定位預緊和定壓預緊下角接觸球軸承動態特性研究

李小虎，張燕飛，萬少可，李森

(1.西安交通大學 機械工程學院，西安 710049；2.現代設計及轉子軸承系統教育部重點實驗室，西安 710049；3.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048)

0 引言

預緊作為調控角接觸球軸承服役性能的重要參數，對軸承性能的提升具有重要作用。合理的預緊可以增加軸承剛度，降低振動噪聲，提高旋轉精度，抑制軸承打滑，延長軸承使用壽命，在高精密軸承系統中的作用尤其明顯[1]。數控機床精密主軸軸承系統通常在高速輕載、低速重載等多變復雜工況下工作，選擇合理的預緊方式及預緊力是確保角接觸球軸承的剛度、溫度、旋轉精度等服役性能滿足要求的關鍵因素。因此，開展不同預緊方式下角接觸球軸承的動態特性分析可為機床主軸軸承系統的性能分析提供理論依據。

傳統的軸承預緊技術可分為定位預緊和定壓預緊2種方式，國內外學者針對不同預緊方式對滾動軸承性能變化的影響開展了大量理論及試驗研究,并取得了豐碩成果：文獻[2]建立了軸承擬靜力學模型并通過解析法求解軸承剛度矩陣，然而其求解過程中忽略了滾動體所受陀螺力矩的影響；文獻[3]在分析高速精密角接觸球軸承接觸載荷和鋼球滾動規律的基礎上，研究了軸承預緊載荷與轉速之間的映射規律，提出了防止鋼球陀螺滑動所需的最小預緊載荷；文獻[4]對角接觸球軸承預緊的類型及工作原理進行了分析，給出了預緊方式的選擇原則和確定預緊力的計算方法，但并未涉及軸承剛度的求解計算；文獻[5]分析了預緊力對高速角接觸球軸承中鋼球與內、外圈的接觸剛度以及軸承整體徑向剛度、軸向剛度和角剛度的影響規律，但該研究中未明確軸承的具體預緊方式；文獻[6]考慮了軸承預緊力以及轉動過程中導致滾動體與滾道之間的接觸變化，基于有限元方法建立軸承接觸模型并計算了軸承的剛度矩陣，該方法也未涉及軸承的預緊方式；文獻[7]建立了軸承擬靜力學模型并使用全解析法求解軸承的剛度矩陣，但只分析了軸承定壓預緊的情況；文獻[8]分析了軸承定位預緊和定壓預緊對主軸-軸承動態剛度的影響，得出高速工況時在切削載荷作用下定位預緊比定壓預緊更能有效維持主軸動態剛度的結論；文獻[9]建立了軸承五自由度擬靜力學模型并提出了軸承時變剛度，研究了在靜態、動態外載荷作用下軸承剛度的波動情況，但只分析了定壓預緊工況下的軸承力學性能變化；文獻[10]提出了在定壓預緊和定位預緊方式下計算軸承剛度的方法，并且分析了轉速、預載荷以及溝道曲率對軸承剛度的影響，然而其求解剛度時采用了近似計算方法，雖然求解速度快，但在高速工況下計算精度差且只能計算主剛度。

綜上所述，目前的軸承擬靜力學求解模型大都基于定壓預緊方式，對于定位預緊方式下軸承動態特性的研究仍需進一步完善，因此有必要對2種預緊方式下的軸承求解模型進行綜合對比分析，研究不同預緊方式下角接觸球軸承的接觸角、接觸力、離心力、剛度等動態特性的變化規律，為數控機床精密主軸軸承系統的設計與分析提供理論支撐。

1 角接觸球軸承五自由度擬靜力學模型的建立

1.1 軸承幾何關系的分析

在軸向載荷Fx，徑向載荷Fy和Fz以及彎矩My和Mz的作用下，角接觸球軸承內、外圈之間產生軸向相對位移δx，徑向相對位移δy和δz，以及相對角位移θy和θz，建立的直角坐標系如圖1所示。

圖1 角接觸球軸承受力及球分布圖

假定軸承內部有Z個球且在軸承內均勻分布，則第j個球的位置角為

ψj=ψ1+2π(j-1)/Z。

(1)

靜止狀態下，軸承內溝道曲率中心、外溝道曲率中心與球心3點共線。高速運轉時，球受到離心力和陀螺力矩的作用，球心位置相對靜止狀態下發生變化，軸承內部幾何關系如圖2所示。

圖2 軸承內外圈與球的幾何關系

未受力前，軸承內、外溝道曲率中心距為

A0=(fi+fe-1)Dw，

(2)

式中：fi，fe分別為內、外溝道曲率半徑系數；Dw為球徑，mm。

第j個球處，內、外溝道曲率中心之間的軸向距離A1j和徑向距離A2j為

(3)

(4)

(5)

式中：Ri為內溝道曲率中心軌跡半徑，mm；Dpw為球組節圓直徑，mm。

同樣，球與內、外圈之間接觸角αij，αej的三角函數表達式為

(6)

式中：X1j，X2j分別為第j個球的球心與外溝道曲率中心之間的軸向距離和徑向距離；δij，δej分別為第j個球與內、外圈的接觸變形量。

根據勾股定理可得

(7)

1.2 角接觸球軸承受力分析

角接觸球軸承受力分析包括球的局部受力分析和套圈的整體受力分析。

1.2.1 球的受力分析

球的受力分析如圖3所示，軸承在高速轉動時，球除承受與內、外圈的接觸載荷外，還受到離心力和陀螺力矩的作用。球在豎直和水平方向上平衡方程為

圖3 球受力平衡圖

(8)

式中：Qij，Qej為第j個球與內、外圈的接觸載荷，N；Mgj為第j個球的陀螺力矩，N·mm；Fcj為第j個球的離心力，N；λij，λej分別為內、外溝道的載荷分配系數，對于外溝道控制理論，λij=0，λej=2，否則λij=1，λej=1。

根據赫茲接觸理論，球與內、外圈的法向接觸載荷與變形的關系為

(9)

第j個球承受的離心力和陀螺力矩為

(10)

(11)

式中：m為球質量，kg；J為球轉動慣量，kg·mm2；ω為內圈角速度，rad·s-1；ωm為球公轉角速度，rad·s-1；ωR為球自轉角速度，rad·s-1；β為球姿態角,(°)。

第j個球的自轉角速度與公轉角速度之比為

(12)

(13)

(14)

γ=Dw/Dpw。

ωm/ω和tanβ的取值與溝道控制理論有關，選擇標準見表1和表2，其中L為與接觸面積有關的第二類完全橢圓積分。

表1 內、外溝道控制理論選擇標準

表2 姿態角和軌道速度與內圈轉速之比的計算

1.2.2 整體受力分析

將球與內圈之間的接觸載荷進行疊加，得到軸承內圈的受力平衡方程為

。(15)

2 不同預緊方式下軸承力學模型的求解

2.1 定壓預緊和定位預緊

不同預緊方式下，軸承動態特性的差異較大：對于定壓預緊(圖4a)，用剛度較小的彈簧對外圈施加預緊力Fx，其在軸承運轉過程中保持不變，內、外圈相對位置可以發生變化；對于定位預緊(圖4b)，組裝之后用鎖緊螺母擰緊消除間隙δx即可使2套軸承均處于預緊狀態，不考慮熱變形的影響時軸承初始壓入量δx保持不變，即軸承運行過程中內、外圈的相對位置保持不變。

圖4 滾動軸承軸向預緊方式示意圖

2.2 定壓預緊和定位預緊軸承剛度矩陣求解

根據剛度的定義，求出載荷對位移的偏導數，即軸承剛度矩陣的解析表達式，然后代入具體數值求得軸承在不同工況下的剛度矩陣，該方法求解的是切線剛度，求解結果精度高。在求解過程中，通常將每個球的方程稱為局部方程(即(7)式和(8)式)，軸承整體受力方程稱為全局方程(即(15)式)。每個球的求解變量X={X1,X2,δi,δe}j稱為局部求解變量,j=1，2,…,Z。將f={Fx,Fy,Fz,My,Mz}稱為全局載荷變量，d={δx,δy,δz,θy,θz}稱為全局位移變量。由(15)式可知，整體軸承的受力與軸承內每個球的受力有關，因此需要先求解每個球的平衡方程，聯立(7)式和(8)式進行求解。解析法求解軸承剛度矩陣是將軸承承受的外載荷f對軸承內外圈相對位移d求偏導數形成的5×5階矩陣。

2.2.1 定壓預緊模型求解

在定壓預緊時，軸承邊界條件為f={Fx,Fy,Fz,My,Mz}，所需求解變量包括5個全局變量d={δx,δy,δz,θy,θz}以及4Z個局部變量X={X1,X2,δi,δe}j。首先，根據靜力學模型求解結果給定一個初始迭代值d0={δx,δy,δz,θy,θz}0；然后，求解(7)式和(8)式得到局部變量X={X1,X2,δi,δe}；最后，根據(15)式計算此次的載荷向量以及軸承剛度矩陣。當不滿足收斂條件時，用軸承剛度矩陣對全局位移d進行修正后繼續求解(7)式和(8)式，直到滿足收斂條件為止。

2.2.2 定位預緊模型求解

在定位預緊時，已知的量是軸承壓入量，而不是軸向外載荷，因此軸承邊界條件為f={δx,Fy,Fz,My,Mz}，稱為混合邊界條件，所需求解的變量包括5個全局變量d={Fx,δy,δz,θy,θz}以及4Z個局部變量X={X1,X2,δi,δe}j。由于軸向載荷求解變量Fx只存在于全局方程的軸向平衡方程中，則局部方程以及全局方程的后4個方程共含有4Z+4個求解變量，而不包含軸向載荷求解變量，因此只需先求解4Z個局部變量X={X1,X2,δi,δe}和d={δy,δz,θy,θz}。此時的解法同定壓預緊的情況，由于軸承壓入量已知，因此在反復迭代過程中無需對軸向位移進行修正，將初始迭代向量設置為d0={δy,δz,θy,θz}0，不滿足收斂條件時用軸承剛度矩陣對軸承全局位移d進行修正即可，此時剛度矩陣為4×4階。

不同預緊方式下角接觸球軸承模型的求解流程如圖5所示，圖中:d0為全局變量的迭代初值，可采用靜力學求解結果；f為給定的外載荷，fn為迭代過程中所有球對內圈的接觸力之和；ε1，ε2為誤差向量，εtol1和εtol2為容許誤差。每次迭代后若不滿足容許誤差，則用軸承的剛度矩陣修正迭代初值d0后繼續對(7)式和(8)式進行求解，直到滿足最終求解誤差小于給定的容許誤差為止。

圖5 不同預緊方式下軸承模型求解流程

3 軸承的動態特性分析

軸承的動態特性包括球與內、外圈的接觸力和接觸角，球的離心力、陀螺力矩以及軸承剛度。軸承的動態特性受預緊方式、預緊力、轉速、徑向載荷、球材料等因素的影響。本文以NSK7008C角接觸球軸承(基本參數見表3，套圈和球的材料均為軸承鋼)為例，研究輕、中、重預緊(輕、中、重預緊根據NSK軸承手冊選取，對應的預緊力和預緊量見表4)情況時，軸承動態特性在不同轉速下的變化規律并進行綜合對比分析。

表3 NSK7008C軸承的基本參數

表4 NSK7008C軸承的預緊方式及預緊力

3.1 定壓預緊下的軸向變形和定位預緊下的軸向載荷隨轉速的變化

如圖6所示，定壓預緊下軸承的軸向變形量隨轉速的增大而減小，這是由于定壓預緊狀態下軸承內、外圈之間可以相互浮動，隨著轉速的升高，球的離心力逐漸增大，對外圈的作用力也隨之增加，將迫使內、外圈遠離；此外，軸承初始預緊力越大，在高速(轉速大于6 000 r/min，下同)下抵抗球對外圈作用力的能力越強，軸承的軸向變形量隨轉速的變化越小。

圖6 定壓預緊下軸向變形量隨轉速的變化

如圖7所示，定位預緊下軸承的軸向載荷隨轉速的升高而增大，這是由于定位預緊狀態下軸承內、外圈之間的相對位置固定，高速下球的離心力作用導致球對外圈的作用力增大且無法釋放，最終使軸向載荷增大。

圖7 定位預緊下軸向載荷隨轉速的變化

3.2 定壓預緊與定位預緊下球接觸載荷隨轉速的變化

不考慮球所承受的陀螺力矩，其徑向和軸向平衡方程為

(16)

由(16)式可得

(17)

由(17)式可得αe<αi，即在離心力的作用下，球與內圈的接觸角增大，與外圈的接觸角減小；由(16)式可得Qe>Qi，即在離心力的作用下，球與內圈的接觸載荷小于球與外圈的接觸載荷。

在軸向預緊力作用下，不考慮接觸角隨轉速變化時，每個球與內、外圈的法向接觸載荷為

(18)

定壓預緊或定位預緊時，不同預緊力下球與內、外圈的接觸載荷隨轉速的變化如圖8所示，由圖可知：

圖8 不同預緊力下接觸載荷隨轉速的變化

1)球與內、外圈的接觸載荷均隨著初始預緊力的增大而增大。

2)在定壓預緊狀態下，由于轉速升高使內接觸角增大，球與內圈的接觸載荷隨轉速升高而減小，但這種減小趨勢并不明顯。

3)在定位預緊狀態下，球與內圈的接觸載荷隨轉速升高先減小后增大。在轉速較低時，軸向載荷增加并不顯著，與此同時接觸角增大，因此接觸載荷變小；隨著轉速升高，軸向載荷迅速增大并占主導因素，球與內圈的接觸載荷隨之增大。

4)高速運行工況下，對于定壓預緊，由于慣性力的作用，球有脫離內溝道而壓向外溝道的趨勢，導致球與外圈的接觸角減小且接觸載荷增加；對于定位預緊，不僅離心力使球與外圈的接觸角減小，而且軸向載荷也隨著轉速升高而增大；因此，在高速運行工況下，定位預緊時球與外圈的接觸載荷比定壓預緊時大。

3.3 定壓預緊與定位預緊下球與溝道的接觸角隨轉速的變化

定位預緊或定壓預緊時，不同預緊力下球與內、外圈的接觸角隨轉速的變化如圖9所示，由圖可知：

圖9 不同預緊力下接觸角隨轉速的變化

1)靜態下球與內、外圈的接觸角相同，且接觸角隨著初始預緊力增大而增大。

2)高速運行工況下，由于離心力和陀螺力矩的作用，球與內圈的接觸角增大，球與外圈的接觸角減小；定位預緊與定壓預緊時，球與內圈的接觸角相差不大，但定位預緊時球與外圈的接觸角更大，說明定壓預緊時球受到的離心效應更明顯。

3)轉速為20 000 r/min，輕、中、重預緊工況下，定壓預緊時球與外圈的接觸角相對定位預緊時分別減小45.6%，18.2%，5.2%，這是由于高速下球有壓向外溝道的趨勢，然而定位預緊的軸向載荷隨轉速增大而增大，抑制了接觸角隨轉速的減小。計算結果也表明，預緊力越大，定壓預緊與定位預緊時球與外圈的接觸角相差越小。

3.4 不同預緊方式下軸承剛度隨轉速的變化

定位預緊或定壓預緊時，不同預緊力下軸承剛度隨轉速的變化如圖10所示，由圖可知：

圖10 不同預緊力下軸承剛度隨轉速的變化

1)靜態下，軸承的軸向剛度和徑向剛度隨預緊力增大而增大。

2)在高速運行工況下，軸承的軸向剛度和徑向剛度均隨著轉速升高而衰減，但衰減的程度略有不同，定位預緊時軸承的剛度明顯大于定壓預緊時。在轉速為20 000 r/min，輕、中、重預緊工況下，定壓預緊軸承比定位預緊軸承的軸向剛度分別減小了60.1%，36.2%，13.1%，徑向剛度分別減小了59.5%，36.1%，12.4%，原因是定位預緊軸承的軸向載荷隨轉速的升高而增大，抑制了剛度隨轉速的減小。

4 結論

構建了角接觸球軸承擬靜力學模型，研究了不同預緊方式角接觸球軸承的動態特性分析計算方法，探索不同預緊方式、轉速、預緊力等因素對軸承動態特性的影響規律，得出以下結論：

1)定壓預緊軸承的軸向變形量隨轉速升高而減小，定位預緊軸承的軸向載荷隨轉速升高而增大。

2)高速運行工況下，定位預緊時球與外圈的接觸載荷比定壓預緊時的大。

3)靜態工況下，球與內、外圈的接觸角相等且接觸角隨初始預緊力增大而增大；高速運行工況下，預緊力越大，定壓預緊時球與外圈的接觸角與定位預緊時的差值越小。

4)軸承剛度隨預緊力增大而增大，隨轉速升高而減小。高速、初始預緊力相等工況下，定位預緊軸承的軸向剛度和徑向剛度均大于定壓預緊軸承。