質點的運動軌跡是圓的漸開線嗎*

姜付錦 李 弼

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

張 靜

(江蘇省淮陰中學 江蘇 淮安 223002)

《物理教學》在2017年第6期發表了一篇關于一道浙江大學自主招生題的分析[1]，原文中雖然給出了質點的最終速度大小和方向，但沒有給出推導過程，原文還認為質點運動軌跡是圓的漸開線，但是筆者以為這個分析有待商榷.本文嘗試從動力學角度出發，得到質點動力學微分方程組，并給出質點運動規律的數值模擬解.

1 題目

【題目】如圖1所示，在傾角為θ的粗糙斜面上存在垂直斜面向上的勻強磁場B，在斜面上由靜止釋放一個帶正電質點.設質點的質量為m，帶電荷量為+q，斜面的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，若斜面足夠大，試分析質點最終的運動狀態和運動軌跡是怎樣的？

圖1 質點初始位置圖

2 最大速度的分析

如圖2所示，以質點釋放位置為坐標原點，水平向右為x軸，沿斜面向上為y軸，建立平面直角坐標系xOy.

圖2 質點受力分析圖

(1)

由于帶電質點的速率為

(2)

軌跡的曲率半徑為

(3)

把式(2)、(3)代入式(1)得

不同程序中當事人所提供的現有技術證據不盡相同，導致裁決者認識到的專利申請實際上的技術貢獻以及對技術細節的理解也不盡相同，對技術方案的最終解釋也會產生不可預知的影響。

(4)

整理后得

(5)

隨著時間推移，式(5)會趨近于零，角α趨于常量，質點達到勻速直線運動狀態，則有

Bqv=mgsinθsinα

(6)

(mgsinθ)2=(Bqv)2+(μmgcosθ)2

(7)

聯立式(6)、(7)可求得

(8)

(9)

帶電質點在切向由牛頓運動第二定律得

(10)

將式(10)兩邊同乘以dα則有

(11)

將式(5)代入式(11)得

(12)

將式(12)整理后得

(13)

進一步研究發現，式(13)沒有解析解.

3 動力學微分方程組

由圖2中質點受力分析圖，可以寫出質點動力學微分方程組如下

(14)

(15)

x(0)=0,y(0)=0,x′(0)=y′(0)=0

(16)

進一步研究發現，式(14)、(15)、(16)沒有解析解.

4 數值模擬

由式(8)得

(17)

由式(9)得

(18)

代值求得

α=arccos(μcotθ)≈1.513 rad

(19)

圖3是質點運動軌跡圖，可以看出質點振動的幅度越來越小，最終趨近于直線運動，不是圓的漸開線運動;圖4是質點速率與夾角α關系圖，可以發現質點最終速率趨近于一個定值，速度的方向趨近于不變.

圖3 質點運動軌跡圖

圖4 質點速率與夾角α關系圖

圖5是質點兩個分速度與時間關系圖，可以看出它們的振幅越來越小，最終都趨近于勻速直線運動，圖6是質點速率與時間關系圖，可以看出質點最終速率趨近于某一定值.

圖5 質點兩個分速度與時間關系圖 圖6 質點速率與時間關系圖

5 結論

通過以上分析不難發現，帶電質點運動軌跡最終趨近于勻速直線運動，質點在x軸和y軸方向上的分速度最終都趨近于定值，都是趨近于勻速直線運動，而不是圓的漸開線運動.進一步研究還發現：若μ=0時，帶電質點的運動軌跡是一條擺線[2,3]，感興趣的教師可以自行推證，這里不再贅述.