問題教學的實踐與思考
——以蘇科版數(shù)學八（下）“矩形、菱形、正方形”第一課時為例

■ 許凌燕

雖然數(shù)學知識是數(shù)學學習的基石，但是數(shù)學思維、數(shù)學思想和解決數(shù)學問題的能力更能反映一個學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。而數(shù)學問題是激發(fā)學生學習興趣，開啟學生數(shù)學思維，培植學生數(shù)學思想方法的平臺和載體，在一個個精心設計的問題教學中，學生的數(shù)學思維和數(shù)學能力才能不斷提升和優(yōu)化。下面筆者以蘇科版數(shù)學教材八年級下冊“矩形、菱形、正方形”第一課時為例，闡述問題教學在數(shù)學課堂上的應用。

一、教學實錄與分析

1.基于情境引入的問題教學。

師：前幾節(jié)課學習了平行四邊形，哪位同學說說我們是從哪些角度來研究平行四邊形的？

生1：平行四邊形的概念、性質(zhì)、判定、應用。

師：請同學們拿出事先準備好的Rt△ABC紙片（∠B=90°）、圖釘和白紙，在白紙上描出Rt△ABC的形狀，再繞斜邊AC的中點O旋轉(zhuǎn)180°后描下旋轉(zhuǎn)后三角形的形狀。以小組為單位討論并回答下列問題：

問題1前后圖形拼成的形狀是平行四邊形嗎？

問題2如果是，它與我們之前所學的平行四邊形有什么不同的地方？

生2：請大家看圖1，我們由∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC（或AB=CD，AD=CB）可證得這個四邊形是平行四邊形。

圖1

生3：它與我們之前所學的平行四邊形不同的地方是一個內(nèi)角為直角，其他三個內(nèi)角也為直角，可以利用平行四邊形的性質(zhì)證明。

問題3通過剛才的分析，你能用一句話描述一下這個圖形嗎？

生4：有一個角是直角的平行四邊形。

（教師板書矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形。矩形通常也叫長方形。）

【設計意圖】筆者設計的操作活動，讓學生回顧了平行四邊形的相關(guān)知識，認識到平行四邊形和矩形的聯(lián)系，進而得到矩形的定義。學生通過操作活動，體驗從舊知到新知的過程，讓新知生長在已有知識點之上。

2.基于知識類比的問題教學。

師：從定義可以看出，矩形是特殊的平行四邊形，其肯定具有平行四邊形的性質(zhì)。那么我們研究平行四邊形的性質(zhì)時，是從哪些方面研究的呢？具體是什么呢？

生：邊、角、對角線、對稱性……

師：通過類比思想，我們也可以從對邊、對角、對角線、對稱性來研究矩形。請同學來分析一下。

生5：對邊——平行且相等，角——相等且全都是90°，對角線——互相平分且相等。

師：為什么對角線相等？

生5：只要證△ABC≌△DCB，即可得AC=BD。

生6：對稱性——中心對稱、軸對稱性。矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形中心對稱的性質(zhì)。同時，我們沿著上下對邊的中點連線所在直線折疊，發(fā)現(xiàn)左右兩邊重合，說明矩形是軸對稱圖形，而且有兩條對稱軸。

師：我們一起來歸納提煉。

【設計意圖】通過類比思想，學生明確研究方向，從而對矩形的性質(zhì)有了更深層次的理解和認知。同時，這樣的數(shù)學問題教學為學生研究數(shù)學提供了途徑和方法，促進了學生數(shù)學知識的有效內(nèi)化。

3.基于例題深化的問題教學。

教材上本課時內(nèi)容只有一個例題，如何用好此例題是關(guān)鍵。為此，筆者設計了問題串，旨在激發(fā)學生的課堂思維，發(fā)展學生自主探究的能力。

例如圖2，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于O。

圖2

問題4在此題設條件下，△AOB是等腰三角形嗎？

問題5增加條件AC=2AB，則△AOB是什么三角形？（此問源于教材。）

生8：∵AC=2AB，∴，AC=BD，∴AO=BO=AB，∴△ABC是等邊三角形。

問題6圖中被對角線分割而成的三角形中還有等腰三角形嗎？

問題7對圖中被對角線分割的三角形，你還有什么認識嗎？

生10：我們通過邊角邊可以證得△ABC?△DCB?△BAD?△CDA，且每個三角形面積為矩形的一半，即

生11：∵AO為△ABD的中線，

師：哪位同學能將剛才的知識總結(jié)一下？

生12：每條對角線將矩形分成兩個直角三角形，共計4個直角三角形，它們?nèi)龋總€直角三角形的面積為矩形面積的二分之一；兩條對角線把矩形分成4個等腰三角形，且每個三角形面積相等，都是矩形面積的四分之一。

問題8通過剛才的研究，請同學們觀察等式還能發(fā)現(xiàn)什么？

【設計意圖】本環(huán)節(jié)設計的教學問題都是圍繞著教材例題展開的，旨在引導學生明確研究的方向，分析在一定條件下，問題發(fā)生、發(fā)展和變化的規(guī)律，探索解決數(shù)學問題的規(guī)律，體會數(shù)學思想方法。圍繞例題深化的數(shù)學問題按照一定順序揭示規(guī)律，逐步推進深入，使得學生能夠在主動構(gòu)建數(shù)學知識的同時優(yōu)化數(shù)學思維，歸納數(shù)學思想方法。

4.基于新知運用的問題教學。

問題9再看圖2，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，請增加一個條件，使得△AOB是等邊三角形。

……

師：同學們回答得都很好，現(xiàn)將同學們提出的這些條件整理為“角”“邊”兩類。

（教師板書。角：∠ABO=60°，∠BOC=120°，∠BCA=30°。

師：我們找其中一個條件如∠BCA=30°，請一名同學加以證明。

生14：由上可知△AOB是等腰三角形，又∵∠BCA=30°，∴∠BAC=60°，∴△AOB是等邊三角形。

師：由∠BCA=30°可得△AOB是等邊三角形，所以這是我們學過的什么知識呢？

生15：直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半。

問題10再看圖2，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，若∠AOD=120°，AB=4cm，求矩形對角線的長。

生16：由剛才的結(jié)論△AOB為等邊三角形，

生17：由∠AOD=120°，得到∠ACB=30°，直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半，∴AC=2AB=8。

【設計意圖】新知運用的問題教學有助于學生更加深刻地理解新知，認識數(shù)學的本質(zhì)。學生通過這兩個問題，對圖中△AOB是等邊三角形有了本質(zhì)的認識，并且通過一個開放性的問題收集素材，順利實現(xiàn)了對已有知識“直角三角形中30° 角所對的直角邊是斜邊的一半”的再認識，同時也對相關(guān)問題的解決明確了思路和方向。

二、基于問題教學的思考

課堂教學中的問題設計和教學設計是問題教學的前提和基礎。因此，數(shù)學的問題教學需要教師對教材內(nèi)容進行深刻解讀，明確本節(jié)課的教學目標。教師應以數(shù)學知識的形成過程、內(nèi)涵特點等方面為問題教學的切入點，精心設計一些具有一定目的性、層次性，符合學生已有基礎知識、學習水平和已有探索經(jīng)驗的問題，讓問題教學成為學生數(shù)學知識、數(shù)學思想和數(shù)學能力不斷增長的根基。以數(shù)學知識的本質(zhì)、數(shù)學思維的啟發(fā)、數(shù)學經(jīng)驗的增長為基礎的高質(zhì)量問題，一定能激發(fā)學生深度的參與興趣。

數(shù)學思想是數(shù)學問題教學的根，問題教學實現(xiàn)“知識構(gòu)建”到“思想引領”的轉(zhuǎn)變。問題是問題教學的心臟，是學生思維活動的發(fā)源地。基于數(shù)學思想的問題教學，將知識、方法問題化，通過問題教學喚醒學生的探究意識，引發(fā)思考，將學生從知識學習引入方法積累并走向思想升華，以此領悟知識構(gòu)建的本質(zhì)。

教師將數(shù)學知識、數(shù)學思想進行問題化教學，能將需要教授的內(nèi)容連續(xù)化、變式化為有實質(zhì)意義的數(shù)學問題，引發(fā)學生持續(xù)地辨析、思考，激發(fā)學生內(nèi)在的學習動力，引導學生從多維度理解數(shù)學知識，培養(yǎng)學生學習的興趣，將學生引入深度學習，培養(yǎng)數(shù)學學科精神，為后續(xù)的數(shù)學學習提供可持續(xù)的學習力。