單側約束三邊支承高強鋼板的局部屈曲性能

孫立鵬，劉永健,2，張 寧，盧 迅

(1. 長安大學公路學院，西安 710064；2. 長安大學公路大型結構安全教育部工程研究中心，西安 710064；3. 西北農林科技大學水利與建筑工程學院，楊凌 712100)

部分包裹組合柱由H型鋼或焊接H形截面及其翼緣板之間填充的混凝土組成，常用作高層建筑中的軸壓或偏壓構件[1?2]，具有承載力高、節省材料、施工便捷等優點。其翼緣板可歸類為三邊固支、一邊自由，并在面外受混凝土單側約束的矩形平板。在軸心壓力的作用下，部分包裹組合柱的典型破壞模式為鋼翼緣板局部屈曲并伴隨附近混凝土壓碎破壞[3?5]。通過限制板件的寬厚比，可使翼緣板在達到材料屈服強度前不發生局部屈曲，從而提高部分包裹組合柱的承載力[6]。

國內外有學者針對普通強度鋼材制作的部分包裹組合柱翼緣板的局部屈曲性能和寬厚比限值進行了試驗研究和數值模擬。Uy[9]進行了部分包裹組合柱的軸壓試驗，結果表明，混凝土的單側約束作用可以顯著提高翼緣板的局部屈曲荷載，規范中傳統鋼結構的有效寬度計算公式和寬厚比限值不適用于受混凝土單側約束的板件。Chicoine等[4]和Tremblay等[5]通過試驗結果擬合出了受混凝土單側約束翼緣板的有效寬度計算公式，給出了考慮翼緣板局部屈曲的部分包裹組合柱軸心受壓承載力計算公式。Song等[10]采用非線性有限元法，研究了殘余應力和初始缺陷對部分包裹組合柱翼緣板局部屈曲的影響，并利用大量的數值試驗結果進行回歸分析，給出了受混凝土單側約束翼緣板的極限強度公式和寬厚比限值。

對于采用無屈服平臺、名義屈服強度不小于460 MPa的高強度鋼材制作的部分包裹組合柱，Huang等[11]和Li等[12]分別開展了690 MPa和960 MPa鋼材制作的部分包裹組合柱的軸壓試驗，并結合數值模擬的結果，得到翼緣板寬厚比限值分別為12.6和10.1。

在理論研究方面，Pignataro等[13]、Uy等[14]、趙根田和朱曉娟[15]研究了受混凝土單側約束翼緣板的彈性屈曲性能，得到的彈性屈曲系數均在2.0左右。但當板件的臨界屈曲應力超過鋼材的比例極限后，仍采用彈性理論分析將產生較大的誤差。Wright[16? 17]采用塑性流動理論研究了單側約束平板的彈塑性屈曲性能，推導了寬厚比限值的計算式，但由于式中板件彈、塑性狀態的各方向彎曲剛度和剪切剛度須通過試驗確定，使得該計算式難以直接應用于工程設計。

本文以彈塑性屈曲近似計算方法(Bleich法[18])為基礎，結合里茲法推導單側約束、三邊固支、一邊自由高強鋼板的彈塑性屈曲應力，進而給出板件寬厚比限值的近似計算公式。為了驗證所提出的寬厚比限值的可靠性，采用經過試驗驗證的有限元模型，進行部分包裹組合柱翼緣軸壓數值模擬。將本文提出的單側約束、三邊固支、一邊自由高強鋼板的寬厚比限值與相關規范進行對比，給出設計建議。

1 單側約束板的彈塑性屈曲

寬厚比較小的板件發生局部屈曲時，平行于荷載方向的正應力可能已經超過了材料的比例極限而進入了彈塑性范圍。研究板件的彈塑性屈曲主要有兩種方法：一是以塑性力學為基礎，采用彈塑性變形理論或流動理論[19]；二是以正交異性板理論為基礎，認為板件發生彈塑性屈曲后在平行于荷載方向和垂直于荷載方向的剛度是不同的，Bleich[18]提出的彈塑性屈曲近似計算方法即屬于此類。本文采用Bleich法[18]推導單側約束、三邊支承、一邊自由高強鋼板的彈塑性屈曲應力及寬厚比限值。

1.1 平衡微分方程

取部分包裹組合柱的一塊翼緣板為研究對象，如圖1所示。板件的長度、寬度、厚度分別為a、b、t。假定混凝土為剛性介質以考慮其對翼緣板的單側約束作用[20?21]，忽略鋼板與混凝土界面的粘結和摩擦作用。僅在鋼板中面施加均勻壓應力σx，則板件單位長度上的中面力為Nx=?σxt。板件發生局部屈曲時，在剛性介質的面外單側約束影響下，板件僅能向面外另一側變形，見圖1(a)。對于加載邊，在屈曲波之間的節線處板件未發生轉動，可認為是固支邊界；對于非加載邊，考慮到部分包裹組合柱的翼緣板與腹板的連接使其轉動困難，也可近似為固支邊界，另一非加載邊則為自由邊，見圖1(b)。力學模型中未考慮焊接殘余應力和幾何初始缺陷的影響。

圖 1 單側約束板的局部屈曲Fig.1 Local buckling of unilateral restrained plate

根據彈性板的小撓度理論，面內受單向均勻壓應力作用的矩形平板的平衡微分方程為：

式中：D=Et3/[12(1?ν2)]為單位寬度板的抗彎剛度；w為板件的面外變形函數；ν為鋼材的泊松比，取0.3。

圖2為高強鋼材的應力-應變曲線。圖2中P點的應力σp和A點的應力σx分別為鋼材的比例極限和板件發生彈塑性屈曲時平行于荷載方向(x向)的臨界應力。假設A點處曲線的切線AT的傾角為θ，則切線模量Et= tan θ。為了便于對板件各方向剛度進行修正，定義修正系數(彈模折減系數)η =Et/E。

圖 2 高強度鋼材的應力-應變曲線Fig.2 Stress-strain curve of high-strength steel

1.2 里茲法求解彈塑性屈曲系數

式(2)是四階偏微分方程，不易于直接求解，但可根據式(2)中板各個方向的剛度修正，采用里茲法求解單側約束、三邊固支、一邊自由板件的彈塑性屈曲應力。

部分包裹組合柱翼緣板的兩個加載邊及一個非加載邊可按固支考慮，另一個非加載邊為自由邊，故幾何邊界條件可表述為：

當x=0，a及y=0時：w=0；

當y=b時：w≠0。

選取式(3)作為板件局部屈曲時的面外變形函數，即可滿足上述幾何邊界條件。

式中：a1為常數；m為沿板縱向產生的屈曲波數量。

在彈塑性狀態下，矩形平板產生面外微小變形w時的應變能為：

單位長度上的中面力Nx所做的功為：

將式(3)分別代入式(4)和式(5)可得：

板件的總勢能為：

將式(6)和式(7)代入式(8)，根據勢能駐值原理，令 ?Π/?a1=0，可解得彈塑性屈曲臨界應力：

其中，屈曲系數：

當?k/?m=0時，屈曲系數有最小值：

令式(10)中的η = 1，可得單側約束、三邊固支、一邊自由平板的彈性屈曲系數隨板件長寬比的變化曲線，如圖3所示。由圖3可知，隨著板件長寬比的增大，局部屈曲系數先急劇減小后緩慢增大；隨著屈曲半波數的增加，屈曲系數曲線越來越平坦，并接近屈曲系數最小值1.97。該值與趙根田和朱曉娟[15]采用伽遼金法得到的單側約束翼緣板的彈性屈曲系數1.93非常接近。

圖 3 屈曲系數隨長寬比的變化Fig.3 Variation of buckling coefficient with aspect ratio

由式(11)可知，當臨界屈曲應力超過鋼材比例極限時，若仍按彈性板計算則會高估板件的抗屈曲性能。因此，采用精確的鋼材本構模型來確定修正系數η，是計算彈塑性屈曲應力的關鍵。

1.3 高強度鋼材的本構模型

Ramberg-Osgood本構模型[23? 24]最早被用于描述鋁合金、不銹鋼等沒有明顯屈服平臺的金屬材料的非線性特性。對于同樣沒有屈服平臺的高強度鋼材也可以采用該模型。雖然Ramberg-Osgood模型對塑性應變大于0.2%時預測的應力偏高[25]，但由于板件的彈塑性屈曲重點關注鋼材比例極限之后至屈服之前的特性，故采用Ramberg-Osgood本構模型來研究高強鋼板的彈塑性屈曲并不影響理論分析結果。

Ramberg-Osgood模型提出，材料的總應變ε為彈性應變εe和塑性應變εp之和，即：

式中：p為屈服強度fy對應的塑性應變，取0.2%；n為應變硬化指數，對于高強度鋼材n=16[26?27]。

1.4 寬厚比限值

將式(12)兩邊對應力σ求微并取倒數，可得切線模量表達式：

令式(13)中的σ = σcr，與式(11)一起代入式(9)，可得：

圖 4 彈塑性屈曲應力隨相對寬厚比的變化Fig.4 Variation of elastic-plastic buckling stress with relative width-to-thickness ratio

令式(14)中彈塑性屈曲應力σcr等于鋼材屈服強度fy，整理后得單側約束、三邊固支、一邊自由高強鋼板的寬厚比限值λp：

將E=206 GPa，ν=0.3，n=16，p=0.002代入式(15)，可得到部分包裹組合柱高強鋼翼緣板的寬厚比限值：

2 有限元模擬

為驗證本文提出的寬厚比限值的準確性，采用ABAQUS軟件進行有限元模擬，對受混凝土單側約束、三邊固支、一邊自由高強鋼板在均布壓應力作用下的局部屈曲性能展開研究。

2.1 有限元模型

采用有限元法模擬受混凝土單側約束作用平板的局部屈曲時，由于存在非線性接觸和大變形，常導致計算不易收斂。而ABAQUS的顯式方法可以克服上述數值收斂問題，故本文采用顯式方法對單側約束、三邊固支、一邊自由高強鋼板的軸心受壓過程進行擬靜力分析。

簡化的高強鋼部分包裹組合柱的有限元模型如圖5所示。有限元模型中板件的長寬比取值對局部屈曲性能有較大的影響。由圖3可知，屈曲系數最小值與屈曲半波數m無關，如果板件發生單波屈曲(即m=1)，則屈曲系數取最小值時，板件長寬比a/b為2.5，故本文有限元模型中板件的長寬比取2.5。

圖 5 有限元模型Fig.5 Finite element model

在有限元模型中，鋼板和混凝土分別采用4節點減縮積分殼單元(S4R)和8節點減縮積分實體單元(C3D8R)模擬。為了保證計算精度并盡可能節約計算成本，經試算后確定殼單元的網格尺寸為鋼板寬度的5%，實體單元的網格尺寸為混凝土塊寬度的25%。鋼板和混凝土界面的法向為“硬”接觸關系，即在受拉時允許表面分離，在受壓時表面不穿透。界面切向忽略鋼板與混凝土之間的摩擦和粘結作用。鋼板底端和混凝土底面均采用完全固結約束；鋼板頂端的加載邊允許x向平動，約束y、z向的平動和繞y軸的轉動自由度；與腹板相連的非加載邊亦僅釋放x向平動自由度，約束y、z向的平動和繞x軸的轉動自由度。鋼板頂端耦合于參考點1，以便位移加載[28]。根據Thai等[29]的研究結果，采用ABAQUS的顯式方法模擬準靜態行為時，為了提高準確性，需要采用適宜的加載速度。本文中有限元模型加載的平均速度為1 mm/s[22]。

鋼材采用施剛和朱希[26]提出的考慮應變硬化的多折線本構模型，如圖6所示。圖6中本構模型參數的取值參見文獻[22]。該多折線模型對Ramberg-Osgood模型進行了修正，并經過線性逼近得到，兼顧了精度和計算效率。

圖 6 高強鋼材多折線本構模型Fig.6 Polygonal line constitutive model of high-strength steel

由于均布壓應力只施加在鋼板上，僅考慮混凝土對板件的單側約束作用，故忽略了混凝土的材料非線性。混凝土抗壓強度取50 MPa，彈性模量取34.5 GPa。

板件截面的焊接殘余壓應力在有限元模型中采用“預定義場”的方法施加。為了便于參數化建模，采用Li等[12]提出的矩形分布形式的高強鋼焊接H形截面翼緣殘余應力模型，見圖7。在該模型中，靠近翼緣與腹板之間的焊縫附近為殘余拉應力區，其寬度為bt=10lnt+1，翼緣外側為殘余壓應力區。殘余拉應力的大小為σrt=(0.3lnt+0.3)fy，殘余壓應力的大小可根據截面殘余應力自平衡求得。鋼板的幾何初始缺陷采用在inp文件中修改關鍵字“Imperfection”的方法來添加。幾何初始缺陷的形式采用三邊支承矩形平板的一階彈性屈曲模態，如圖8所示。根據EN 1993-1-5[30]建議，幾何初始缺陷的大小取b/50。

圖 7 殘余應力模型Fig.7 Residual stress model

圖 8 幾何初始缺陷Fig.8 Initial geometric imperfection

2.2 模型驗證

選取文獻[11 ? 12, 31]中的部分包裹組合柱翼緣局部屈曲試驗試件，采用本文的有限元方法進行仿真分析。將有限元模擬得到的平均應力-應變曲線、破壞模式和極限荷載與試驗結果對比。所選取的試件翼緣寬厚比包含了寬厚比限值可能存在的塑性屈曲范圍和彈塑性屈曲范圍。

試驗試件與有限元模型的軸向平均應力-應變曲線對比見圖9。由圖9可知，有限元模型較準確地計算出了高強鋼-混凝土部分包裹組合柱翼緣板的軸向平均應力-應變曲線。

試驗試件與有限元模型的破壞模式對比見圖10。由圖10可知，有限元模型的屈曲破壞模式與試驗試件的一致。值得注意的是，試驗試件FI80-4[11]的翼緣板出現兩個屈曲半波，而有限元模擬只出現一個屈曲半波。這是因為有限元模型和試驗試件FI80-4[11]的翼緣板長寬比不同(分別為2.5和6.0)，根據屈曲系數、長寬比和半波數之間的關系(圖3)可知，前者發生單波屈曲，后者發生雙波屈曲，但二者的屈曲系數均接近最小值kmin。由此可見，本文中有限元模型板件長寬比的取值是合理的。

圖 9 軸向平均應力-應變曲線對比Fig.9 Comparison of axial average stress-strain curves

圖 10 試件FI80-4[11]的破壞模式對比Fig.10 Comparison of failure modes of specimen FI80-4[11]

有限元模擬得到的極限荷載與試驗結果的對比見表1。二者之比的平均值和標準偏差分別為0.97和0.02。

表 1 極限荷載對比Table 1 Comparison of ultimate load

綜上，本文所采用的有限元模擬方法是可靠的，可以用來研究高強鋼部分包裹組合柱翼緣板的局部屈曲性能。

2.3 數值試驗

為驗證寬厚比限值近似計算公式的準確性，本文采用有限元法進行了高強鋼部分包裹組合柱翼緣板軸心受壓的數值試驗。數值試驗中試件翼緣板的厚度為5 mm，寬度在40 mm～140 mm，寬厚比在8～28，盡可能覆蓋了寬厚比限值所在的塑性屈曲和彈塑性屈曲范圍，并在式(16)計算所得的寬厚比限值附近加密數據點。有限元模型包括了屈服強度為460 MPa～960 MPa的8種高強度鋼材。

3 對比與討論

本節將式(14)所得的彈塑性屈曲應力和式(16)所得的寬厚比限值與所收集的試驗結果、有限元結果和相關設計規范作對比，并給出設計建議。

3.1 與試驗和數值結果的對比

由式(14)所得的高強鋼部分包裹組合柱翼緣板的彈塑性屈曲應力和式(16)所得的寬厚比限值與有限元結果的對比見圖11和表2。由圖11和表2可知，通過數值結果確定的不同強度等級鋼材的寬厚比限值與式(16)非常接近，誤差在3%～6%，平均誤差僅為4%。有限元結果證明了式(16)的準確性。

Huang等[11]和Li等[12]分別對690 MPa和960 MPa鋼材制作的部分包裹組合柱翼緣板的局部屈曲進行了試驗研究和有限元模擬，與本文式(16)的對比分別見圖11(e)和圖11(h)。由圖11可知，Huang等[11]和Li等[12]得到的690 MPa和960 MPa鋼材的寬厚比限值分別為12.6和10.1，比式(16)計算所得值分別小1.5%和8.6%。可見，本文提出的寬厚比限值近似計算公式與試驗結果比較吻合。

由圖11還可以發現，在彈塑性屈曲段，試驗和數值模擬所得的極限強度均明顯低于式(14)計算的彈塑性屈曲應力，然而，在塑性屈曲段和寬厚比限值附近，由數值模擬和試驗得到的極限強度均與式(14)吻合。這與盧迅等[32]關于焊接殘余應力對單側約束平板局部屈曲性能影響的研究結果一致：焊接殘余應力對寬厚比較大的彈性屈曲板件和彈塑性屈曲板件的臨界失穩應力影響較大；隨著寬厚比的減小，殘余應力對發生塑性屈曲板件的局部屈曲應力基本無影響。這是因為當板件的寬厚比較小時，板件的面外剛度足夠使板件全截面達到屈服強度而不發生局部屈曲，此時殘余應力作為自平衡應力不會影響屈曲應力。綜上，本文提出的受混凝土單側約束、三邊固支、一邊自由高強鋼板的寬厚比限值近似計算公式是可靠和準確的。

圖 11 有限元結果與式(14)和式(16)的對比Fig.11 Comparison of finite element results with Eqs. (14) and (16)

表 2 寬厚比限值的對比Table 2 Comparison of the width-to-thickness ratio limits

3.2 與規范的對比及設計建議

由式(16)計算所得的單側約束、三邊固支、一邊自由高強鋼板的寬厚比限值與GB 50017?2017[33]、EN 1994-1-1[7]、AS/NZS 2327：2017[8]計算所得的寬厚比限值的對比見表2和圖12。可見，寬厚比限值總體上隨鋼材屈服強度的增大而減小。

圖 12 式(16)與規范的對比Fig.12 Comparison between Eq. (16) and codes

由表2可知，式(16)計算所得的寬厚比限值比GB 50017?2017[33]大33%～57%，平均相差為39%。可見混凝土的單側約束作用可以使三邊支承一邊自由高強鋼板的寬厚比限值平均提高39%，從而提高了板件抵抗局部屈曲的性能。這是因為混凝土的存在約束了板件面外一側的變形，使得板件只能向另一側屈曲，相比在面外兩側自由屈曲的板件，單側約束板件發生屈曲時所消耗的能量更大，即所需外力做的功更大。

式(16)計算所得的寬厚比限值比AS/NZS 2327：2017[8]小9%～23%，平均相差為19%。與EN 1994-1-1[7]和式(16)相比，AS/NZS 2327：2017[8]給出的寬厚比限值偏不安全。

式(16)計算所得的寬厚比限值與EN 1994-1-1[7]相差?9%～7%，平均相差為5%。由圖12可知，二者所預測的寬厚比限值最為接近，其相差較小的原因為：EN 1994-1-1[7]中規定的部分包裹組合柱翼緣寬厚比限值的理論基礎亦是彈塑性屈曲理論[17]，與本文不同的是，其求解方法采用了塑性流動理論。由圖12還可以看出，對于屈服強度在620 MPa～800 MPa的鋼材，由式(16)計算的寬厚比限值與EN 1994-1-1[7]差別甚小，但對于其他強度等級的鋼材，誤差有所增大。考慮到目前部分包裹組合柱翼緣局部屈曲試驗研究僅包括690 MPa和960 MPa鋼材，還未見其他高強度鋼材的試驗研究，在進行部分包裹組合柱設計時，翼緣板的寬厚比限值可偏安全地取式(16)和EN 1994-1-1[7]計算結果的較小值。

4 結論

本文將部分包裹組合柱的高強鋼翼緣板簡化為面外受混凝土單側約束、三邊固支、一邊自由的平板，來研究其局部屈曲性能，得到如下結論：

(1)采用Bleich[18]提出的彈塑性屈曲近似計算方法，結合Ramberg-Osgood鋼材本構模型推導出的受混凝土單側約束、三邊固支、一邊自由高強鋼板的寬厚比限值近似計算公式，與已有的試驗結果和有限元結果均比較吻合，具有較高的精度。

(2)混凝土的單側約束作用可以使三邊支承、一邊自由高強鋼板的寬厚比限值提高39%，從而提高板件抵抗局部屈曲的能力。

(3)本文近似計算公式所得的寬厚比限值較AS/NZS 2327：2017[8]計算結果小19%，與EN 1994-1-1[7]計算結果僅相差5%。建議受混凝土單側約束、三邊固支、一邊自由高強鋼板的寬厚比限值可偏安全地取本文近似計算公式和EN 1994-1-1[7]計算結果的較小值。