ(φ(n))=11，則由引理4，知12≤n≤21，將其逐一代入驗證，經檢驗n=15滿足n-φ(φ(n))=11，即n=15為(3)式的解。

情形二：若n-φ(φ(n))=22，則由引理4，知23≤n≤43，將其逐一代入驗證，經檢驗n=26滿足n-φ(φ(n))=22，即n=26為(3)式的解。

定理4 復合歐拉函數方程φ(n-φ(φ(n)))=12

(4)的正整數解：n=19,23,27,30,34,44,46,50。

證明：因為φ(n-φ(φ(n)))=12，所以n-φ(φ(n))=13,21,26,28,36,42，下面分6種情況加以討論：

情形一：若n-φ(φ(n))=13，則由引理4，知14≤n≤25，將其逐一代入驗證，經檢驗n=19,23滿足n-φ(φ(n))=13，即n=19,23為(4)式的解。

情形二：若n-φ(φ(n))=21，則由引理4，知22≤n≤41，將其逐一代入驗證，經檢驗n=27滿足n-φ(φ(n))=21，即n=27為(4)式的解。

情形三：若n-φ(φ(n))=26，則由引理4，知27≤n≤51，將其逐一代入驗證，經檢驗n=30,34滿足n-φ(φ(n))=26，即n=30,34為(4)式的解。

情形四：若n-φ(φ(n))=28，則由引理4，知29≤n≤55，將其逐一代入驗證，經檢驗n-φ(φ(n))=28不成立，即此時(4)式無解。

情形五：若n-φ(φ(n))=36，則由引理4，知37≤n≤71，將其逐一代入驗證，經檢驗n=44,46滿足n-φ(φ(n))=36，即n=44,46為(4)式的解。

情形六：若n-φ(φ(n))=42，則由引理4，知43≤n≤83，將其逐一代入驗證，經檢驗n=50滿足n-φ(φ(n))=42，即n=50為(4)式的解。

定理5 復合歐拉函數方程φ(n-φ(φ(n)))=16

(5)的正整數解：n=21,25,29,36,38,40,48,54,56,64。

證明：因為φ(n-φ(φ(n)))=16，所以n-φ(φ(n))=17,32,34,40,48,60，下面分6種情況加以討論：

情形一：若n-φ(φ(n))=17，則由引理4，知18≤n≤33，將其逐一代入驗證，經檢驗n=21,25,29滿足n-φ(φ(n))=17，即n=21,25,29為(5)式的解。

情形二：若n-φ(φ(n))=32，則由引理4，知33≤n≤63，將其逐一代入驗證，經檢驗n=36,38,40滿足n-φ(φ(n))=32，即n=36,38,40為(5)式的解。

情形三：若n-φ(φ(n))=34，則由引理4，知35≤n≤67，將其逐一代入驗證，經檢驗n-φ(φ(n))=34不成立，即此時(5)式無解。

情形四：若n-φ(φ(n))=40，則由引理4，知41≤n≤79，將其逐一代入驗證，經檢驗n=48滿足n-φ(φ(n))=40，即n=48為(5)式的解。

情形五：若n-φ(φ(n))=48，則由引理4，知49≤n≤95，將其逐一代入驗證，經檢驗n=54,56,64滿足n-φ(φ(n))=48，即n=54,56,64為(5)式的解。

情形六：若n-φ(φ(n))=60，則由引理4，知61≤n≤119，將其逐一代入驗證，經檢驗n-φ(φ(n))=60不成立，即此時(5)式無解。