基于改進變分模態分解的滾動軸承弱故障特征提取

朱群偉，朱丹宸，張明悅

（1.海軍裝備部廣州局駐湛江地區軍事代表室，廣東 湛江 524005；2.海軍士官學校，安徽 蚌埠 233012；3.92601部隊，廣東 湛江 524009）

0 引言

滾動軸承作為旋轉機械的核心零部件，常工作在高溫、高壓和重載的條件下，故障時有發生，嚴重影響著整個設備的安全穩定運行。因此，開展針對滾動軸承的狀態監測和故障診斷方法研究就有著很強的現實意義。基于振動信號進行軸承故障診斷是常見的方法，但由于實際診斷過程中，為了不破壞設備的原有結構，振動信號測量所用傳感器大多只能布置在設備外側的殼體上，軸承故障沖擊信號在向外傳遞過程中需經過復雜的傳遞路徑，造成較大的能量損失，加上多振源導致的強背景噪聲干擾，給準確有效的滾動軸承故障特征提取帶來極大的難度。

由于經驗模式分解（EMD）能夠處理非平穩、非線性信號，因此在滾動軸承故障診斷中得到了廣泛使用，它將信號分解成一系列從高頻到低頻的本征模函數（IMF），通過選取合適的IMF進行信號重構，可以去除高頻噪聲信號，提高原始信號的信噪比。EMD在滾動軸承故障診斷上得到了較為成功的運用［1－2］，然而，端點效應和模態混疊一直影響著EMD的處理效果。鏡像延拓［3］、匹配延拓［4］等方法都在解決端點效應問題上取得了不錯的進展。集合經驗模式分解［5］（EEMD）的提出較好地解決了模態混疊對EMD的影響。EEMD雖然有著不錯的抗混疊效果，但其結果受到總的集合次數以及所添加白噪聲大小的影響，同時EEMD的計算效率也要低于EMD。為了提高EEMD的有效性，Wang等［6］引入AR模型去除信號中的低頻干擾成分；劉永強等［7］在對原始信號進行EEMD分解的基礎上，利用峭度與自相關函數峰態系數選取信號重構所需的IMF分量，突出了故障特征信息。在EEMD的基礎上，為了減少誤差提高算法的效率，又提出了如總體平均經驗模式分解［8］以及完全噪聲輔助集總經驗模態分解［9］等方法。

變分模態分解（VMD）作為一種新的信號自適應分解方法，它可以將信號分解問題轉化為約束優化問題，其最大特點就是摒棄了EMD和EEMD中的遞歸篩分思想［10］，具有精度高和收斂速度快的優點，近年來在降低背景噪聲，提取軸承故障特征方面得到了廣泛運用［11－12］。但VMD的信號分解結果受到分解層數K以及二次項懲罰系數α的影響較大，針對這個問題，Huang等［13］提出基于空間尺度的改進VMD方法，實現分解層數及其他參數的優化選取。Yan等［14］提出利用布谷鳥搜索算法對VMD中的參數K及α進行自動選取。Gu等［15］提出將最小平均包絡熵作為目標函數，實現了VMD中參數的自動尋優，Gong T等［16］和Jiang X等［17］對VMD的分解策略進行改進，實現參數的較優選取。

基于滾動軸承故障信號在時域內呈現周期性沖擊的特點，考慮到背景噪聲的干擾，結合VMD算法的優勢，本文提出一種改進VMD方法并將其用于滾動軸承故障特征提取。利用VMD處理原始信號，以最大加權頻域相關峭度為目標函數，對參數K和α進行尋優，獲取故障特性最為顯著的分量；通過Teager能量算子進一步增強故障沖擊特征，并結合快速傅里葉變換獲得Teager能量譜，實現滾動軸承故障特征的有效提取。

1 基本原理

1.1 VMD 的基本原理

VMD是一種自適應信號分解方法，可以將原始信號分解為多個互不相關的稀疏子信號uk，也就是本征模態函數，VMD的實質為構造和求解變分問題的過程。

VMD求解的約束變分問題可以表示為：

式中：uk＝｛u1，u2，…，uk｝，為各模態函數；ωk＝｛ω1，ω2，…，ωk｝，為各模態函數的中心頻率。

引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘法算子λ（t）用于求解上述的約束變分問題，α可以用于確保重構精度，λ（t）用于保證約束的精確執行。由此得到的增廣拉格朗日表達式為：

采用乘子交替方向法求解等式（3），代表式（1）的最優解。在確定分解模態個數的基礎上，初始化子模態、對應的中心頻率和拉格朗日算子λ1。子模態及其中心頻率ωk分別按照以下公式進行更新：

拉格朗日算子也可根據下式進行更新：

式中：τ為噪聲容忍度。

迭代終止的收斂條件為：

式中：ε為收斂誤差。

通過分析VMD的分解過程可知，分解層數K、二次懲罰因子α、噪聲容忍度τ和收斂誤差ε必須預先進行確定，其中，K和α對分解結果有較大影響，而τ和ε對結果結果的影響相對小很多，因此，本文對前兩個參數進行了優化選取，另兩個參數采用默認值。

1.2 加權頻域相關峭度

峭度（Kurtosis）和相關峭度（Correlated Kurtosis，CK）作為一種表征信號中沖擊特性的指標，常被用于選取合適的分析頻帶，進而準確提取出滾動軸承故障特征，且相關峭度指標在探測周期性沖擊成分時比峭度指標更為有效。然而，峭度指標容易受單一沖擊噪聲的干擾，相關峭度指標也容易受到低頻諧波信號的影響，這些成分的存在均會導致指標值較大，影響最佳分析頻帶的準確和有效選取。因此，本文考慮到將兩種指標相結合，并充分利用信號的時域和頻域特性，提出了加權頻域相關峭度指標，并將其用于選取VMD中的參數K和α。

相關峭度的計算公式為：

式中：xn為信號序列；N為信號的長度；T為感興趣信號的長度；M為偏移的周期個數。

考慮到軸承故障沖擊成分的頻域特性，由此進一出使用了頻域相關峭度，并通過原信號的包絡譜進行定義：

式中：E（x）n為信號xn的包絡譜。

此時的T選取為頻譜上故障特征頻率對應的點數，當信號的包絡譜中，故障特征頻率成分明顯時，頻域相關峭度值較大，反之，當噪聲干擾嚴重時，值較小。

進一步，將峭度與頻域相關峭度相結合，可以得到加權頻域相關峭度值：

式中：kurtosis（xn）為原始信號xn的峭度值。

1.3 Teager能量算子

Teager能量算子通過信號的瞬時值和其微分形式來估計信號源產生的動態信號的總能量，常被用于增強信號中的瞬態特征，且由于只需要知道信號的幅值和導數，計算復雜性較低，效率高，使用較為方便。

假設一個連續信號x（t），其Teager能量算子ψ可以表示為：

式中：（t）和（t）分別為信號x（t）對時間t的1階和2階導數。分析Teager能量算子的特性，假設線性無阻尼振動系統由質量為m和剛度為k的彈簧組成，其運動方程可以表示為：

式（12）的解為：

對其做能量算子計算可得：

分析式（14）可知，Teager能量算子的輸出為信號瞬時振幅與瞬時頻率的平方之積，與傳統的將能量定義為幅值平方相比，增加瞬時頻率的平方項，由于沖擊成分的瞬時頻率較高，因此，利用Teager能量算子能夠增強瞬態沖擊成分，適用于增強滾動軸承故障沖擊成分。

對于離散時間信號x（n），其Teager能量算子為：

2 故障特征提取流程

利用前一節提出的加權頻域相關峭度值，可對VMD的參數進行優化選取，并借助Teager能量算子對信號中的故障特征進行增強，本文所提算法具體流程如圖1所示。

圖1 本文算法的流程Fig.1 The flow chart of the proposed method

（1）給定VMD的分解層數K和二次懲罰因子α的選取范圍及變化步長；

（2）利用所有K和α的組合進行VMD計算，計算每個組合下分解得到的模態函數的加權頻域相關峭度值，選取其中最大的作為該組合下的結果，最終，能夠輸出最大加權頻域相關峭度的就是最優參數；

（3）利用最優K和α對信號進行VMD分解，得到多個本征模態函數；

（4）將最大加權頻域峭度對應的分量作為有效分量，并利用Teager能量算子進行分析；

（5）利用快速傅里葉變換分析步驟（4）的處理結果，提取出滾動軸承的故障特征。

3 仿真信號分析

為了驗證本文提出的算法在滾動軸承故障特征提取上的有效性，本節以滾動軸承內圈故障為例，構造了仿真信號，表達式如下：

式中：轉頻fr＝30 Hz；Ai為以1／fr為周期的幅值調制；fn＝3 200，為系統的共振頻率；r為系統的阻尼系數，r＝0.05；T為相鄰兩個沖擊成分的間隔，T＝1／185 s，也即是故障特征頻率為185 Hz；ti為第i個周期內，由滾動體滑移引起的延遲，且ti＝0.01T～0.02T；B（t）為諧波分量，用以模擬信號中的干擾成分，且fm＝100；n（t）為隨機白噪聲，本文構造仿真信號時，將信噪比設定為－10 dB，信號的采樣頻率為32 768 Hz。

仿真信號如圖2所示。從圖2（a）的仿真信號時域波形中能夠看出，受到背景噪聲和諧波干擾的影響，周期性沖擊成分幾乎難以識別，且從圖2（b）所示包絡譜中，也未能準確提取出故障特征頻率及其倍頻成分，說明僅通過包絡分析難以從仿真信號中有效提取出故障信息。

圖2 仿真信號Fig.2 The simulation signal

進一步采用本文提出的算法分析仿真信號，為了避免信號分解不完全且盡量減小計算量，根據仿真信號特點，將K的取值范圍確定為2～8，變化步長為1，將α的取值范圍確定為100～6 000，且步長為100。通過計算各參數組合下的結果，確定的最優參數組合為K＝7，α＝2 200，此時加權頻域相關峭度值可取到最大1.62×10－9，該參數組合下原信號的VMD分析結果如圖3所示。

圖3 VMD分析仿真信號的結果Fig.3 The decompotion results of the simulation signal using VMD

各分量的加權頻域相關峭度值如圖4（a）所示，從圖中可以看出，第3階模態分量u3的值明顯大于其他各分量，因此選取該分量進行后續分析，該分量的時域波形如圖4（b）所示，通過觀察可以看出，經過VMD分析，原始信號中的噪聲干擾得到了一定的去除。

圖4 析仿真信號的結果Fig.4 Analyzed results of the simulation signal using the proposed method

采用Teager能量算子和快速傅里葉變換分析該分量得到的最優Teager能量譜如圖4（c）所示，圖中準確提取出了轉頻fr＝42 Hz及其倍頻成分84 Hz，軸承內圈故障特征頻率fi＝185 Hz及其2倍、3倍頻也能夠得到明顯識別，由此可以判斷出該軸承存在內圈故障。圖4（d）為所選分量的包絡譜，對比Teager能量譜可以發現，通過Teager能量算子計算，軸承故障特征得到了顯著增強，各特征頻率處的幅值都明顯增大，且由于Teager能量算子計算方便，因此，采用Teager能量譜就有明顯的優勢。

為了體現VMD參數選取的重要性，隨機選取VMD的參數，將分解層數K設定為4，將二次懲罰系數α設定為500，在分解得到的各分量中，選取加權頻域相關峭度最大的分量進行Teager能量譜計算，結果如圖5（a）所示，圖中，轉頻及其倍頻成分能夠得到識別，軸承故障特征頻率185 Hz得到了提取，但不明顯，且僅有其二倍頻得到了有效提取。相比于本文算法的分析結果，圖5（a）中各特征頻率處的幅值都顯著降低，且提取出的故障信息不如圖4（c）明顯和豐富，說明了本文算法的有效性。

圖5 仿真信號的對比分析結果Fig.5 Comparison results of the simulation signal

為了進一步體現出本文算法的有效性，下面利用EMD對仿真信號進行預處理，借助加權頻域相關峭度選取故障信號最為豐富的模態分量，并計算其Teager能量譜，結果如圖5（b）所示。圖中，故障特征頻率能夠得到識別，但不夠突出，其二倍頻成分較為明顯，但整個能量譜中噪聲干擾較為明顯，滾動軸承內圈故障信息不夠豐富，說明利用EMD難以有效抑制噪聲的干擾，突出了利用改進VMD進行故障特征提取的有效性。

4 實驗數據驗證

為了進一步驗證本文算法在處理實際滾動軸承故障信號時的有效性，本文利用實驗室滾動軸承故障模擬平臺進行了實驗測試，該實驗臺的結果如圖6所示，考慮到實際結構中，滾動軸承一般位于設備內部，而傳感器只能布置在設備外側，信號在傳遞過程中將經過較為復雜的傳遞路徑，影響弱故障沖擊特征的有效傳遞。因此，本次實驗時，將測點選取在遠離故障軸承的軸承支撐結構外側，振動測量的方向為徑向，從而增大了信號的復雜程度，增加了故障特征提取的難度。

圖6 實驗臺Fig.6 The test rig

實驗過程中使用的軸承型號為6010，通過激光切割的方法在軸承內圈沿軸線方向切一個寬0.2 mm，深0.2 mm的窄縫，用于模擬滾動軸承內圈故障，該軸承的具體參數如表1所示。實驗過程中，軸承的轉速為3 000 r／min，信號的采樣頻率為32 768 Hz，軸承內圈故障特征頻率可以通過以下公式進行計算：

表1 測試軸承參數Tab.1 Parameters of test bearing

式中：Z、d、D、a和fr分別為滾動體個數、滾動體直徑、節徑、接觸角和轉頻。

通過計算可知，6010軸承在3 000 r／min的轉速下，其內圈故障特征頻率的理論值為370 Hz。

實測滾動軸承故障信號如圖7所示，從圖7（a）的時域波形中能夠看出，受到噪聲干擾的影響，滾動軸承故障導致的周期性沖擊成分幾乎難以識別，且圖7（b）的包絡譜中，僅有轉頻成分和故障特征頻率成分處的譜線幅值較為突出，故障信息不夠豐富，提取效果欠佳，說明僅利用包絡分析難以取得很好的效果。

圖7 實測信號Fig.7 The experimental signal

當利用本文提出的方法處理該實測信號時，將K的取值范圍確定為2～10，變化步長為1，將α的取值范圍確定為100～6 000，且步長為100。經過多次計算，最終確定的最優參數組合為K＝4，α＝500，此參數組合下的加權頻域相關峭度值可以取到最大1.03×10－8，此時原始信號的VMD分析結果如圖8所示。

圖8 VMD分析實測信號的結果Fig.8 The decompotion results of the experimental signal using VMD

計算各分量的加權頻域相關峭度值，結果如圖9（a）所示，根據計算結果，選取第4階模態函數u4進行后續分析，該分量的時域波形如圖9（b）所示，相比于原始信號，該分量中的噪聲成分得到了明顯抑制。分別計算該分量的Teager能量譜和包絡譜，結果如圖9（c）和圖9（d）所示。Teager能量譜準中能夠明顯識別出轉頻50 Hz及其倍頻，滾動軸承內圈故障特征頻率368 Hz（與計算得到的理論值相接近，加工和轉速誤差可能導致了偏差）及其2倍和3倍頻均得到了準確提取，圍繞特征頻率及其倍頻成分，間隔為轉頻的調制邊頻帶也得到了有效提取，可以判斷，該滾動軸承存在內圈故障。相比而言，雖然內圈故障特征頻率及其倍頻成分的譜線在包絡譜中也較為明顯，但幅值明顯較低，部分調制邊頻帶處的幅值不夠突出，由此進一出體現出利用Teager能量譜進行故障特征提取的有效性。

圖9 本文算法的分析實測信號的結果Fig.9 Analyzed results of the experimental signal using the proposed method

對比過程與仿真類似，在分析實測信號時，隨機選取VMD的參數，將K和α分別設定為7和3 000，選取加權頻域相關峭度最大的分量進行分析，其Teager能量譜如圖10所示。對比圖10（a）和圖9（c）可知，圖10（a）中僅能識別轉頻分量，軸承內圈故障特征頻率及其2倍頻，各頻率分量處的幅值明顯降低，部分不夠突出，同時，故障特征頻率的3倍頻，轉頻的倍頻成分未能得到有效識別，提取出的故障信息不夠豐富，說明了對VMD算法的參數進行優化選取的重要性。利用EMD分析實測信號得到的Teager能量譜如圖10（b）所示，圖中，轉頻、故障特征頻率及其倍頻成分能夠得到識別，但幅值并沒有十分突出，干擾頻率成分的幅值較大，通過對比進一步突顯了本文所提算法從強背景噪聲中提取弱故障沖擊時的有效性。

圖10 實測信號的對比分析結果Fig.10 Comparison results of the experimental signal

5 結束語

本文針對滾動軸承故障特征微弱常被背景噪聲淹沒的問題，提出了將改進的VMD和Teager能量算子相結合進行滾動軸承故障診斷，并通過仿真和實驗信號對方法的有效性進行了驗證，得到了以下結論。

（1）提出了改進VMD算法，構造了最大加權頻域相關峭度指標，并將其作為目標函數，對VMD中的參數K和α進行優化選取，減少了分解時的不確定性，保證了VMD算法的有效性。

（2）借助Teager能量算子能夠增強信號中的瞬態沖擊成分，且利用Teager能量譜能夠更為準確和有效地提取出滾動軸承故障特征。

（3）仿真和實測信號的驗證結果表明，本文提出的算法能夠減少背景噪聲的干擾，進而準確提取出滾動軸承的微弱故障特征。與經典的包絡解調和EMD方法相比較，進一步體現出本文算法的有效性，具有一定的實際運用價值。