關于塊Hadamard 積的Oppenheim 型不等式

劉俊同，沈亞光，李 龍

（1.阜陽師范大學 數學與統計學院，安徽 阜陽 236041；2.安徽省阜陽第一中學，安徽 阜陽 236000）

半正定（分塊）矩陣在矩陣理論中占有十分重要的地位，在物理學、概率論、量子信息論以及優化理論等諸多學科都有著重要的應用。矩陣的Hadamard 積是一種特殊的矩陣乘積，被廣泛地應用于量子計算、編碼理論、物理學和區組設計等問題中。基于這些重要的應用背景，半正定（分塊）矩陣的Hadamard 積的特征值和行列式問題一直備受國內外專家學者的關注。

給定兩個n級矩陣A=（aij）和B=（bij），矩陣A和B的Hadamard 積（或Schur 積）用A?B=（a ij bij）表示。Oppenheim[1]281-290于1930 年證明了下述不等式：給定兩個n級半正定矩陣A和B，則有

上述不等式被稱為Oppenheim 行列式不等式。

Lynn[2]和Ando[3]分別推廣了不等式(1)，給定兩個n級半正定矩陣A和B，則有

等價地

Chen 在文獻[4]中推廣了上述不等式(2)，得到了如下更整齊的結果：給定兩個n級半正定矩陣A和B，則有

Gunther和Klotz[5]推廣Oppenheim行列式不等式(1)到分塊半正定矩陣得到如下結果：設

都是p×p分塊半正定矩陣且矩陣A和B是塊可交換的，矩陣A和B的每一塊都是n×n的，則有

這里A□B表示矩陣A和B的塊Hadamard 積，A□B的具體定義見下面的定義1。

Lin 進一步推廣了Gunther 和Klotz 的行列式不等式(1)如下：設

都是p×p分塊半正定矩陣且A和B是塊可交換的，矩陣A和B的每一塊都是n×n的，則有

這里

分別是矩陣

的第k個順序主子矩陣。

本文將利用數學歸納法、半正定矩陣的基本理論以及不等式的構造和放縮技巧推廣不等式（4）到更一般形式。

1 定義和引理

定義1[5]給定兩個分塊矩陣

其中每一塊都是n×n的，稱

為矩陣A和B的分塊Hadamard 積，這里Aαβ Bαβ表示矩陣Aαβ與Bαβ的普通矩陣乘積。

定義2[5]給定兩個分塊矩陣

其中每一塊都是n×n的，若矩陣A的每一個子塊和矩陣B的每一個子塊都可交換，則稱分塊矩陣A和B是塊可交換的。

為了陳述和證明主要結果，我們需要下述引理

引理1[1]477-485設

是n級半正定分塊矩陣，其中A11∈Mk，則有

特別地，有

其中Ak表示矩陣A的第k個順序主子矩陣。

引理2[5]若A和B是兩個n級半正定分塊矩陣，且塊可交換，則矩陣A□B也是半正定矩陣。

引理3設a和b是兩個實數，且有a≥1，b≥ 1，則有

證明因為a≥1，b≥1，于是有

所以，有

2 主要結果

定理若

是一簇p×p分塊半正定矩陣且是塊可交換的，其中每一塊都是n×n的，則有

這里

是矩陣

的第k個順序主子矩陣。

證明由引理2，知A1□…□Am仍是半正定矩陣，我們對矩陣的個數k使用數學歸納法證明，當k=2時，定理歸結于Lin 的結果（4），假設當

時，定理成立，即

成立，下證當k=m時，定理也成立，即證

通過不等式(4)，我們有

應用歸納假設，則有

記

應用引理1，通過不等式(5)，有

因此有xk≥1,yk≥ 1，利用引理3，有

結合(7)、(8)、(9)和(10)，式(6)可進一步化為det(A1□…□Am)

3 小結

本文結合半正定分塊矩陣的基本理論、矩陣Hadamard 積的性質以及不等式的構造和放縮技巧，證明了半正定分塊矩陣Hadamard 積行列式不等式的一個重要結果，推廣了已有文獻的結果。