偏心故障下動車組牽引電機轉子振動特性分析

周生通，郭維年，肖 乾，朱經緯,2，周新建，涂文兵

(1. 華東交通大學機電與車輛工程學院，江西，南昌 330013；2. 中國鐵路廣州局集團有限公司株洲車站，湖南，株洲 412000)

隨著我國高速鐵路的迅速發展，高速動車組列車牽引電機的振動特性不僅關乎電機自身的平穩運行，也是確保牽引驅動裝置甚至整列列車持續可靠運營的關鍵[1?4]。當前，動車組牽引電機多采用鼠籠式三相異步電動機，具有結構簡單、運行可靠、制造成本較低等優點[1]。然而，作為一種典型的機電耦合系統，牽引電機振動情況復雜，特別是因材料不均勻、加工精度、安裝誤差以及使用中的偶然因素等導致定轉子間氣隙分布不均和轉子質量偏心時，電機將產生不平衡磁拉力(Unbalanced Magnet Pull, UMP)和機械不平衡力等[2,5]。目前針對機械不平衡力下的電機轉子動力學研究相對成熟[2,4]，而在氣隙偏心引起的電機轉子系統振動方面，國內外學者的研究則主要集中在大中型感應電機、汽輪發電機和永磁同步電機等，并取得諸多有益的研究成果[5?8]。然而在高速鐵路的推動下，動車組牽引電機氣隙偏心故障也逐漸凸顯，相應的不平衡磁拉力及其對電機轉子振動特性的影響研究也顯得越來越重要。

事實上，早在20世紀初，Smith等[9]就對氣隙偏心及其引起的不平衡磁拉力作了初步研究，此后，國內外學者在不平衡磁拉力的解析模型和有限元模型方面做了深入研究[10?14]。在考慮不平衡磁拉力的電機轉子動力學方面，郭丹等[6,13]將氣隙磁導展開成Fourier級數的形式，運用Maxwell應力積分方法，得到任意磁極對下三相同步電機空載時的不平衡磁拉力公式，并基于Jeffcott模型討論了電機參數對偏心轉子系統的振動特性的影響；岳二團等[8]研究了永磁同步電機負載時的不平衡磁拉力表達，代入建立的電機轉子系統彎扭耦合方程，討論了不同偏心以及負載類型對轉子系統振動特性的影響；徐學平等[15]給出靜動復合偏心下同步電機負載時的不平衡磁拉力積分表達式，并基于Jeffcott模型詳細討論了不平衡磁拉力和靜載荷等作用下的轉子系統振動特性。但目前在考慮氣隙偏心故障的機車/動車牽引電機振動方面的研究成果尚未見諸報道。陳聚龍等[16]采用ANSYS軟件分析了某機車牽引電機的臨界轉速和不平衡響應；陳哲明等[4]研究了考慮質量偏心和軸承非線性的某牽引電機軸承支反力特性；李帥[17]采用試驗方法評估了牽引電機輸出軸前端面的振動噪聲來源，認為主要由軸承振動、電磁振動以及轉子機械不平衡和不對中等引起；吳順海[18]以及李永新等[19]采用有限元方法分析了動車組牽引電機正常和斷條等工況下的電磁場特性?？梢娨延醒芯恐饕獜臋C械力或電磁場角度來分析動車組牽引電機。

為此，本文擬建立同時具有氣隙偏心和質量偏心故障的牽引電機轉子系統動力學模型，然后在給出一種電機不平衡磁拉力統一解析表達式基礎上，以某型動車牽引電機為例，詳細討論初始靜偏心、質量偏心、徑向剛度和轉子轉速的變化對電機轉子系統振動特性的影響規律，并與已有研究結果作對比以驗證本文模型和方法的有效性。

1 牽引電機轉子振動模型

1.1 牽引電機轉子徑向振動方程

當前，動車組牽引電機多采用鼠籠式三相異步電動機，結構示意如圖1。當電機具有氣隙偏心故障(即δmin≠δmax，r>0)和質量偏心故障(即a>0)時，由此產生的不平衡磁拉力和機械不平衡力將共同作用在電機轉子系統上，進而誘發更為復雜的轉子動力學行為。為了研究偏心故障下牽引電機的徑向振動特性，這里基于Jeffcott模型將牽引電機轉子系統進行離散化，如圖2所示。

圖 1 具有偏心故障的動車組牽引電機結構示意圖Fig.1 Configuration of EMU traction motor with eccentric faults

圖 2 牽引電機轉子系統的Jeffcott模型Fig.2 Jeffcott model of traction motor rotor system

該模型包含一根無質量的彈性軸，其在跨中位置的剛度系數為k，彎曲阻尼系數為c。在彈性軸中央布置一個不計厚度的剛性薄圓盤，質量為m，偏心距為a?？紤]不平衡磁拉力和由質量偏心引起的機械不平衡力作用，忽略轉子重力影響，那么該牽引電機轉子中心O1的運動微分方程可寫為：

式中，Ω為轉頻(即轉子轉速，單位Hz)，右端第一項為質量偏心引起的機械不平衡力，第二項為氣隙偏心引起的不平衡磁拉力，用分量Fmagx和Fmagy表示，具體表達式見后面推導。

1.2 不平衡磁拉力的統一解析表達式

圖 3 電機定轉子的氣隙偏心故障Fig.3 Air-gap eccentric fault of motor between stator and rotor

設P和Q點是任意定子向徑與實際轉子外表面(實內圓)和無偏心轉子外表面(虛內圓)的交點，且該向徑與定子水平向徑夾角為θ，那么定轉子間氣隙沿圓周方向任意角度θ處的氣隙長度為：

由于r?R，故任意θ處的氣隙長度可近似為：

根據θ處的氣隙長度δ(θ,t)，可以得到該位置的氣隙磁導Λ(θ,t)。為了便于計算，將氣隙磁導表達為級數形式[6]，即：

式中：ε為相對偏心量，ε =r/δ0；μ0為空氣磁導系數。氣隙磁導的傅里葉系數Λn為：

根據電機原理和異步電動機負載運行的相量圖，可得定子與轉子的氣隙合成基波磁勢：

采用磁勢乘磁導法，可得沿圓周方向任意角度θ角處的近似氣隙磁密分布為：

一般情況下，氣隙磁密的切向分量比法向分量小得多[10,15]，故這里忽略氣隙磁密的切向分量，只考慮氣隙磁密的法向分量，并假設轉子鐵芯的磁導無限大。那么垂直于鐵芯表面與空氣邊界的Maxwell應力可以表示為：

通過對轉子鐵芯表面的Maxwell應力進行積分，可以得到不平衡磁拉力的積分表達式：

式中，L為氣隙的軸向長度。為了避免復雜的數值積分運算，這里在郭丹等[6,13]給出的不平磁拉力表達式基礎上推導出不同磁極對數時不平衡磁拉力的更一般表達式：

式中：

當僅考慮電機空載運行和動偏心工況時，式(12)～式(14)可退化為郭丹等[6,13]給出的不平衡磁拉力公式；若極對數p= 3，則由式(12)～式(14)可直接得到岳二團等[8]針對負載運行的永磁同步電機推導的不平衡磁拉力公式；若極對數較高(p> 3)且只考慮氣隙磁導前兩項，并忽略ε高階項(高于3次方的項)時，則與徐進友等[20]推得的公式保持一致?？梢?，式(12)～式(14)表達的不平衡磁拉力公式適用范圍更廣，可用于具有靜動氣隙偏心、空載或負載運行和任意磁極對數的電機不平衡磁拉力的表達，故本文將式(12)～式(14)稱為不平衡磁拉力的統一解析表達式。

2 牽引電機轉子振動特性分析

本節以某型動車組牽引電機為例，基于式(1)計算牽引電機轉子的振動響應。該問題是二階微分方程組的初值問題，故將其變換成一階顯式微分方程組，然后采用四階定步長Runge-Kutta算法求解，得到轉子振動的穩態響應。計算中采用的該型牽引電機轉子系統模型參數如下：c= 300 N·s/m，k= 1.48×108N/m，m= 200 kg，R= 0.153 m，L=0.295 m，δ0= 2×10?3m，μ0= 4π×10?7H/m，F1=6523 A，F2= 5571 A，φ0= 2.90 rad，fe= 140 Hz，p= 2。

2.1 初始靜偏心的影響

當初始靜偏心r0> 0時電機轉子系統處于靜動復合偏心工況。這里，設質量偏心距a= 0.1 mm，轉頻Ω= 69 Hz，并取初始靜偏心沿x軸正向，分析不同靜偏心量對電機轉子振動響應的影響規律。

圖4中點“○”代表定子中心O，點“*”代表靜偏心位置(即由初始靜偏心決定的轉子中心位置)，亦即坐標原點O1。當靜偏心量為零時，如圖4(a)所示，轉子處于動偏心狀態，軸心軌跡呈現圓形，圓心位于定子中心，此時靜偏心位置O1與定子中心O重合。當存在初始靜偏心時，轉子處于動靜復合偏心，軸心軌跡呈現接近圓形的橢圓狀，如圖4(b)、圖4(c)、圖4(d)和圖4(e)所示。其中，橢圓長軸位于靜偏心方向上(即x軸方向)，軌跡中心偏離靜偏心位置，并沿靜偏心方向偏移，表現出了與文獻[8]類似的規律，而且初始靜偏心量越大，軌跡偏移距離s越大，并且橢圓的形狀越“扁”(即橢圓長軸與短軸長度之比越大)，但整個軸心軌跡大小受靜偏心量的影響很小，雖略有增加但可以認為基本不變。

圖 4 不同靜偏心量下轉子軸心軌跡Fig.4 Rotor orbits for different static air-gap eccentricity

圖5為不同靜偏心量下不平衡磁拉力分量Fmagx和Fmagy的時域波形?？梢钥吹?，在不同靜偏心量下分量Fmagy都在零附近波動，即其平均值Fmagy0不隨靜偏心量改變，如圖5(c)和圖5(d)所示；而Fmagx則在2000 N以上波動且其平均值Fmagx0隨靜偏心量的增大而增大，如圖5(a)和圖5(b)所示，這主要是由靜偏心方向位于x軸正向造成的。進一步，分析圖5中各力分量的時域幅值數據可以發現不平衡磁拉力分量Fmagx振幅比Fmagy的振幅略大，這與軸心軌跡呈現橢圓狀是相符的。這是因為由質量偏心引起的機械不平衡力不受靜偏心大小影響，且其分量Fmx和Fmy幅值相等(圖5中虛線所示)，進而由兩種外力共同作用下的轉子位移響應就表現為x向幅值略大于y向幅值，從而使得軸心軌跡呈現接近圓形的橢圓狀。

圖 5 不同靜偏心量下的不平衡磁拉力時域波形Fig.5 Time history of UMP for different static air-gap eccentricity

圖6為不同靜偏心率(r0/δ0)下轉子軸心位移頻譜的三維瀑布圖?？梢钥吹皆诓煌o偏心下位移頻譜中較為明顯地包含有零頻分量(0 Hz)、固有頻率分量(119 Hz)、轉頻分量(Ω= 69 Hz)、二倍轉頻分量(138 Hz)、二倍供電頻率(2fe= 280 Hz)及其與轉頻的組合分量(280?2Ω，280?Ω)等，但二倍供電頻率及其與轉頻的組合在偏心率較小時表現并不明顯或未出現，這說明增大靜偏心量會使偏心對系統振動特性的影響增強，使得位移頻譜中頻率成分更加多樣化(如119+Ω和280+Ω兩個頻率成分在靜偏心量足夠大時才開始顯現)，這與文獻[15]中規律類似。不過，相比文獻[15]中p= 1的同步電機，本文中p= 2的動車牽引電機的頻率成分相對略少，這與文獻[13]中討論的極對數影響規律相符。另外，從幅值大小上來看，在前述頻率成分中除零頻分量外，轉頻分量的幅值是最大的，比其它分量高出2個數量級以上。隨著靜偏心量增大，各頻率分量幅值呈增大趨勢，其中固有頻率分量在增大過程中存在幅值波動，而轉頻分量的增大相對自身幅值來說則增加的很小，再加上轉頻分量遠高于其他分量幅值，所以靜偏心量增大引起的電機轉子軸心軌跡大小的增加就很小，基本可以忽略，這與圖4中觀測到的軸心軌跡大小基本不變的現象相符。

圖 6 不同靜偏心率時轉子的位移頻譜Fig.6 Frequency spectrum of rotor displacement for different static air-gap eccentricity

2.2 質量偏心的影響

取轉子靜偏心率r0/δ0=5%，靜偏心沿x軸正向，轉頻Ω=69 Hz，分析靜動復合偏心下不同質量偏心距a對轉子徑向振動和不平衡磁拉力的影響。

從圖7和圖8中可以看到隨著質量偏心距增大，機械不平衡力幅值增大，從而轉子的徑向位移振幅(動偏心)增大，不平衡磁拉力也相應增大，使轉子徑向位移進一步增大，與文獻[8]中規律相符。由于存在初始靜偏心，使得軌跡中心偏離坐標原點，沿靜偏心方向(即x軸正向)偏移，但從圖7可以發現不同質量偏心距下的轉子軸心軌跡保持“同心”狀態，即軌跡中心不隨質量偏心距變化而變化。事實上，軸心軌跡中心位置主要是由位移響應的平均值決定，而位移平均值又主要由外加作用力的平均值決定，從圖8可以看到隨著質量偏心距的改變，無論是不平衡磁拉力還是機械不平衡力，它們的平均值都保持不變，從而使得位移響應均值也保持不變，外在表現為軸心軌跡中心位置不受質量偏心距的影響。

圖 7 不同質量偏心下的轉子軸心軌跡Fig.7 Rotor orbits for different mass eccentricity

2.3 徑向剛度的影響

取質量偏心距a= 0.1 mm，靜偏心率r0/δ0= 5%，靜偏心沿x軸正向，轉頻Ω= 69 Hz，并以徑向剛度k0= 1.48×108N/m為基準值，分析靜動復合偏心下不同徑向剛度k對轉子系統振動的影響。

由圖9和圖10可知，隨著轉子徑向剛度的增加，轉子徑向位移(即動偏心)逐漸減小，不平衡磁拉力幅值也相應減少，但機械不平衡力幅值不受影響。此外，x向不平衡磁拉力的平均值Fmagx0以及軌跡偏移距離s也相應減小。通過精細的數據分析可以發現該工況下轉子徑向剛度系數k與軌跡偏移距離s之間存在近似的反比關系，比例系數近似為對應的不平衡磁拉力平均值Fmagx0，即s≈Fmagx0/k。不過該關系的適用前提是電機靜偏心量保持不變。

圖 8 不同質量偏心距下的不平衡磁拉力時域波形Fig.8 Time history of UMP for different mass eccentricity

圖 9 不同徑向剛度下的轉子軸心軌跡Fig.9 Rotor orbits for different radial stiffness

圖 10 不同徑向剛度條件下的不平衡磁拉力時域波形Fig.10 Time history of UMP for different radial stiffness

由圖11可知，在不同徑向剛度條件下，轉子軸心位移頻譜主要包含零頻分量、轉頻分量(69 Hz)、二倍轉頻分量(138 Hz)、二倍供電頻分量(280 Hz)、二倍供電頻與轉頻組合的分量(280?Ω，280?2Ω)、系統固有頻率分量。其中，系統固有頻率分量隨剛度增大而增大。各頻率分量中，除零頻分量外，轉頻分量的振幅最大，比其他分量的振幅大2個數量級。隨著剛度增加，零頻分量和轉頻分量的幅值減小；而二倍轉頻分量、二倍供電頻分量及其與轉頻分量組合的幅值都呈現出先減小，接著增大，再減小的變化趨勢。這一現象主要是因為固有頻率會隨轉子剛度的增大而增大，而當固有頻率接近某個頻率分量時，將會使系統發生共振，從而產生較大幅值分量，即在這個固有頻率對應的徑向剛度下會形成一個較大的峰值(共振點)，進而呈現出前述變化趨勢。

圖 11 不同徑向剛度時轉子的位移頻譜Fig.11 Frequency spectrum of rotor displacement for different radial stiffness

2.4 轉子轉速的影響

取質量偏心距a= 0.1 mm，靜偏心率r0/δ0= 5%，靜偏心沿x軸正向，分析動靜復合偏心下不同轉速對轉子的振動響應規律。

從圖12中可以看到，當轉速Ω= 10 Hz時，轉子軸心軌跡很小，但放大后其軌跡線呈現明顯的花瓣狀(圖12(b))?；ò隊钶S心軌跡主要由不平衡磁拉力公式中與兩倍電頻有關的時間波動項引起的。從文獻[6,13]中可知波動項系數在極對數增大時會變得很小，而該型牽引電機極對數為2且相關的項系數值(f3c、f3s、f4c和f4s)在本算例中很小，因而這里軸心軌跡的波動只在轉速較低、徑向振幅較小的條件下才顯現了出來(即圖12(b)，當Ω=30 Hz時)。當轉速Ω= 30 Hz、50 Hz和69 Hz時，轉子軸心軌跡花瓣狀波動消失并呈現出接近圓形的橢圓狀。隨著轉速升高，轉子軸心軌跡大小非線性增大，且橢圓稍微變得更“扁”(即長軸與短軸之比增大)。不同轉速下的轉子軸心軌跡呈現“同心”狀態，即軌跡中心不隨轉速變化。

圖 12 不同轉速下的轉子軸心軌跡Fig.12 Rotor orbits for different rotor speeds

圖 13 不同轉速下轉子位移頻譜Fig.13 Frequency spectrum of rotor displacement for different rotor speeds

進一步，由不同轉速下轉子的位移頻譜(圖13)可知，轉子軸心位移包含零頻分量、轉頻分量(Ω)、二倍轉頻(2Ω)、固有頻率分量、以及二倍供電頻率(280 Hz)及其與轉頻的組合分量(280?Ω、280?2Ω)。分析各分量幅值數據發現，除了零頻分量、固有頻率分量以及二倍供電頻率分量外，其他分量的幅值均隨轉速非線性增加。此外，圖13還可以看到，當二倍轉頻分量(2Ω)與固有頻率分量重合時，系統發生了共振，出現共振峰值(共振點)。

3 結論

本文以某型動車組牽引電機為研究對象，在考慮電機氣隙偏心和質量偏心故障基礎上，建立了不平衡磁拉力和機械不平衡力共同作用下的牽引電機轉子Jeffcott模型，推導了適用性更廣的電機不平衡磁拉力統一表達式，并詳細分析了靜偏心量、質量偏心距、徑向剛度以及轉子轉速對該型牽引電機轉子系統振動特性的影響規律，同時通過與已有研究結論作對比驗證了本文模型、方法和結果的有效性和合理性。主要結果包括：

(1)在前人工作的基礎上，給出了一種可適用于具有任意磁極對數、靜動氣隙偏心和空載或負載運行的電機不平衡磁拉力統一解析表達式。

(2)初始靜偏心雖然使轉子徑向位移振幅增大，但增加幅度很小，可以認為基本不變，即初始靜偏心對該型牽引電機的軸心軌跡大小基本不影響，但影響軸心軌跡的位置分布，使軌跡中心沿靜偏心方向偏移；質量偏心距的增大會使轉子徑向位移振幅增大，但不影響軸心軌跡的位置分布；轉子徑向剛度同時影響徑向位移振幅和軸心軌跡位置，徑向剛度變小會增大振動幅值且使軌跡中心沿靜偏心方向偏移；轉子轉速(轉頻)影響徑向位移幅值，不影響軸心軌跡的位置。

(3)機械不平衡力隨質量偏心距和轉速的增加而增加，但與轉子徑向剛度和靜偏心無關。不平衡磁拉力的振幅隨質量偏心距和轉速的增大而增大，但它們基本不影響不平衡磁拉力的平均值，而轉子徑向剛度和初始靜偏心量卻影響不平衡磁拉力的平均值，從而使轉子軸心軌跡發生偏移，同時轉子徑向剛度還會影響不平衡磁拉力的振幅，隨著剛度的增大振幅減小。這些因素對不平衡磁拉力和機械不平衡力的影響規律是前述(2)中所述轉子振動響應變化規律的根本原因。

(4)在靜動復合偏心下系統位移頻譜中通常較為明顯地包含零頻、固有頻率、轉頻(Ω)、二倍轉頻(2Ω)，二倍供電頻率及其與轉頻的組合(2fe,2fe?Ω, 2fe?2Ω)等分量。在各個頻率分量中，轉頻分量的振幅最大，并且明顯高于其他頻率振動分量的振幅，達兩個數量級以上。當各頻率分量與系統固有頻率重合時就會引發系統共振，呈現共振峰值。