基于3次B樣條曲線的快速直接插補技術研究

李傳軍 張世輝 謝久明 韓曉方 程嘉強

(①天津中德應用技術大學機械工程學院，天津 300350；②天津華大科技有限公司，天津 300350)

在復雜曲面數控加工中，通常使用CAD/CAM軟件將復雜曲面離散為微小的直線段或圓弧段，然后使用直線插補或圓弧插補完成復雜的加工，這種加工方式使得刀具軌跡不平滑，在微段連接處切向不連續，極大地降低了加工效率和表面質量。為了解決這個問題，樣條曲線直接插補技術應運而生。

3次B樣條是應用最廣泛的樣條曲線[2-5]， 目前已有多種不同的3次B樣條曲線插補方法，如最早的泰勒一階和二階展開方法、反饋插補法、“預估——校正”插補法和函數擬合插補法[6-22]等，在這些插補方法中涉及多次曲線求值和求導計算，甚至需要進行反復迭代計算。而由于B樣條基函數采用遞歸定義，其求值和求導過程十分復雜耗時，因此上述方法需要占用大量的計算資源，甚至影響系統的實時性。

針對刀具軌跡曲線的B樣條曲線模型，本文提出從直接插補算法原理以及B樣條曲線的數學模型出發，為了提高插補過程中的計算效率和計算精度，利用一種B樣條的節點插入技術與微分遞推求值進行3次B樣條曲線的快速求值求導算法，整個插補實現過程不涉及任何B樣條基函數的求值求導計算。解決了目前傳統插補器無法有效插補該類型軌跡的問題，給出了插補點的計算過程和實現方法流程，利用仿真和開放式數控系統加工驗證了此方法的效率和實時性。

1 3次B樣條曲線快速直接插補

1.1 B樣條曲線

B樣條基函數是構造B樣條曲線的基礎，根據de Boor-Cox的遞推定義，B樣條基函數的遞推公式為[1]：

(1)

式中：u為曲線參數；p為B樣條基函數的次數；U=[u0,u1, … ,um]為非遞減節點序列；Ni,p(u)表示序號為i的p次B樣條基函數在參數u處的值，且規定0/0=0。

在B樣條基函數的基礎上，B樣條曲線被提出。p次B樣條曲線Q(u)的定義為[1]：

(2)

式中：Ni,p(u) (i=0,1,…,n)是定義在節點序列U=[u0,u1, … ,um]上的p次B樣條基函數；Pi(i=0,1,…,n)為B樣條曲線的控制頂點序列，順序連接形成B樣條曲線的控制多邊形；B樣條曲線次數p、控制頂點數量(n+1)和節點數量(m+1)之間滿足：

m=n+p+1

(3)

1.2 連續3次貝奇爾曲線

利用3次B樣條曲線的所有節點矢量和所有控制頂點，分別構成節點矢量集合U和控制頂點集合P，若節點矢量U中的某個節點ui滿足ui=ui+1=ui+r-1，即連續r個節點值相等，則稱ui中的重復度為r。采用樣條節點插入技術，對U中的每次節點進行重復插入操作，直到每個節點的重復度均為3，此時3次B樣條曲線轉換為連續3次貝奇爾曲線，即每兩個重復度為3的節點之間為一條3次貝奇爾曲線。通過B樣條節點插入技術可以獲得3次貝奇爾曲線的控制頂點。

1.3 快速直接插補模型建立

從新獲取的任一段3次貝奇爾曲線，得到4個控制項點Q0、Q1、Q2、Q3，取1個偏移矢量V，將4個控制頂點Q0、Q1、Q2和Q3沿矢量V偏移后得到新的4個控制頂點P0、P1、P2和P3，使得P0、P1、P2和P3的坐標分量均不為0，令新的4個控制頂點分別為：P0=(x0,y0,z0)T,P1=(x1,y1,z1)T,P2=(x2,y2,z2)T,P3=(x3,y3,z3)T，則新的爾曲線可表示為：

(4)

式中：t為曲線參數；Bi,3(t)為3次伯恩斯坦基函數，計算為：

其中：符號“！”表示階乘運算。

將式(4)變形為：

(5)

對式(5)兩邊計算關于參數t的一階導矢可得：

(6)

其中：

ΔPi=Pi+1-Pi,i=0,1,2。

聯立式(5)和式(6)可得：

C′(t)=MC(t)

式中：M為系數矩陣，表示為：

1.4 快速曲線直接插補

令C0=(x0,y0,z0, 1)T和t0=0，則第(i+1)個周期的插補點Ci+1計算為：

式中：Δti、k1、k2、k3、k4為插補點遞推參數，計算為：

整個插補過程按照連續的每段3次貝奇爾曲線進行，當ti≥ 1時，所有貝奇爾曲線完成插補至終點。

2 仿真分析

2.1 五角形的3次B樣條曲線快速直接插補算法

根據第基于3次B樣條曲線快速直接插補算法其實現流程如圖1所示。以圖2所示的五角形的3次B樣條曲線為例進行說明。

首先是獲取3次B樣條曲線的參數。獲取3次B樣條曲線的節點矢量U和控制頂點P，其中U={0, 0, 0, 0, 0.125, 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1, 1, 1, 1},P={(60,90,0),(37.5,60,0),(0,60,0),(30,30,0),(22.5,0,0),(60,22.5,0),(97.5,0,0),(90,30,0),(120,60,0),(82.5,60,0),(60,90,0)}。

其次是將3次B樣條曲線轉換為連續3次貝奇爾曲線。通過B樣條節點插入技術可以獲得每段3次貝奇爾曲線的控制頂點。根據以上過程，獲得8個貝奇爾曲線段，Q0、Q1、Q2、Q3每段3次貝奇爾曲線的控制頂點，各個貝奇爾曲線段的控制頂點如表1所示。

表1 貝奇爾曲線段的控制頂點坐標

最后是完成快速曲線直接插補過程。由于所有貝奇爾曲線控制頂點的Z值均為0，因此選取偏移矢量V=(0,0,1)，得到所有的M為如表2所示。根據遞推過程和貝奇爾曲線的終點判斷，完成插補軌跡如圖3所示。

2.2 插補效率分析

圖4表示的是插補過程的速度波動，最大值小于0.015%。由于3次B樣條曲線快速直接插補算法過程不涉及任何B樣條基函數的求值求導計算，僅涉及矩陣乘法(可化為少量的四則運算)和四則運算，因此插補過程計算高效，且插補過程速度波動較低，同樣具有較高的插補精度。

表2 3次B樣條曲線快速直接插補系數矩陣

文獻[1]給出了使用直接計算B樣條基函數的方法來計算B樣條曲線的各階導矢的算法，并廣泛應用于眾多文獻和軟件應用。為了驗證3次B樣條曲線快速直接插補算法的計算效率，以文獻[1]中的B樣條基函數算法為對比，選取某B樣條曲線為對象，分別用3次B樣條曲線快速直接插補算法與文獻[1]中的算法對相同曲線參數處的各階導矢進行2000次運算，并獲得CPU消耗的計時器周期數。仿真程序采用C#編寫，仿真平臺的CPU為Intel(R) Core(TM)i7-8550U CPU @ 1.99GHz，仿真結果如表3所示。

表3 兩種算法計算時間對比

在插補過程中一般需計算曲線的前三階導矢，因此表3列出了對3次B樣條曲線求0至3階導矢時兩種插補算法使用的計時器周期數。從表中可以看出，本文提出的3次B樣條曲線快速插補算法在求取0～3階導矢時所用的時間大約為文獻[1]中算法所用時間的50%。因此本文提出的快速插補算法能節省大約50%的計算時間，這在工程應用中對于提高B樣條曲線實時插補計算效率具有重要意義。

3 加工驗證

為了驗證本文提出的3次B樣條曲線快速直接插補的可行性，筆者所在項目組以TwinCAT技術為平臺開發了國產三軸數控加工中心XK7132A為基礎的開放式數控機床。分別以平面螺線和飛鏢的B樣條曲線為加工對象[23-27]，實際加工的機床以及結果如圖5所示。

圖5的加工過程表明，本文提出的插補方法成功應用于課題組開發的數控機床，并完成了平面螺線和飛鏢的加工，因此3次B樣條曲線快速直接插補算法是有效可行的。

4 結語

(1)提出了基于3次B樣條曲線的快速直接插補算法，采用B樣條節點插入技術將原始3次B樣條曲線轉換為連續多段的3次貝奇爾曲線，利用構造的快速插補模型，遍歷每一段3次貝奇爾曲線，直到所有的3次貝奇爾曲線均快速插補完畢。

(2)提出了并進行了插補仿真分析對比驗證，其插補計算高效，應用于數控系統其實時性得到提高。

(3)基于自主開發的數控平臺上完成了平面螺線和飛鏢的B樣條曲線直接插補加工。