影響系數法在高速軸系動平衡中的研究與應用*

朱宇騰，姚銀歌，黃 昆，李東亞，鄭昊天，翟丁熠

（洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039）

0 引言

作為數控機床的核心功能部件，電主軸是把傳統機械主軸的可靠性和新式電機控制的便利性相結合的工業結晶，電主軸行業的發展與機床行業的發展息息相關[1]，電主軸的性能缺陷同樣也是造成的機床穩定性不足的最主要原因。通常，行業上通常把采用高速精密軸承，轉速可達60 000 r/min，動平衡精度能達到G0.4，徑向跳動不超過1μm歸類為高端主軸，其是高端機床形成高速率、高精度加工的關鍵，其性能直接決定了機床性能的上限[2]。其中，回轉零件包括轉軸、轉子、平衡環、螺母等關鍵零件作為電主軸的核心，他們的動平衡性能又決定了電主軸的性能好壞。回轉軸系的不平衡量過大，是造成主軸振動值過大的主因[3]，亦會間接造成機床加工時產生振紋、讓刀、壽命不足等諸多問題[4]。

造成回轉零件不平衡量過大的因素包括：材質不均勻或有缺陷（氣孔、裂紋等）；加工制造時產生的不平衡量（螺紋、非對稱的銷子孔、鍵槽等）；裝配誤差；磨損。

相較于傳統機械主軸的中、低轉速，電主軸對于動平衡校準的要求更高，而實際生產加工中，回轉軸系的不平衡問題無法完全消除，盡管國際通用標準ISO1940已經對于適用于不同動平衡精度等級的回轉零件許用不平衡量的大小制定了詳細的標準[5]，但是各廠商對于標準的執行程度不一，缺乏足夠研究。動平衡問題已成為制約國產機床走向高端的“阿喀琉斯之踵”[6]。為此，本文引入了目前最受學術界接受的影響系數法并加以擴展，分別歸納出適用于剛性轉子動平衡的雙面影響系數法及適用于柔性轉子的多面應系數法，并通過理論結合實踐的方式，用案例對主軸動平衡校準中應用影響系數法進行說明。

1 影響系數法

影響系數法是一種用于對剛性轉子軸系進行動平衡校準的方法，從計算力學的角度分析，影響系數是利用線性系統中校正量與所測量之間的一種線性關系，來達到主軸平衡的目的。從控制工程的角度看，影響系數是一種振動響應、校正量和傳感器位置三者之間的傳遞函數[7]。在校準平面改變單位校正量后，回轉軸系在檢測面處產生的響應稱為影響系數。按照校準平面的數量可以分為單面影響系數法和雙平面影響系數法以及多面影響系數法。其中單面影響系數法適用于盤類零件，雙面影響系數法適用于剛性轉子，多面影響系數法可應用于柔性轉子。目前工程上最常用的影響系數法，是1964年由Goodman提出的[8]，他引進了動平衡方程的最小二乘解和加權最小二乘解，使該方法可以在計算時充分考慮到工程實際情況。

1.1 單一平面的影響系數法

單面影響系數法是影響系數法在主軸動平衡應用中最為簡單的一種情況[9]，該方法需要1個校準平面和1個檢測平面，校準平面可以對零件進行去重或增重，檢測平面則需要讀取數據以反應出回轉零件不平衡量的大小，通常是檢測一定轉速下零件的振幅，實際工程應用中也可以用動平衡儀直接測出工件存有的不平衡量來替代振幅。以讀取振動幅度為例，未加重時轉子在初始狀態下檢測面的振動幅度為A，在校準平面增加試重Q以后，振動測量值為B，其中B－A為試重Q的振動響應，如圖1所示。

圖1 單面動平衡法矢量圖

影響因子α表示單位配重量在檢測面處產生的振動幅度。

則影響因子：

如果想平衡轉子，需要在校準面上加配重使A＝0，即加一個A的負方向矢量Q0，其大小可由下式獲得：

1.2 雙面動平衡影響系數法

雙平面影響系數法的思路和單面影響系數法一脈相承[10]，但是需要建立2個與主軸垂直的校準平面（1，2）和2個檢測平面（A1，A2），如圖2所示。

圖2 雙面動平衡的理論模型

具體操作方法為：傳感器記錄無配重時2個測量面的讀值，分別為A10和A20，然后在校準面1上進行配重，得到2個測試面上的讀值A11和A21；然后去掉校準面1上的配重，在校準面2上進行配重，得到測試面2個讀值A12和A22。這樣可以分別求出1面加重對A1面A2面的影響α11、α12，2面加重對A1面A2面影響α21、α22，分別如下式所示：

把影響系數分別代入，然后可分別求出校準面1和校準面2分別需要的校正質量Q10和Q20，分別為：

1.3 多面動平衡影響系數法

長久以來，雙面動平衡以其操作方便、簡單可靠的優點，在主軸產品的設計及加工中占據了主導地位，幾乎可以滿足大部分產品的性能要求。然而，隨著工業水平和市場要求的提高，轉子結構的復雜程度和過去已不可同日而語，如軸徑比極大的細長軸、轉速與精度超高柔性轉子等、對工況有嚴格要求的特殊實驗用軸。對于這些產品，雙面動平衡法已經無法滿足轉子的動平衡要求，就需要增加配重平面，引入多面動平衡影響系數法。

多面影響系數法的原理是假設轉子的響應是一組線性的不平衡函數，利用矢量數學的方法，采用數學優化方法來計算超定方程組[11]。具體方法為：在主軸軸線上截取K個校準平面，每個校準平面的軸向坐標分別記為S1.S2.….Sk；同時，選取M個測振點，每個測振點也分別記錄軸向坐標b1.b2.….bm。當給定轉速時，先測試出點M無配重原始振動值V0（bm），然后停機并在Sk校準平面內增加合適的配重Qk，之后再測出M點振動值為Vk（bm），由此求出Sk校準面對M測振點的影響系數αmk為：

由此可以分別求得分別對應m＝1，2，…，M和k＝1，2，…，K時所有的影響系數，用一個M×K的矩陣來表示，則有:

為確保每個測點所產生振動值之和可以抵消振動初值，需要在各校準平面上施加校正質量Q1，Q2，…，Qk，其取值可由下式確定，即：

2 影響系數法在高速軸系動平衡時的應用

以工程應用最為廣泛的雙面影響系數法為例，對如何將理論應用到實際生產中進行驗證。

所用動平衡設備為上海申克機械有限公司HM2BK臥式動平衡機。選取主軸為某型號電主軸應用于軸承內孔磨削，工作轉速為15 000 r/min，轉子技術要求為動平衡等級G0.4級。

首先，計算轉子許用動平衡量，轉子系統如圖3所示。圖中L1為左校準平面軸向位置；L2為右校準平面軸向位置；L3為質心軸向位置。

圖3 轉子系統

根據在恒定（剛性）狀態下轉子的平衡質量要求，ISO－1940－1－2003標準計算轉子最大許用不平衡量。經測量：L1＝113 mm，L2＝255 mm，L3＝172.15 mm，R1＝R2＝37.8 mm。

左校準平面許用動平衡質量：

右校準平面許用動平衡質量：

式中：G為動平衡等級；M為轉軸質量，kg；N為轉速，r/min；R為校準半徑，mm。

經計算，要達到G0.4的動平衡等級，左校準平面允許不平衡量為0.025 5 g，右校準平面允許不平衡量為0.018 g。

接下來使用影響系數法，對整個軸系進行試重，如圖4所示。

圖4 轉子動平衡

試重過程：轉軸無配重，兩讀數平面A1和A2的在申科動平衡儀上的初始不平衡量讀數分別為A10＝2.76 g和A20＝2.58 g。在1平面去重1 g后，A1面讀數為1.56 g，A2面為1.78 g。在2面去重1 g后，A1面讀數為2.16 g，A2面為1.18 g。

1面去重對A1面A2面的影響：

1面對A1面的影響系數α11＝(2.76－1.56)/1＝1.2；

1面對A2面的影響系數α12＝(2.58－1.78)/1＝0.8；

2面對A1面的影響系數α21＝(2.76－2.16)/1＝0.6；

2面對A2面的影響系數α22＝(2.58－1.18)/1＝1.4。

把影響系數分別帶入，然后可分別求出校準面1和校準面2分別需要的校正質量Q10和Q20，分別為:

即在1面內需去重1.5 g，2面內需去重1.2 g。在1面及2面分別去重后，在申克動平衡儀上再次對轉子的不平衡量讀數，如圖5所示。此時，1面不平衡量為7.33 mg，2面不平衡量為6.58 mg，滿足ISO標準，該主軸已達到G0.4級動平衡標準，影響系數法可以作為一種行之有效的方法應用到主軸動平衡校準當中。

圖5 不平衡量讀數

3 結束語

影響系法作為指導高速主軸動平衡校準的一種重要方法，目前已經成為高速軸系的研究熱點并取得了一系列成果。此方法便于設計人員在設計軸系時，根據轉軸經驗不平衡量值結合轉軸質量、校準平面、校準半徑等量值，合理布置軸系，也對操作人員提供了作業指導并提高了工作效率，為主軸性能穩定提供了有力的支持。本文詳細闡述了目前針對剛性主軸較為成熟的雙面動平衡影響系數法的理論依據及操作方法，并概述了多面動平衡影響系數法，為超高速主軸軸系（包括磁懸浮主軸、空氣主軸等精密軸系）的動平衡校準提供了一個可行的方法。