大跨屋蓋結構脈動風振響應特性預測方法研究

李玉學，馮勵睿，李海云，田玉基

(1. 石家莊鐵道大學土木工程學院，石家莊 050043；2. 河北省風工程與風能利用工程技術創新中心，石家莊 050043；3. 石家莊鐵道大學道路與鐵道工程安全保障省部共建教育部重點實驗室，石家莊 050043；4. 北京交通大學結構風工程與城市風環境北京市重點實驗室，北京 100044)

近年，為了滿足建筑功能多樣性的需要，造型復雜、形態各異、高標準的現代大跨屋蓋結構不斷涌現[1?4]，與傳統屋蓋結構相比，該類大跨屋蓋結構在風荷載作用下所表現的脈動風振響應特性更加復雜多樣，而如何合理判定結構脈動風振響應特性，并據此高效精準進行結構脈動風振響應計算是亟待解決的問題。

圍繞這一問題，國內外不少學者進行了研究，比如，Harris[5]由結構在脈動風荷載作用下的總均方響應與準靜力響應的比值定義了脈動風振響應特性參數R，根據R值將結構劃分為小型靜力結構、中型靜力結構、大型靜力結構和動力結構四類，并針對不同類型結構采用與之對應的風振響應計算方法。在Harris研究基礎上，Cook[6]又將其中的動力結構細分為一般動力結構和氣動彈性結構兩類。Solari[7]將結構脈動風致共振響應占總響應的比例大小作為判定結構脈動風振響應特性的指標參數，據此將結構劃分為三類，并建議分別采用所提出的簡單方法、詳細方法和嚴格方法計算相應的陣風荷載因子。周晅毅[8]對大跨屋蓋結構進行風振響應分析時，根據結構剛度大小將其分為剛性屋蓋結構、非大變形柔性屋蓋結構和大變形柔性屋蓋結構三類，據此決定風振響應計算中是否忽略脈動風的動力放大效應以及結構與來流的耦合效應。張建勝等[9]以結構真實脈動風振響應與假定的點狀剛性結構脈動風振響應比值作為指標，對大跨屋蓋結構脈動風振響應特性進行分類。在張建勝研究基礎上，武岳和常虹[10]研究發現，結構自振頻率、矢跨比和約束形式三個參數對單層柱面網殼結構脈動風振響應特性影響顯著。

1967年Davenport[11]提出將結構脈動風振總響應分為背景響應和共振響應分別計算，該思路由于具有明確的物理意義而得到了廣泛應用和發展[12?15]。基于此，有學者提出根據脈動風致背景響應和共振響應的比例關系對大跨屋蓋結構風振響應特性進行分類，據此分類結果實現大跨屋蓋結構脈動風振響應分析的簡化[16?17]。上述研究為合理判定現代復雜大跨屋蓋結構脈動風振響應特性并準確高效計算其脈動風振響應提供了清晰思路，但在實際操作過程中仍有一些關鍵問題需要進一步深入研究，主要包括：1)大跨屋蓋結構的脈動風振響應除了背景分量、共振分量外，二者的耦合效應有時也不能忽略，因此按照響應分量比例關系對結構脈動風振響應特性進行分類時，如何兼顧背景、共振耦合項分量的貢獻，對于完善分類結果非常關鍵；2)根據背景、共振及其耦合項分量比例關系判定大跨屋蓋結構脈動風振響應特性之前，需要首先計算得到各響應分量的具體數值，這就使得目前方法只能實現大跨屋蓋結構風效應分析中等效靜力風荷載的高效精準計算，如何在避免對各響應分量具體值計算基礎上，全面實現包括風振響應在內的大跨屋蓋結構風效應高效精準分析還需要深入研究。

本文將針對上述需要深入研究的關鍵問題，基于大跨屋蓋結構脈動風振背景、共振響應及其耦合項完全組合法(下文稱為三分量完全組合法)求解思路，提出一種大跨屋蓋結構脈動風振響應特性簡便預測方法，其目標就是在進行脈動風振響應三分量完全組合求解之前，不再需要計算各響應分量具體數值，只借助幾個簡單的風荷載參數與結構動力特性參數，就可以完成大跨屋蓋結構風振響應特性的合理判定，從而精準選定相應的分量進行風振響應組合計算。

1 脈動風振響應三分量完全組合

大跨屋蓋結構在脈動風荷載作用下的運動方程為：

綜合考慮結構模態頻率大小以及模態空間分布與脈動風荷載空間分布的相關性強弱，選取m階主要參振模態進行風振響應計算[18]，根據模態疊加原理，則式(1)中的結構位移響應可以表示為：

式中： φj和qj(t) 分別為結構第j階模態向量和模態坐標；qj,b(t) 和qj,r(t) 分別為結構第j階模態坐標背景分量和共振分量。

根據隨機振動理論，由式(2)可以得到結構某一自由度i上的總響應方差：

式(3)為脈動風振響應三分量完全組合結果，由于 ρx,br,i的計算需要涉及繁瑣的雙重求和與積分運算，因此在工程實踐中常常將背景、共振響應耦合項省略。

已有研究表明[19 ? 20]，對于大跨屋蓋結構風振響應計算，省略背景、共振響應耦合項有時不能得到理想的結果。更進一步地，若在風振響應計算之前，能夠同時對背景、共振響應及其耦合項對總脈動風振響應的貢獻程度分別進行預測，即進行結構風振響應特性類型判定，就可以實現各分量合理取舍基礎上的風振響應高效精準組合計算。

2 脈動風振響應各分量應變能貢獻

為綜合考慮結構所有自由度上脈動風振背景、共振響應及其耦合項對總響應的貢獻，引入應變能的概念。

脈動風荷載在結構背景響應上做功表示為：

式中：Xd,b(t)為結構所有自由度上瞬時位移響應背景分量組成的列向量；ωj為結構第j階模態頻率；“T”表示向量轉置。

對Wb(t)取數學期望，得到具有統計意義的背景響應應變能：

脈動風荷載在結構共振響應上做功表示為：

式中：Xd,r(t)為結構所有自由度上瞬時位移響應共振分量組成的列向量；“·”表示取一階導數。

對Wr(t)取數學期望，得到具有統計意義的共振響應應變能：

脈動風荷載在結構背景、共振響應耦合項上做功表示為：

式中：Xd,br(t)為結構所有自由度上瞬時位移響應背景、共振耦合項分量組成的列向量；qj,br(t)為結構第j階模態坐標的背景、共振耦合項分量。

對Wbr(t)取數學期望，得到具有統計意義的背景、共振響應耦合項應變能：

將各響應分量應變能對結構總響應應變能的貢獻定義為分量預測系數，作為風振響應計算中能否省略該響應分量的判定依據。

由式(6)～式(10)可得背景、共振響應及其耦合項分量預測系數：

如前所述，要確定式(11)表示的預測系數，需要首先計算得到各響應分量具體值，而在進行脈動風振響應三分量組合計算之前，各響應分量值是未知的，此時也就無法根據式(11)表示的預測系數對各響應分量直接做出取舍，因此還需要對上述脈動風振響應各分量應變能進行簡化處理。

3 脈動風振響應各分量應變能簡化處理

3.1 背景分量應變能

根據隨機響應譜分析方法，結構第j階模態響應譜背景分量為：

根據式(12)，由方差與譜密度的關系可得結構第j階模態響應方差背景分量：

將式(13)代入式(6)，可得由結構動力特性參數和風荷載參數表示的背景響應分量應變能：

3.2 共振分量應變能

同樣，根據隨機響應譜分析方法，結構第j階模態響應譜共振分量為：

根據式(15)，由方差與譜密度的關系可得結構第j階模態響應方差共振分量：

圖 1 模態響應共振分量傳遞函數示意圖Fig.1 Frequency response function of resonant response

根據圖1模態響應共振分量傳遞函數的分布形式，可以將式(17)近似分段表示為：

此時，式(16)可以近似表示為：

將式(20)代入式(8)，可得由結構動力特性參數和風荷載參數表示的共振響應分量應變能：

圖 2 頻域分布示意圖Fig.2 Schematic diagram of

3.3 背景、共振耦合項分量應變能

同樣，根據隨機響應譜分析方法，結構第j階模態響應譜背景、共振耦合項分量為：

根據式(22)，由方差與譜密度的關系可得結構第j階模態響應方差背景、共振耦合項分量：

式中，Hj,br(ω) 為結構第j階模態響應背景、共振耦合項分量傳遞函數，其在頻域內分布如圖3所示，表達式為：

根據圖3模態響應背景、共振耦合項分量傳遞函數的分布形式，可以將式(24)近似分段表示為：

圖 3 Hj,br(ω)頻域分布示意圖Fig.3 Schematic diagram of Hj,br(ω)

此時，式(23)可以近似表示為：

將式(27)代入式(10)，可得由結構動力特性參數和風荷載參數表示的背景、共振響應耦合項分量應變能：

4 脈動風振響應特性類型預測判定標準及實施步驟

4.1 預測判定標準

表 1 大跨屋蓋結構脈動風振響應特性預測表Table 1 Criterion of fluctuating wind-induced response characteristic for large-span roofs

4.2 實施步驟

本文所提大跨屋蓋結構脈動風振響應特性預測法的基本思路為：以應變能評價各響應分量對總響應的貢獻程度，并結合各響應分量的簡化處理，得到只需要結構動力特性參數和風荷載參數表示的各響應分量預測系數，借此系數對結構脈動風振響應特性進行預測并判定類型，從而有效兼顧大跨屋蓋結構脈動風振響應的計算效率和計算精度。具體步驟為：

1)首先對大跨屋蓋結構進行動力特性分析，得到各階模態的自振頻率、模態分布，同時由經驗確定模態阻尼比；根據結構模型風洞試驗獲取的屋蓋表面風荷載信息得到模態荷載方差和模態荷載功率譜。

3)由式(11)分別計算各響應分量預測系數ηb、 ηr和 ηbr，并與按照工程精度要求由工程經驗綜合確定的誤差限 εb、 εr和 εbr進行比較，由比較結果依據表1綜合預測判定結構脈動風振響應特性類型，在此基礎上，舍去對結構總響應貢獻較小的分量，組合貢獻較大的分量得到脈動風振總響應。

5 算例分析

按照本文所提大跨屋蓋結構脈動風振響應特性預測方法，以國家網球中心蓮花球場屋蓋結構為例，對其脈動風振響應特性進行預測，根據預測結果計算結構脈動風振響應，并與三分量完全組合法計算結果(精確值)進行對比，驗證所提方法的有效性。

5.1 工程概況

國家網球中心蓮花球場屋蓋結構整體形如“蓮花”，由12個“z”形花瓣單元組成，單元之間開有較大洞口，結構新穎，造型獨特，如圖4所示。“z”形花瓣單元挑蓬屋蓋最高點標高23.0 m，懸挑長度21.6 m，并設置約3°的傾角以方便排水，該屋蓋體型特殊，表面鈍體繞流特性明顯，屬于重要且復雜的風敏感結構，其風效應分析所需的結構表面風荷載需要借助風洞試驗獲取。

圖 4 “蓮花”球場Fig.4 Lotus court

5.2 風荷載確定及自振特性分析

屋蓋模型風洞試驗在某低速風洞中進行，試驗模型按照1∶120進行縮尺設計，采用有機玻璃和ABS板制作而成，滿足剛性模型測壓試驗所需的剛度和強度要求。考慮到結構的對稱性，僅在模型第3和第4單元布置測壓點，每個單元上、下表面共布置78個測點(模型單元編號及測點布置如圖5所示)，采樣頻率為400 Hz，每個測點采集3900個數據，數據處理時將上、下表面測點風荷載值進行疊加，試驗名義風速為15 m/s，地面粗糙度類別為B類。試驗過程中，在0°～360°范圍內每隔7.5°風向角測試并采集數據1次，其中以正北方向定義為0°風向角，順時針增大，如圖5所示。

圖 5 試驗模型單元編號、測壓點布置及風向角定義Fig.5 Element number, pressure taps arrangement and definition of wind angle of experimental model

如4.2節所述，若對結構進行脈動風振響應特性預測及風振響應計算，需要結構動力特性參數，為此建立了屋蓋結構有限元模型，進行動力特性分析，提取了前100階模態的自振頻率、模態分布等信息，其中前100階模態自振頻率分布如圖6所示。由圖6可見，該屋蓋結構頻率分布較密集，風振響應計算需要考慮多模態參振。

圖 6 前100階自振頻率分布Fig.6 Natural frequency distribution of the first 100 modes

5.3 風振響應特性預測及風振響應分析

如前所述，該屋蓋結構風振響應計算需要考慮多模態參振，因此，綜合考慮結構模態頻率大小以及模態空間分布與脈動風荷載空間分布的相關性強弱[18]，從5.2節結構動力特性分析提取的屋蓋結構前100階模態中選取第1階、第2階、第4階、第3階、第6階等共17階為主要參振模態。

根據本文方法預測得到的屋蓋結構脈動風振響應特性類型，基于隨機振動理論，計算了結構背景響應和共振響應，并對其組合得到結構總脈動風振位移響應極值，其中峰值因子按照極值超越理論得到[21]，同時與傳統的三分量完全組合法計算結果(精確值)進行比較，選取內環屋蓋上12個典型節點(該位置處于屋蓋迎風前緣，為風荷載敏感區域)的計算結果示于表2，其中所選12個典型節點位置及編號如圖7所示。

表 2 典型節點脈動風振位移響應極值Table 2 Fluctuating wind-induced extreme displacement response of key nodes

圖 7 試驗模型典型節點位置及編號Fig.7 Key nodes locations and numbers of experimental model

由表2可見，根據本文對該屋蓋結構脈動風振響應特性類型預測結果，省略背景、共振耦合項分量，只組合背景和共振分量得到的脈動風振位移響應極值，與三分量完全組合結果(精確值)相比，除11號節點誤差為6.433%外，其余所選典型節點的誤差基本在2%～5%，說明本文方法能夠有效預測結構脈動風振響應特性，據此組合得到的結構脈動風振總響應具有較好的精度。

6 結論

針對大跨屋蓋結構風振響應特性的多樣性以及傳統三分量完全組合法求解風振響應的復雜性，提出了一種大跨屋蓋結構脈動風振響應特性預測方法，為合理取舍風振響應三分量，并對其高效精準組合得到總響應提供依據。主要結論有：

(1)引入應變能的概念，基于風振響應各分量應變能比例關系，綜合考慮了結構所有節點上響應分量對總響應的貢獻，據此可以實現對大跨屋蓋結構脈動風振響應特性類型的判定。

(2)根據各響應分量傳遞函數和風荷載譜特性，通過對各響應分量表達式的簡化處理，能夠避免直接計算各響應分量具體值，只需借助風荷載參數和結構動力特性參數，就可以方便預測各響應分量對總響應的貢獻。

(3)采用所提方法，對國家網球中心蓮花球場屋蓋結構脈動風振響應特性進行預測，根據預測結果，對相應的響應分量進行組合計算。結果表明，所提方法能夠有效預測結構脈動風振響應特性，據此組合計算的脈動風振總響應具有較好的精度。