電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)壓降精確計(jì)算及比較

段夢菲，楊嘉城

（1.廣州西門子變壓器有限公司，廣州 510630；2.廣州市公用事業(yè)規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司，廣州 510260）

0 引言

隨著我國電氣工程技術(shù)的不斷發(fā)展，電氣工程設(shè)計(jì)的行業(yè)指導(dǎo)性設(shè)計(jì)手冊——《工業(yè)與民用供配電設(shè)計(jì)手冊》第四版（以下簡稱：手冊）在早些年正式更新發(fā)行。在歷經(jīng)數(shù)次的勘誤和調(diào)整后，手冊已逐漸完善并取代了第三版，成為電氣工程設(shè)計(jì)中不可或缺的設(shè)計(jì)指引。而作為國內(nèi)權(quán)威的設(shè)計(jì)指引之一，除了兼顧簡化工程計(jì)算的需求外，還需要提供更為精準(zhǔn)的詳細(xì)計(jì)算指引，以供設(shè)計(jì)師進(jìn)一步復(fù)核。因此本文嘗試通過分析原手冊公式的不足，找出更具普遍適用性的電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)壓降計(jì)算方法。

1 電壓降落、電壓損耗與電壓偏移

在計(jì)算電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)引起的電壓暫降前，首先需要理清電壓降落、電壓損耗以及電壓偏移這3個(gè)關(guān)于電壓的重要概念。

電壓降落指的是網(wǎng)絡(luò)元件的首末端兩點(diǎn)電壓向量差[1]。其等值電路圖和相量圖如圖1所示。其公式為：

圖1 網(wǎng)絡(luò)元件的等值電路和電壓降相量

由式（1）~（2）可得元件受電端電壓U2為：

電壓損耗為兩點(diǎn)間電壓絕對值之差[1]，即，故當(dāng)電壓相角差δ不大時(shí)，電壓損耗就約等于電壓降落的縱分量，即。

電壓偏移則是為了衡量電壓質(zhì)量，而特指某一節(jié)點(diǎn)的實(shí)際電壓（U）與額定電壓（UN）之差。即：

在國家規(guī)范GB50052《供配電系統(tǒng)設(shè)計(jì)規(guī)范》和GB12525《電能質(zhì)量供電電壓允許偏差》中，對于電網(wǎng)、母線電壓偏差所允許的范圍均指的是電壓偏移值。因此作為衡量電力系統(tǒng)供電質(zhì)量的重要指標(biāo)之一，電壓偏移值才是“大功率電機(jī)啟動(dòng)引起的壓降計(jì)算”之最終計(jì)算目標(biāo)。因此計(jì)算電壓偏移的過程是先通過式（2）~（3）計(jì)算網(wǎng)絡(luò)元件在供電系統(tǒng)中的電壓降落，求出實(shí)際電壓值，再利用式（4）求得電壓偏差，以校驗(yàn)是否滿足國家規(guī)范允許的偏差范圍。為了與國標(biāo)規(guī)范統(tǒng)一說法，以下均以電壓偏差代替電壓偏移進(jìn)行描述。

2 手冊中關(guān)于電機(jī)啟動(dòng)電暫降的計(jì)算

關(guān)于電機(jī)啟動(dòng)時(shí)電壓暫降，手冊給出了有限容量或無限容量系統(tǒng)下，不同啟動(dòng)方式下的計(jì)算方法[4]。本文僅以無限容量電源系統(tǒng)下，電動(dòng)機(jī)全壓啟動(dòng)時(shí)電壓暫降作為計(jì)算示例，分析不同計(jì)算方式下電壓偏差值的差異。

全壓啟動(dòng)時(shí)母線相對電壓的公式如下：

式中：us為電源母線電壓相對值，取1.05；SscB為母線短路容量，MVA；QL為預(yù)接負(fù)荷的無功功率，Mvar；Sst為電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)時(shí)啟動(dòng)回路的計(jì)算容量，MVA；SstM為電動(dòng)機(jī)額定啟動(dòng)容量，MVA；Ssc為最小運(yùn)行方式下系統(tǒng)短路容量，MVA；uk%為變壓器阻抗電壓百分比；SrT為變壓器額定容量，MVA；kst為電動(dòng)機(jī)額定啟動(dòng)電流倍數(shù)；SrM為電動(dòng)機(jī)額定容量，MVA；Xl為線路電抗（阻抗），Ω；Uav為系統(tǒng)平均電壓，kV。

影響式（5）計(jì)算精度的因素可以歸類為以下兩個(gè)方面。

2.1 基準(zhǔn)電壓取值不統(tǒng)一

對比手冊第三版，式（5）最大的變化在于分子處刪減了預(yù)接負(fù)荷QL這個(gè)明顯錯(cuò)誤，并且在原式基礎(chǔ)上增加了電源母線電壓相對值us，其取值為1.05。其中式（6）~（7）中，系統(tǒng)短路容量Ssc的電壓取值為10.5 kV；變壓器計(jì)算容量ST的電壓取值為10 kV（變壓器高壓側(cè)額定電壓10 kV）；電機(jī)額定啟動(dòng)容量SstM的電壓取值為0.38 kV（電機(jī)額定電壓0.38 kV）；電機(jī)電纜計(jì)算容量S1的電壓取值為系統(tǒng)平均電壓Uav＝0.4 kV；預(yù)接負(fù)荷無功功率QL的電壓取值為0.38 kV。由此可見，上述各計(jì)算容量均是在不同電壓取值下求得。手冊作者在《電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)時(shí)電壓暫降計(jì)算法之考證與改進(jìn)》一文中提到，采用系統(tǒng)平均電壓作為基準(zhǔn)電壓，即1.05倍的系統(tǒng)標(biāo)稱電壓。根據(jù)容量的計(jì)算公式，分子分母各元件在計(jì)算“短路容量”時(shí)，有部分電氣元件已經(jīng)選取了1.05倍的基準(zhǔn)電壓值進(jìn)行計(jì)算，如系統(tǒng)短路容量Ssc，而計(jì)算式（5）在前面再乘以1.05進(jìn)行校正，是無法改變基準(zhǔn)電壓取值不統(tǒng)一所導(dǎo)致的誤差，甚至?xí)U(kuò)大誤差。

2.2 電阻計(jì)及前后不一致

一般地，在10 kV及以上的高壓系統(tǒng)中，由于電抗與電阻比值X/R>3，電阻可以忽略不計(jì)。因此式（6）中Ssc是忽略電阻；式（7）中變壓器計(jì)算容量ST，其阻抗電壓百分比uk%（手冊備注說明為電抗相對值，但實(shí)際上取的是阻抗電壓相對值），一般指的是含電阻加電抗的阻抗電壓百分比，即變壓器計(jì)算容量ST是計(jì)及電阻；式（8）中電機(jī)額定啟動(dòng)容量SstM是電機(jī)額定電壓啟動(dòng)時(shí)的啟動(dòng)容量，是計(jì)及電阻的；電機(jī)電纜計(jì)算容量Sl根據(jù)手冊公式備注[2]，小于10 kV電纜線路不能忽略電阻，因此也是計(jì)及電阻的；預(yù)接負(fù)荷容量SL只算及其無功功率QL，因此是忽略電阻。由此可見，上述計(jì)算容量在計(jì)算過程中對是否計(jì)及電阻并沒有達(dá)成前后統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，而且單純將阻抗絕對值代數(shù)相加代替復(fù)數(shù)計(jì)算，將會(huì)引入更大的計(jì)算誤差。

正因?yàn)楦麟姎庠谟?jì)算時(shí)既沒有折算至統(tǒng)一的基準(zhǔn)電壓，也沒有對電阻是否計(jì)及前后統(tǒng)一，如此一來壓降計(jì)算將產(chǎn)生不小的誤差。因此簡化算法如短路功率法一般只用在計(jì)算電力系統(tǒng)的暫態(tài)分析，如短路電流計(jì)算。因?yàn)閷?dòng)輒幾kA甚至幾十kA的短路電流而言，誤差值不足以從根本上影響繼電保護(hù)整定值計(jì)算、靈敏度校驗(yàn)以及設(shè)備的動(dòng)熱穩(wěn)定校驗(yàn)。但是對于計(jì)算大型電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)引起的電壓偏差而言，這樣的誤差足以影響計(jì)算結(jié)果的走向。“計(jì)算電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)時(shí)電壓暫降的目的是在于正確選擇電動(dòng)機(jī)的啟動(dòng)方式”[3]，但在某些行業(yè)的特定使用情景中，啟動(dòng)方式僅能使用全壓啟動(dòng)時(shí)，則需要更為精準(zhǔn)的計(jì)算結(jié)果來驗(yàn)證方案，以節(jié)省變壓器及電纜投資。

3 標(biāo)幺制阻抗分壓法

此處精確算法是相對于近似算法而言，其原理是利用電勢源對某節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移阻抗計(jì)算電流。全壓啟動(dòng)時(shí)的一次系統(tǒng)圖和等效阻抗圖如圖2所示。

圖2 異步電機(jī)全壓起動(dòng)一次系統(tǒng)和等效阻抗

假設(shè)系統(tǒng)電源阻抗為ZSC，變壓器阻抗為ZT，其他預(yù)接負(fù)荷阻抗為ZL，電動(dòng)機(jī)進(jìn)線電纜阻抗為Z1，以及電機(jī)的啟動(dòng)阻抗為ZstM，其系統(tǒng)阻抗圖如圖2（b）所示。經(jīng)過串聯(lián)合并后得圖2（c），其中Z1＝ZSC＋ZrT，Z2＝Z1＋ZstM，Z3＝ZL。最后通過星三角變換，將阻抗網(wǎng)絡(luò) 簡 化 至 圖2（d），其 中Z12＝Z1＋Z2＋Z1Z2/Z3，Z13＝Z1＋Z3＋Z1Z3/Z2。再利用已知的供電端電壓UA，即可求得電機(jī)在啟動(dòng)時(shí)，電源UA對其產(chǎn)生的啟動(dòng)電流IstM。因此全壓啟動(dòng)時(shí)母線線電壓為。以上阻抗值均為有名制下的數(shù)值，但由于系統(tǒng)為一臺(tái)變壓器耦聯(lián)所成的輸電系統(tǒng)[4]，因此在計(jì)算等效阻抗時(shí)需要根據(jù)變壓器實(shí)際變比折算至同一電壓等級下的阻抗值方可直接相加。為了省去不同電壓下阻抗簡化運(yùn)算的變比折算，則需要引入標(biāo)幺制換算。

標(biāo)幺制下等效阻抗圖簡化與有名制的方法一致，不同的地方在于計(jì)算各元件阻抗標(biāo)幺值過程中，需要先根據(jù)各參數(shù)的電壓取值換算至基準(zhǔn)電壓下的阻抗值有名值，再進(jìn)行標(biāo)幺值換算，以確保阻抗在不同電壓等級下按統(tǒng)一基準(zhǔn)值進(jìn)行標(biāo)幺值換算。其換算公式如下：

根據(jù)圖2簡化阻抗圖及簡化公式，在忽略變壓器二次側(cè)調(diào)壓下，其標(biāo)幺制下全壓啟動(dòng)時(shí)母線電壓相對值為：

不難發(fā)現(xiàn)，手冊簡化算法中，式（5）其本質(zhì)上與標(biāo)幺制算法一致，當(dāng)取基準(zhǔn)容量為1 MVA，式（5）~（7）中的計(jì)算容量即為阻抗標(biāo)幺值的倒數(shù)，也就是說手冊簡化算法本質(zhì)上是導(dǎo)納形式表達(dá)下的阻抗分壓計(jì)算。

4 潮流迭代法

由于上述精確算法在計(jì)算過程中不可避免地需要運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算，大大增加了計(jì)算工作量。因此鑒于供配電系統(tǒng)較為簡單，像此類輻射形網(wǎng)絡(luò)的電力系統(tǒng)，電氣元件的電壓降落或功率損耗計(jì)算還可以運(yùn)用潮流“前推回代法”進(jìn)行分析計(jì)算[2.5]，其推演過程如下。

如圖1所示，已知末端視在功率S2＝P2＋jQ2、首端電壓U1以及元件的阻抗值R+jX，首先，假設(shè)末端電壓U2A，可取系統(tǒng)額定電壓值，那么元件的功率損耗為：

求得元件首端功率S1A＝S2＋ΔSA后，再利用已知首端電壓U1，連同元件阻抗一同代入式（2）~（3），求得第一次迭代的末端電壓U2B。然后如此類推，再利用求得的末端電壓U2B以及利用末端電壓代入求得的末端功率S2B，再次代入式（10），求得第二次迭代的首端功率S1B，如此反復(fù)進(jìn)行迭代計(jì)算。在經(jīng)過多次迭代后求得穩(wěn)定的收斂結(jié)果者即可結(jié)束迭代運(yùn)算。

5 計(jì)算示例

計(jì)算示例的數(shù)據(jù)引用自浙江某新建大型石化廠其中一個(gè)裝置區(qū)的真實(shí)數(shù)據(jù)，其一次系統(tǒng)簡化圖如圖2所示，限于篇幅，本文僅列出計(jì)算數(shù)值及其所用到的計(jì)算式，省略數(shù)值代入及運(yùn)算的過程。

系統(tǒng)參數(shù)如下：系統(tǒng)短路容量SSC＝182.12 MVA；系統(tǒng)X/R比kSC＝4；變壓器容量SrT＝0.5 MVA；變壓器變比nrT＝U1n/U2n＝10/0.4；阻抗電壓百分比uk%＝4%＝0.04；變壓器X/R比krT＝3.974 5；變壓器空載損耗Po＝0.001 05 MVA；變壓器空載電流百分比IO%＝0.8%＝0.008；變壓器空載無功損耗Qo＝IO%×SrT＝0.008×0.5＝0.04 kvar；預(yù)接負(fù)荷SL＝0.275 MVA（預(yù)接負(fù)荷額定電壓UrL＝0.38 kV）；預(yù)接負(fù)荷功率因數(shù)cosφL＝0.847 4；電機(jī)額定功率Prm＝135 kW（電機(jī)額定電壓UrM＝0.38 kV）；電機(jī)額定電流Irm＝241.4 A；電機(jī)額定啟動(dòng)電流倍數(shù)kst＝6；電機(jī)啟動(dòng)功率因數(shù)cosφstM＝0.250 3；電機(jī)電纜長度l＝0.22 km；電機(jī)電纜單位電阻ρ1R＝0.196 0Ω/km、電抗ρ1X＝0.087 6Ω/km（電纜型號(hào)為4×120 mm2，根數(shù)為2根，此為單根時(shí)的阻抗數(shù)據(jù)）。

折算至0.4 kV低壓側(cè)系統(tǒng)阻抗：

折算至0.4 kV低壓側(cè)變壓器阻抗：

預(yù)接負(fù)荷阻抗：

電機(jī)在額定電壓下啟動(dòng)時(shí)阻抗：

電機(jī)電纜阻抗：

5.1 手冊第四版的電機(jī)啟動(dòng)電壓降落計(jì)算（電機(jī)電纜阻抗為查表所得）

由于計(jì)算較為繁復(fù)，本文以計(jì)算過程數(shù)值并配以備注公式的方式呈現(xiàn)。如表1所示，除電機(jī)電纜阻抗采用查閱電纜廠家數(shù)據(jù)所得外，其余公式均與手冊一致。

表1 手冊的電機(jī)啟動(dòng)暫降計(jì)算表（電機(jī)纜阻抗為查表所得）

5.2 手冊第四版的電機(jī)啟動(dòng)電壓降落計(jì)算（電機(jī)電纜阻抗為公式估算值）

手冊的電機(jī)啟動(dòng)暫降計(jì)算表（電機(jī)電纜阻抗為公式估算值）如表2所示。

表2 手冊的電機(jī)啟動(dòng)暫降計(jì)算表（電機(jī)電纜阻抗為公式估算值）

通過比較不同電機(jī)電纜阻抗取值所求得的結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)，不同取值對電機(jī)端電壓會(huì)有所影響，以本案例為例，約有3%的差值。隨著電機(jī)電纜長度的增加，這種差值也隨之成正比例增加。

5.3 標(biāo)幺制阻抗分壓法

標(biāo)幺制阻抗分壓法的計(jì)算重點(diǎn)在于將所有額定電壓下的阻抗有名值折算至基準(zhǔn)電壓值下的阻抗標(biāo)幺值。此處取變壓器的變比電壓值作為基準(zhǔn)電壓，其目的是為了節(jié)省變壓器阻抗在不同基準(zhǔn)值的折算步驟。標(biāo)幺制阻抗分壓法計(jì)算表如表3所示。

表3 標(biāo)幺制阻抗分壓法計(jì)算表

由于此方法運(yùn)用了復(fù)數(shù)運(yùn)算，在更為復(fù)雜的配電系統(tǒng)中計(jì)算量會(huì)相當(dāng)可觀，但在計(jì)算機(jī)已經(jīng)較為普及的現(xiàn)在，利用Excel內(nèi)置函數(shù)或是專業(yè)的電力系統(tǒng)仿真軟件等電算化手段，可以更快、更精準(zhǔn)地得出驗(yàn)算結(jié)果。

5.4 潮流迭代法

對于大多數(shù)末端受電系統(tǒng)而言，其系統(tǒng)形式一般由單電源點(diǎn)通過輻射狀網(wǎng)絡(luò)向若干個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)供電。在已知的額定電機(jī)啟動(dòng)容量、其他預(yù)接負(fù)荷容量以及始端電壓值等已知條件下，可以利用潮流迭代方法計(jì)算在電機(jī)啟動(dòng)時(shí)，各元件的功率損耗及各未知節(jié)點(diǎn)的電壓值[1]。具體計(jì)算過程分以下兩步進(jìn)行。

第一步，從離電源點(diǎn)最遠(yuǎn)的電機(jī)端開始，逆著功率傳輸?shù)姆较颍秒姍C(jī)的額定電壓（即UB＝0.38 kV），依次計(jì)算出各段線路阻抗中的功率損耗和功率分布。

異步電機(jī)全壓啟動(dòng)一次系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 異步電機(jī)全壓起動(dòng)一次系統(tǒng)

對于電機(jī)段線路：

式中：SL為系統(tǒng)額定電壓下（即UB＝0.38 kV），除啟動(dòng)電機(jī)外，該變壓器下其他所有預(yù)接負(fù)荷的視在功率總和。

對于變壓器段線路：

對于系統(tǒng)段線路：

式中：UA取高壓系統(tǒng)電壓10 kV。

第二步，利用第一步求得的功率分布，從電源點(diǎn)UA開始順著功率傳送方向，利用式（2）~（3）依次計(jì)算各段的電壓降落，求出各節(jié)點(diǎn)電壓。

式中：UA取高壓系統(tǒng)電壓10 kV。接著利用及計(jì)算UB，最后利用UB及SB計(jì)算。這里需要強(qiáng)調(diào)的是，由于電纜輸電距離較短，為了簡化計(jì)算，忽略了線路電容所產(chǎn)生的充電功率。

通過上述兩個(gè)步驟完成了第一輪的計(jì)算，為了提高精度，可以重復(fù)以上的計(jì)算。在時(shí)，由于電機(jī)在啟動(dòng)瞬間的機(jī)械特性，可以看作啟動(dòng)阻抗ZstM不變，代入上一輪算出的，通過式（15）求得，然后把上一輪求得的節(jié)電電壓求出其他所有功率損耗并完成第二輪計(jì)算。

為了再進(jìn)一步提高精度，可以增加迭代次數(shù)，在多次反復(fù)迭代后，通過比較前后兩輪的UB和U′B的差值，從而判斷數(shù)值是否趨于收斂。因?yàn)榈^程繁復(fù)，本文省略計(jì)算過程，只列出各節(jié)點(diǎn)的功率分布及電壓。詳細(xì)數(shù)據(jù)如表4所示。此處需要額外強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，本計(jì)算數(shù)據(jù)中，其他預(yù)接負(fù)荷SL在迭代計(jì)入時(shí)，是按固定接入容量代入，即接入容量均為不隨電壓瞬間波動(dòng)而變化、具有機(jī)械慣性的電機(jī)類負(fù)荷。相反地，若其他預(yù)接負(fù)荷SL在迭代計(jì)入時(shí)按全靜態(tài)負(fù)荷，所得迭代結(jié)果便無限趨近于基于歐姆定律的標(biāo)幺制阻抗分壓法的結(jié)果，此處不贅述。比較表4所示的UB和數(shù)值，可見母線電壓UB和電機(jī)端電壓在第7輪迭代后分別收斂于362.5 V和328.4 V。

表4 潮流迭代法計(jì)算表

5.5 ETAP仿真計(jì)算

由于篇幅有限，本文未展示出仿真過程中所有參數(shù)的設(shè)置截圖，僅截取了最終的電機(jī)啟動(dòng)模型示意圖及仿真結(jié)果，如圖4所示。

圖4 模型及仿真結(jié)果

此處需要強(qiáng)調(diào)的是，建模時(shí)的其他預(yù)接負(fù)荷SL是按實(shí)際負(fù)荷安裝情況，即當(dāng)中61%的負(fù)荷為電機(jī)負(fù)荷，其余39%的負(fù)荷為靜止負(fù)荷。最終結(jié)果如圖4所示，母線的電壓降與電機(jī)端壓降分別為364 V和330 V。

5.6 計(jì)算結(jié)果比較

不同計(jì)算方式下的結(jié)果匯總?cè)绫?所示。不難發(fā)現(xiàn)，手冊計(jì)算方法的結(jié)果與另外3種方法相比，其電壓偏差百分比存在1%以上的偏離。

表5 潮流迭代法計(jì)算

不同計(jì)算方法下的電壓偏差百分比對比如圖5所示。通過圖中可以更為直觀地看到二者之間的數(shù)值差異。

圖5 不同計(jì)算方法下的電壓偏差百分比對比

6 結(jié)束語

綜上所述，采用標(biāo)幺制阻抗分壓及潮流迭代算法計(jì)算出來的數(shù)據(jù)都非常接近于通過專業(yè)電力系統(tǒng)分析軟件ETAP建模計(jì)算得出的結(jié)果，無論是母線電壓和電機(jī)端電壓與ETAP仿真計(jì)算的誤差值均在0.5%以內(nèi)甚至更低。但無論采取何種方法計(jì)算電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)壓降，其目的是為了校驗(yàn)大型電動(dòng)機(jī)在各種運(yùn)行工況啟動(dòng)時(shí)是否會(huì)引起大幅度壓降，從而影響母線供電質(zhì)量以及電機(jī)啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩過低而導(dǎo)致啟動(dòng)失敗。隨著供電系統(tǒng)日益復(fù)雜，以及行業(yè)對設(shè)計(jì)的要求和深度的不斷提高，單純依靠傳統(tǒng)的簡化算法并不能完全滿足全行業(yè)設(shè)計(jì)精度、深度的需求。因此利用專業(yè)電力系統(tǒng)分析軟件或是自建數(shù)據(jù)庫和公式進(jìn)行更為復(fù)雜的校驗(yàn)計(jì)算，也將會(huì)成為設(shè)計(jì)手冊外的一種計(jì)算手段的補(bǔ)充。