該如何用電像法處理導體球腔

姜志鋒

(鄱陽縣第一中學 江西 上饒 333100)

黃亦斌

(江西師范大學理學院 江西 南昌 330000)

1 電像法概述

電像法是處理導體靜電感應問題的利器.其基本思路是：對于所研究的區域,內部有點電荷，邊界為導體,如圖1(a)所示，希望能找到僅由點電荷組成的體系，如圖1(b)所示，使得所研究區域內的電場與后一情形下對應區域內的電場完全相同.此時，新引入的電荷稱為像電荷.

(a)研究區域內有點電荷，以接地導體平板為界

那么，目標能否實現呢？有唯一性定理支持.唯一性定理指出:對于一個區域，如果給定內部的電荷分布，又給定邊界條件，那么區域內的電場被唯一確定.據此，如果有兩個相同的區域，只要內部電荷分布相同，且邊界條件相同，則兩區域內的場強分布相同.

什么是“給定邊界條件”呢？對于以導體為邊界的情況，常見情形包括：給定各導體電勢；給定各導體電荷量；給定部分導體的電勢和其他導體的電荷量.要注意，無法對同一個導體同時任意給定其電勢和電荷量.一般來說，對這種邊界條件，體系是無解的.

如果用唯一性定理解決靜電感應問題，那么，首先，要注意所引入的像電荷必須處在所研究區域之外，否則就改變了區域內的電荷分布.然后，要利用經驗和推理，研究在區域外怎樣的點電荷分布(連同區域內已知的電荷分布)可以實現所需的邊界條件.

接地導體球的靜電感應是一個經典問題.通常的做法是，假定球內部有一點電荷，設定其電荷量和位置，要求其與球外電荷一起使得球面的電勢為零.研究發現，這一要求可以得到滿足，且有唯一解，于是我們就找到了鏡像電荷的電荷量和位置[1]

(1)

其中，各字母的意義和所求電場如圖2所示.(圖示默認q為正電荷，q′為負電荷，若電性相反，則電場線方向相反)

另一條思路是：首先可以證明，不等量異號電荷系統，一定存在唯一一個等勢面是球面，如圖3中的虛線，而且其電勢為零，其幾何性質(球心位置、半徑)由兩電荷的電荷量和位置確定.于是，可以將導體球面與該等勢球面等同，從而反向推出鏡像電荷的位置和大小.圖2和圖3兩圖在球外空間的電場就完全相同.

圖2 點電荷與接地導體球之間的電場

圖3 不等量異號電荷間的電場(圖中虛線表示球面等勢面)

一個值得注意的結論是：導體球表面的總感應電荷正好等于鏡像電荷.這一點可以用高斯定理證明.

2 導體球腔情形

如果是導體球腔內偏心b處置一點電荷q′,該如何用電像法求解腔內的電場？

實際上，圖3已經給出了答案：其虛線內的電場即為所求.將其重畫為圖4.此時，像電荷q的數值與離球心的距離d仍由式(1)給出.此時，腔內任一點的場強就等于電荷q′與像電荷q在這一點產生的場強，腔內表面的電荷在腔內的作用可以用腔外的點電荷q來代替.問題就這么簡單地解決.

圖4 導體球腔的電像法示意圖

但是跟導體球外情形對比時，有幾個問題值得澄清.首先，此處球腔內表面的總感應電荷量(-q′)顯然不等于像電荷的電荷量q，而且顯然|q|>|-q′|，這會不會有問題？沒有.因為電像法唯一需要做到的只是場強等效，而我們已經做到了.其他結論與球外情形相同或不同，都無需揪心.

其次，研究區域中某點的電勢等于源電荷與像電荷在該點產生的電勢之和，這一條對球外情形成立，但對球腔內情形就不能再這么說了.原因在于：談論“電勢”時，我們一般默認無窮遠處為電勢零點；而“無窮遠處”在球外情形屬于研究區域內，而在球腔內情形則不屬于.實際上，不論是哪種情形，我們能得到的，只是研究區域內的電場，從而只能得到研究區域內任意兩點的電勢差.球外情形之所以可以談“電勢”，僅僅是因為電勢零點幸運地處于該區域中，故而“電勢差”變成了“電勢”.球腔內情形則沒有這種幸運，從而只能說：腔內某兩點的電勢差等于源電荷與像電荷在該兩點產生的電勢差之和.電勢疊加變成了電勢差疊加.

那么，腔內某點的電勢該如何確定呢？由于腔外情形未知，從無窮遠處到腔內該點的場強分布未知，從而無法對腔內某點的電勢分布下任何斷語.如果實在要給出，那么只能是下面的形式

(2)

(3)

該式的意義非常明顯.空間中任何一點的電勢等于源電荷、內表面電荷以及其他電荷產生的電勢之和，但如果該點在球腔內，那么內表面電荷的貢獻可以用像電荷代替.

3 例題

茲以文獻[2]中的一道題為例，說明上述內容.

【例題】如圖5所示，一個帶電荷量為q的點電荷置于內外半徑分別為r1和r2、不帶電導體球殼的空腔內的P點，其離球心的距離為a(a

(1)點電荷q所受的靜電力；

(2)點電荷q與其他電荷之間的電勢能.

圖5 例題題圖

解析：

(1)靜電感應后，球殼內表面的電荷非均勻分布，總電荷量為-q，外表面電荷均勻分布，總電荷量為q.q所受的靜電力為外表面電荷與內表面電荷所施加的力之和，其中前者為零，后者由圖中像電荷q′決定[2]

于是，該力為

(4)

(5)

故

U內P還可以用另一種方式解決：先得到內表面電荷在空間中產生的電場，再通過積分得到其在P點的電勢.該電場分布如圖6所示，其在內表面以外產生的電場如同P點處-q產生(內表面電荷與P點的電荷q在內表面以外產生的合場強為零)，而在內表面以內產生的電場如同像電荷q′產生(注意圖中的電荷-q和q′并不真實存在).為求P點的電勢，場強積分路徑既可以從P出發一直向右到無窮遠

又可以從P點往左直到無窮遠

二者的結果都與式(5)相同.

圖6 內表面非均勻電荷產生的電場