立足數(shù)學實驗活動 提升學生數(shù)學素養(yǎng)
——以“矩形折疊”教學設計為例

■ 顏小兵

【設計理念】

本節(jié)課的內(nèi)容是中考復習專題中的折疊問題，通過智慧課堂教學形式，揭示了“借助圖形思考和解決問題”的思維過程，闡明了圖形運動變化過程中的基本性質，分享了逐步建立并不斷發(fā)展學生直觀想象能力、邏輯推理能力及信息化培養(yǎng)等數(shù)學核心素養(yǎng)的實踐經(jīng)驗。

一、創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣

數(shù)學來源于實踐，應用于實踐。生活中許多實踐活動與數(shù)學有關。譬如，圖形的折疊就蘊含著許多數(shù)學知識。這節(jié)課我們將以矩形的折疊為例，一起來研究圖形的折疊問題。

二、實踐探究，合作交流

問題1已知一個矩形，如圖1，把它沿中線對折，如果得到的矩形與原矩形相似，你能求出什么？

圖1

師：同學們看自己平板中的題目，這是我們生活中常見的圖形，長方形白紙的對折，折疊之后的矩形與原矩形滿足相似關系，能求出什么？

（學生小組內(nèi)討論、發(fā)言。）

師：雖然題目沒有告訴我們具體的數(shù)據(jù)，但是同學們是否能找出各邊、角之間的關系？比如折疊后的兩個圖形是全等形，它們的形狀、大小不變。你能求出什么？

（學生繼續(xù)分組討論，有的在折紙，有的在平板上演算，有的在記錄，也有的在平板上畫圖，積極思考折疊前后矩形之間的各種關系。)

生1：題目中雖然沒有具體的數(shù)據(jù)，但我們可以根據(jù)剛才得到的關系，假設DE=x，AD=y，則DC=2x，由題意可得x：y=y：2x，從而x：y=也就是原矩形的寬與長的比為

生2：我們小組能直接求出長與寬的比例。因為對折后的矩形與原矩形相似，所以我們可以利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方直接求得DE：AD=

……

【設計意圖】教師利用學生已有的知識結構，從簡單的中線對折出發(fā)，提出問題“你能求出什么”，結論開放，激發(fā)學生求知的熱情和探索的欲望，同時培養(yǎng)學生讀取已知條件信息和識別圖像信息的素養(yǎng)，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學問題的建模過程。

問題2如圖2，如果把矩形沿EF折疊，四邊形ADEF為正方形，矩形EFBC與原矩形相似，那么原矩形的長與寬的比又是多少呢？

圖2

（學生分組討論，拿出準備好的矩形紙片按要求折疊，研究折疊后如何使矩形EFBC與原矩形相似，并觀察計算各個線段之間的關系。）

師：我們在平時生活中會將長方形白紙折疊成一個正方形嗎？

生（齊）：會，只要點A折疊到DC邊上就行了。師：而要使矩形EFBC與原矩形相似，關鍵是兩個矩形的所有的邊對應成比例。怎樣去求原矩形的長與寬的比呢？

（經(jīng)過一番討論后，大部分學生都能夠得到以下結果：設原矩形的長為a，寬為b，則折疊后得到的小矩形長為b，寬為a-b，由兩個矩形相似可得化簡得a2-ab-b2=0。）

師：這個方程我們暫時無法求出a、b的具體值，但題目中是求原矩形的長與寬的比，也就是的值，能否運用整體的思想方法得到呢？生3：能。方程兩邊同時除以b2，得=0，把看成一個整體，運用換元的思想方法解方程，便可求得（負值舍去）。

師：說得對，這個比值正好符合黃金分割比例啊！

【設計意圖】動手能使課堂更加生動活潑、主動和富有個性。學生憑著動手操作，抓住正方形的性質和兩個相似矩形的特征得出方程，并運用換元的思想方法求出相似比，這樣就能夠更加直觀地進行觀察、猜測、推理、交流等數(shù)學活動。

三、抓住本質，開放探索

問題3如圖3，在矩形ABCD中，如果把矩形沿對角線折疊，你能求出什么？

圖3

師：剛才我們是研究最簡單的矩形折疊，下面讓我們來探討沿著某直線折疊后構成全等三角形或相似三角形的情形。請看問題3，這是一道開放題，將矩形沿著它的對角線折疊，你能求出什么？

生4：我能求出△DFB為等腰三角形。

師：為什么？

生4：因為矩形沿著對角線折疊之后，∠EBD=∠ABD，由DC∥AB，得到∠CDB=∠ABD，從而∠EBD=∠CDB，所以DF=BF，因此△DFB為等腰三角形。

師：很好。還有嗎？

生5：我能證明△DEF≌△BCF。

師：嗯，證證看。

生5：將矩形折疊后，得DE=DA=BC，∠E和∠C是對應角，再加上一組對頂角，根據(jù)全等三角形的知識能夠得到△DEF≌△BCF。

師：很好。還有嗎？

生6：那么根據(jù)△DEF≌△BCF，能夠推出DF=BF，也可以說明△DFB為等腰三角形。

師：非常好。還有嗎？

生7：我發(fā)現(xiàn)折疊后整個圖形中的△ABD與△EBD關于BD成軸對稱，△ABD與△CBD成中心對稱，因此這3個三角形都是全等三角形。

師：大家說得都很好，思維很活躍。如果我給出矩形的長AB=5，寬AD=3，你能求出什么？

生8：在Rt△ABD中，我可以根據(jù)勾股定理求得由剛才兩位同學的全等三角形或者等腰三角形結論都能求出CF和BF的長度。設BF=x，則DF=x，CF=5-x，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理列方程計算即可得到。

師：求出線段BF的長度，那么其他線段的長度也就迎刃而解了。因此，同學們在解題過程中要勇于動腦思考，挖掘題目中的隱含條件。

【設計意圖】教師引導學生從不同的角度思考問題，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)圖像信息的能力。

四、實踐探究，拓展提升

問題4如圖4，已知矩形ABCD中，長AB=5，寬AD=3，如果沿BE折疊，使A點落到CD上，你能求出什么？

圖4

師：將矩形沿著BE折疊，使A點正好落到CD上，你們能求出什么？

生9：我可以解Rt△BCF。

師：好的，說說看。

生9：因為矩形沿著BE折疊后，點A與點F對稱，那么△ABE≌△FBE，所以BF=AB=5，在Rt△BCF中,利用勾股定理可求得CF=4。

師：很好，那能不能求出線段DE的長度呢？

生10：由CF=4，我可以繼續(xù)求出DF=1。設DE=x，則EA=3-x，EF=3-x，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得DF2+DE2=EF2，即12+x2=（3-x）2，解得即

師：大家說得都不錯，學數(shù)學就得大膽地思考，這樣思維才能更加靈活，解題的方法才會不斷增多。

生12：老師，我還有一種特殊方法可求AE。

師（驚喜地）：請講。

【設計意圖】學生在自主學習中，自由地在本組內(nèi)充分交流，既有了表現(xiàn)的機會，又增強了合作意識。

五、課堂小結，暢談收獲

師：很高興和大家一起探討、研究矩形的折疊問題，由最基本的沿著中線折疊，到沿著對角線折疊，再到復雜的有條件限制的折疊，同學們都能夠積極思考，通過小組合作的形式掌握矩形折疊的實質和解題的方法。那么通過這節(jié)課的學習，大家有哪些收獲呢？

生13：我認為矩形折疊后會得到直角三角形，可以運用勾股定理求相應的邊長。

生14：矩形折疊后可以得到全等三角形或相似三角形。

生15：有時遇到特殊邊、特殊角，還可以運用銳角三角函數(shù)的知識去解直角三角形。

生16：我發(fā)現(xiàn)在折疊后的圖形中，對稱點的連線垂直平分折痕。

生17：我認為這節(jié)課我們學到了折疊問題中的各種解題方法和技巧。今后，我們不管是遇到四邊形的折疊，還是其他圖形的折疊，都可以用這些思想方法去解決。

師：同學們說得非常好。這節(jié)課我們主要研究矩形折疊中的邊角關系，始終抓住“折痕的位置”變化這條主線，對各種形式的折疊進行了探討。希望同學們在今后的學習中多動手、動口、動腦，就能用我們所學的數(shù)學知識解決生活中的許多實際問題。

【教學反思】矩形的折疊，主要是通過折疊圖形構造圖形的軸對稱性來解決問題。由于折疊前后折疊部分圖形的形狀、大小不變，因此利用軸對稱性，可以轉化相等的線段、相等的角等關系。本節(jié)課筆者通過折疊問題的設置，不斷加大問題難度，有梯度地慢慢引入，通過層層引導，達到問題解決的目的。這種設計符合學生的認知水平，調(diào)動了學生探索的積極性，讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程，體驗數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系，并獲得研究問題的方法和經(jīng)驗，較完整地對圖形的折疊問題進行了梳理和總結。

初中數(shù)學折疊問題不管形式如何變化，解決的關鍵都在于把握圖形折疊后“變”與“不變”的因素。因此，教師在教學時，應注重培養(yǎng)學生提煉基本模型的能力，把握問題本質，進而促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升。