基于顯式有限元的轉子不平衡與軸承故障耦合分析

楊子臻，左彥飛，邵化金，馮坤

(北京化工大學 a.發動機健康監控及網絡化教育部重點實驗室；b.高端機械裝備健康監控與自愈化 北京市重點實驗室，北京 100029)

據統計,旋轉機械80%以上的轉子振動故障由轉子不平衡引起[1]，30%的旋轉機械故障是由軸承故障引起[2]。在轉子-軸承系統中，轉子不平衡與軸承故障同時存在的情況時有發生，且會引發嚴重的機械振動，影響機組的正常運行,故有必要對轉子不平衡與軸承缺陷耦合故障的特征及機理進行研究。

在對轉子-軸承系統進行受力分析的基礎上，基于仿真技術模擬系統工作狀態，并對其進行計算分析，是研究系統特性的重要手段。國內外對軸承仿真技術做了大量研究：文獻[3]基于LS-DYNA研究了深溝球軸承動態應力變化及各零件間的接觸力，結果表明球與外圈接觸力的波動大于內圈,球與保持架間的作用力較小；文獻[4]研究了外圈故障狀態下軸承各零件的等效應力，并得到外圈故障特征頻率；文獻[5]研究表明，隨著軸承外滾道缺陷尺寸的增大，系統振動幅值隨之增大；文獻[6]指出滾子與滾道之間因離散化而產生的沖擊及高頻噪聲是影響仿真結果準確性的重要原因；文獻[7]提出了一種徑向軸承準靜態載荷分布和剛度的計算方法，并得到只有缺陷位于軸承受載區時才會存在故障沖擊現象的結論;文獻[8]基于有限元法分析了轉子-軸承系統不平衡-不對中-碰磨耦合故障的振動響應，并微分耦合經驗模態分解法，有效地完成了系統振動響應的分解，為各耦合故障征兆的獲取提供基礎；文獻[9]分析了不平衡與碰磨故障耦合下轉子-軸承-機匣系統的動態響應規律。

上述關于軸承有限元仿真的研究往往忽略轉子的影響，只針對軸承進行仿真分析。關于轉子-軸承系統耦合故障的研究多是轉子多故障耦合研究，對于軸承故障與轉子不平衡耦合研究較少。鑒于此，在對轉子不平衡與軸承故障耦合各狀態受力分析的基礎上，基于虛位移原理的增廣拉格朗日法建立軸承運動控制方程，運用LS-DYNA建立轉子-軸承系統二維顯式動力學有限元模型，開展轉子不平衡與軸承外圈故障耦合狀態下的故障特性機理分析。

1 轉子-軸承耦合系統模型

軸承運動過程中各零件間存在復雜的力學關系，在故障耦合狀態下軸承受力更復雜，受力情況如圖1所示，圖中:FCNi,FCNe分別為內、外圈滾道與滾子的法向力，FCji，FCje分別為內、外圈滾道與滾子的摩擦力，FCNc，FCjc分別為保持架對滾子的法向力與摩擦力，Gb為滾子重力，ωb為滾子轉速。在無缺陷狀態，滾子受內、外圈的作用力，通過內圈與滾子的摩擦使滾子沿外圈滾道滾動，滾子與保持架接觸，驅動保持架自轉。在進缺陷狀態，滾子與內圈失去接觸(驅動力)，滾子自轉頻率降低，其在自身公轉方向一側與保持架失去接觸。在出缺陷狀態，滾子在公轉反方向一側與保持架接觸，使滾子撞擊缺陷邊緣產生沖擊力。

圖1 不同狀態下軸承受力分析簡圖

在對軸承-轉子系統受力分析的基礎上，基于虛位移原理的增廣拉格朗日法建立軸承-轉子耦合系統數學模型，即

(1)

基于中心差分法求解軸承控制方程，即

(2)

(3)

將(2)，(3)式代入(1)式可得

(4)

FC(t+Δt)=FCj(t)-Ku+FCN(t+Δt)。

(5)

2 有限元模型

以N205圓柱滾子軸承為例分析，其主要結構參數為：外徑52 mm，內徑25 mm，滾子組節圓直徑38.5 mm，滾子數量13，滾子直徑7.5 mm，滾子長度7.5 mm。

假設外圈存在缺陷，外圈滾道預置長度為2 mm、深度為0.2 mm的貫穿缺陷。忽略軸承徑向游隙、油膜以及材料塑性變形的影響，建立缺陷軸承模型。對模型進行網格劃分，軸承各零件接觸面網格細化，模型包含36 620個單元， 39 296個節點，網格劃分如圖2所示。

圖2 轉子-軸承系統網格劃分

對軸承座底部施加全約束。滾子與內圈、滾子與外圈、內圈與轉子、外圈與軸承座之間施加相應摩擦接觸。在轉子中心施加沿y軸負方向30 N的徑向力，模擬轉子所受重力。在轉子中心施加60 N與轉頻同頻的旋轉徑向力，模擬轉子不平衡。模型施加重力加速度，在轉子中心逆時針方向施加900 r/min的轉速。

3 轉子-軸承系統故障耦合特征

3.1 加速度

依據文獻[10]求得滾子公轉頻率fc為6.06 Hz，外圈通過頻率fbpfo為78.75 Hz。當僅存在外圈故障時，提取模型軸承座頂部中心節點的加速度信號(圖3)，其時域波形中存在明顯的沖擊現象，相鄰沖擊間隔約0.013 s(77 Hz)，與外圈通過頻率fbpfo(78.75 Hz)基本一致，且包絡譜中也存在與外圈通過頻率相近的79 Hz及其倍頻成分。

轉子不平衡-軸承故障耦合狀態下軸承座節點加速度的時域波形及包絡譜如圖4所示。

圖3 外圈故障時軸承座節點加速度信號的時域波形及包絡譜

圖4 耦合狀態下軸承座節點加速度信號的時域波形及包絡譜

由圖4可知：在故障耦合狀態下，時域波形中不僅存在時間間隔為0.013 s(78.75 Hz)的沖擊現象，且幅值變化周期為0.065 s(15.3 Hz)，包絡譜中不僅存在轉頻(15 Hz)與外圈故障特征頻率(78.75 Hz)的單一故障特征，且外圈通過頻率兩側存在差值為轉頻的邊頻帶(64 Hz與94 Hz)。

3.2 轉子軸心軌跡

耦合狀態下轉子軸心運動軌跡如圖5所示，由圖可知：1)軸心軌跡呈橢圓形且軌跡中心處于軸承幾何中心的下方，軸心軌跡上半部分較為平穩，下半部分存在突變(區域1～4)。2)相鄰偏移位移峰值的時間間隔為0.065 s(15.3 Hz)，與不平衡故障使轉子產生正進動的頻率(15 Hz)一致。3)區域1～2，3～4的時間間隔均為0.013 s(77 Hz)，與外圈通過頻率fbpfo(78.75 Hz)相對應。

圖5 耦合狀態下轉子軸心運動軌跡

4 轉子-軸承系統故障耦合作用機理

在0.560，0.573，0.586 s時軸承的等效應力云圖如圖6所示，由圖可知：1)隨軸承運轉，受載區逆時針旋轉，逐漸遠離外圈缺陷位置。2)結合圖4a，沖擊1，2，3分別對應1#，2#，3#滾子通過缺陷時產生的沖擊。

圖6 軸承等效應力分布圖

1#滾子通過故障時其質心偏離軸承節圓距離及與外圈的接觸力如圖7所示,由圖可知：1)進缺陷階段，滾子運動平穩，滾子與外圈的接觸力逐漸減小為0，該階段不存在碰撞。2)缺陷中階段，滾子進入故障后做類平拋運動，滾子與外圈接觸力為0，此時保持架驅動滾子沿周向運動，自身離心力使滾子產生徑向運動。3)出缺陷階段，滾子運動軌跡突變，與外圈接觸力較為復雜，這是由于在此階段發生了故障沖擊，出缺陷時滾子撞擊外圈缺陷邊緣后反彈，與外圈失去接觸的同時撞擊內圈，然后回彈再次撞擊外圈，如此循環，滾子在內外圈間撞擊時產生的接觸力大于滾子初次撞擊外圈缺陷邊緣時的接觸力。

圖7 1#滾子質心運動軌跡及其與外圈的接觸力

圖7中位置1,2,3處的接觸應力如圖8所示,由圖可知：1)滾子撞擊外圈缺陷邊緣，最大接觸應力出現在滾子與外圈故障邊緣撞擊處。2)滾子撞擊外圈后反彈，與外圈失去接觸的同時撞擊內圈，其最大接觸應力出現在滾子與內圈接觸區域。3)滾子撞擊內圈后，再次撞擊外圈，最大接觸應力出現在滾子與外圈撞擊處。

圖8 不同時刻1#滾子接觸應力分布圖

外圈出缺陷位置邊緣處的沖擊應力如圖9所示，由圖可知：1#,2#,3#滾子通過缺陷時均會產生沖擊力，每個滾子出缺陷階段第1次沖擊時的應力基本相同，在內外圈之間跳動時產生的沖擊力會隨滾子處于受載區位置而變化。沖擊應力幅值與圖4a加速度時域波形中沖擊幅值呈正相關，說明耦合狀態下加速度時域波形中沖擊幅值主要在滾子出缺陷階段產生。每次沖擊力后均出現波動，并出現負值，這是由于單元受撞擊之后會產生應力波，致使單元受力方向發生變化，這也解釋了圖6及圖8所示應力云圖在碰撞接觸位置附近出現負值的原因。

圖9 外圈出缺陷邊緣處的沖擊應力

1#，2#，3#滾子質心運動軌跡及其與內圈接觸力隨時間的變化如圖10所示。

由圖10可知：1)0.559～0.562 s對應圖5中的區域1。在0.559 s時1#滾子進入缺陷，與內圈的接觸力變為0，滾子質心迅速下移，2#，3#滾子與內圈的接觸力均在此刻增大，滾子質心出現下移，這是由于1#滾子與內圈失去接觸導致受載滾子數發生突變，引起載荷再分配。0.562 s時，1#滾子處于出缺陷階段，1#滾子受內外圈同時作用，再次成為受載滾子，引起載荷再分配，使轉子恢復0.559 s前的運動軌跡，即圖5中區域1呈現的轉子軸心軌跡。2)0.572～0.575 s對應圖5中的區域2，由于2#滾子處于承載區，其質心偏移位置及其與內圈接觸力的變化情況與0.559～0.562 s時1#滾子類似，區域2表現出與區域1類似的變化。3)0.585～0.588 s對應圖5中的區域5，此時3#滾子處于受載區外，其與內圈接觸力在通過缺陷前后始終近似為0，對轉子軸心軌跡不會產生顯著影響，故3#滾子通過故障時質心雖然出現了下移，但1#，2#滾子質心軌跡及接觸力基本沒有變化，這解釋了圖5中區域5轉子軸心軌跡未發生突變的原因。

5 試驗驗證

為驗證文中仿真結果，搭建軸承故障模擬試驗臺，如圖11所示。采用靈敏度為100 mV/g(g取9.8 m/s2)的加速度傳感器，傳感器量程為±50g,數據采集器采樣率設置為51.2 kHz，在軸承座位置采集系統振動加速度信號，并基于MATLAB對其進行分析處理。

圖11 軸承故障模擬試驗臺

轉子不平衡與軸承外圈故障耦合狀態下的加速度時域波形及包絡譜如圖12所示，由圖可知：時域波形中故障沖擊時間間隔為0.012 5 s，且沖擊幅值以0.062 5 s為周期變化，包絡譜中存在15.3 Hz和79.7 Hz的頻率成分，其分別對應轉頻(15 Hz)及外圈通過頻率(78.75 Hz)，且外圈通過頻率兩側存在差值為轉頻的邊頻帶(64.4 Hz與95 Hz)。試驗結果與仿真結果具有良好的一致性，證明了仿真結果的有效性。

圖12 耦合狀態下軸承加速度時域波形及包絡譜

6 結論

在轉子不平衡與外圈缺陷耦合故障狀態下軸承力學分析的基礎上，提出一種轉子-軸承系統動態接觸有限元模擬方法，通過分析轉子不平衡與軸承外圈缺陷故障耦合狀態下的軸承振動加速度和轉子軸心軌跡，闡釋了故障耦合狀態下故障的作用機理，得到以下結論：

1)與軸承外圈故障相比，耦合狀態下時域波形中的沖擊幅值隨轉頻變化，包絡譜中不僅存在轉子不平衡與外圈故障的單一故障特征，且外圈通過頻率兩側存在差值為轉頻的邊頻帶。

2)耦合狀態下加速度時域波形中沖擊幅值主要在滾子出缺陷階段產生。

3)耦合狀態下受載滾子數突變是引起轉子軸心軌跡在受載區內出現突變的主要原因。