云南省滑坡災(zāi)害分形特征研究與分形評(píng)價(jià)模型探討

史興旺，管新邦，邊 筠

(煤炭科學(xué)技術(shù)研究院有限公司安全分院，北京 100013)

分形理論在分析復(fù)雜的非線性系統(tǒng)方面取得了良好的效果[1]。例如Sivakumar B.[2]論證了運(yùn)用多重分形理論框架解釋不同氣候帶降雨特征的可行性，Kotowski P.[3]提出了一套完整的方法來(lái)測(cè)量鐵基合金表面斷裂的分形維數(shù)，并證明所測(cè)斷裂面的分形維數(shù)不依賴(lài)于該研究對(duì)象的材料，Zhang Y等[4]將分形理論運(yùn)用到城市地理中，來(lái)反映和模擬城市邊界形態(tài)。對(duì)于滑坡災(zāi)害來(lái)說(shuō)，因其受到多種因素的綜合作用和影響，滑坡地表變形演化過(guò)程往往具有復(fù)雜的非線性特征[5]，并且隨著荷載值增大整體呈現(xiàn)非線性增大的趨勢(shì)[6]。這為適用于解決復(fù)雜非線性問(wèn)題的分形理論找到了合適的切入點(diǎn)。近年來(lái)，分形理論在滑坡研究領(lǐng)域也受到了部分學(xué)者的關(guān)注和認(rèn)可。例如Katz O.等[7]通過(guò)模型實(shí)驗(yàn)探討了邊坡破壞類(lèi)型和破壞頻率之間的分形關(guān)系，Li C等[8]分析了滑坡發(fā)生和降雨之間的冪指數(shù)關(guān)系。此外，針對(duì)滑坡位移趨勢(shì)研究，鄭明新等[9]分析了滑坡演化過(guò)程中滑坡變形曲線的分維特征，并首次提出了滑坡大滑分維預(yù)報(bào)公式。樊曉一等[10]對(duì)不同穩(wěn)定狀態(tài)下地震滑坡的地形剖面線的多重分形維數(shù)演化特征進(jìn)行了研究，并表明相對(duì)穩(wěn)定滑坡的多重分形維數(shù)演化特征具有明顯的有序性。

綜合前人研究，本文以分形理論為基礎(chǔ)，對(duì)研究區(qū)滑坡的分形特征進(jìn)行研究，獲得不為整數(shù)的分形維數(shù)，進(jìn)一步得到基于分維數(shù)的滑坡災(zāi)害對(duì)不同影響因素的相關(guān)性，與邏輯回歸模型、證據(jù)權(quán)模型、證據(jù)可信度函數(shù)模型和信息量模型所得到的相關(guān)性具有較高的一致性。滑坡的幾何形態(tài)及空間分布具有復(fù)雜的不確定性，不同的滑坡類(lèi)型有不同的形態(tài)特征，幾何形態(tài)特征和空間分布對(duì)于滑坡的研究有著重要的意義，分形理論可對(duì)建立滑坡災(zāi)害易發(fā)性評(píng)價(jià)模型提供新的科學(xué)模型。

1 研究方法

世界是非線性的，自然界中分形無(wú)處不在。分形理論是用分?jǐn)?shù)維度的視角和數(shù)學(xué)方法描述和研究客觀事物，該理論認(rèn)為局部特征形態(tài)與整體特征形態(tài)具有自相似的特征。分形理論突破了從傳統(tǒng)的點(diǎn)線面和時(shí)空的研究方法，是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的新幾何學(xué)。分形理論已經(jīng)應(yīng)用到圖像處理、自然科學(xué)、管理學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和文化藝術(shù)等各個(gè)方面。分維是分形理論中的基本參數(shù)和重要原則。研究滑坡的分維值可以了解其復(fù)雜程度和演化規(guī)律。滑坡活動(dòng)強(qiáng)度的升高將呈現(xiàn)出其分維值的升高，分維值較高時(shí)，則面臨較高的產(chǎn)生滑坡的可能性。滑坡產(chǎn)生后其分維值降低，可以根據(jù)某個(gè)時(shí)期內(nèi)斜坡系統(tǒng)分維值的變化及其升幅的大小來(lái)預(yù)測(cè)滑坡產(chǎn)生的數(shù)量[11]。

本文采用遙感數(shù)據(jù)為高分一號(hào)遙感數(shù)據(jù)，解譯識(shí)別的滑坡災(zāi)害數(shù)據(jù)庫(kù)分析。通過(guò)對(duì)遙感圖像進(jìn)行正射校正、圖像融合、圖像增強(qiáng)處理和圖像鑲嵌與裁剪以及配合大量的野外調(diào)查，特別是小比例尺的地質(zhì)災(zāi)害詳查完成解譯。結(jié)合云南省圖件資料的整理和對(duì)云南省滑坡編錄資料的分析，利用盒維數(shù)法對(duì)研究區(qū)的滑坡災(zāi)害分形特征進(jìn)行分析研究。

(1)常維分形可用公式表示為：

N=Cr-D.

(1)

其中，N為特征尺度為r的物體數(shù)目，r為特征尺度，C為常數(shù)，D為分維數(shù)。

其定義為：設(shè)A屬于RN，在歐氏距離下，統(tǒng)計(jì)用邊長(zhǎng)1/2n的盒子個(gè)數(shù)Nn(A)，則有：

(2)

當(dāng)n增大時(shí)，統(tǒng)計(jì)計(jì)算Nn(A)，隨著一組系列的r1，r2，……rn，得到一組N(r1)，N(r2)，……N(rn)，以點(diǎn)[log(r)，logN(r)]為坐標(biāo)作雙對(duì)數(shù)圖，利用最小二乘法，擬合成一條直線得出斜率，其絕對(duì)值即為分形維數(shù)。其直線公式為：

lnNn(A)=a+b1/ln2n.

(3)

其中a為常數(shù)，b為分形維數(shù)。

(2)變維分形其函數(shù)關(guān)系表示為：

D=g(r).

(4)

對(duì)于N與r之間的函數(shù)關(guān)系N=f(r)，令f(r)=Cr-D，則有

(5)

有研究表明，任一參數(shù)A隨重現(xiàn)期的變化規(guī)律均可以轉(zhuǎn)化為變維分形的形式。若將常維分形看作1階分形，若其中的常維分形為D=C′/rD′，則可以對(duì)1階分形再進(jìn)行一次分形，以此類(lèi)推可得到N階分形[12]。其表達(dá)式為：

N1=C1/rD1.

(6)

其中D1=C2/rD2；D2為常數(shù)。

N2=C1/rD1.

(7)

……

N階分形，其中Dn-1=Cn/rDn；Dn為常數(shù)。

Nn=Cn-1/rDn-1.

(8)

由此可見(jiàn)，對(duì)于任意階的變維分形，都可以轉(zhuǎn)化為常維分形的形式。多階分形可以通過(guò)階數(shù)累計(jì)處理，衍生出累計(jì)和變化分形。具體步驟為：

1)將原始數(shù)對(duì)(Ni，ri)按照從小到大的序列投影到雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，計(jì)算相鄰兩點(diǎn)間在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的Di,i+1。Di,i+1的求解公式為：

Di,i+1=ln(Ni/Ni+1)ln(ri/ri+1).

(9)

2)對(duì)(N1,N2,L,Ni,L,Nn)進(jìn)行累計(jì)和計(jì)算。

{S1i}={N1,N1+N2,N1+N2+N3,…};i=1,2,3,…,n.

(10)

{S2i}={S11,S11+S12,S11+S12+S13,…};ji=1,2,3,…,n.

(11)

{S3i}={S21,S21+S22,S21+S22+S23,…};i=1,2,3,…,n.

(12)

{Sni}={S(n-1)1,S(n-1)1+S(n-1)2,S(n-1)1+S(n-1)2+S(n-1)3,…};i=1,2,3,…,n.

(13)

其中，S1，S2，S3，…Sn為相應(yīng)分形階數(shù)的累計(jì)和序列。

3)根據(jù)以上公式，由S1i可以得到在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的n-1條斜率不等的線段，這些斜率的相反數(shù)則為一階累計(jì)和變維分形維數(shù)，同理可以得到高于一階累計(jì)和變維分形維數(shù)。隨著分形階數(shù)的增加，雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的各階累計(jì)和形成的數(shù)據(jù)點(diǎn)最終會(huì)呈現(xiàn)出很好的線性關(guān)系。此時(shí)可以用線性回歸模型計(jì)算該線性關(guān)系的參數(shù)，得到其常分維數(shù)D。

2 常維分形特征

常維分形是指分維數(shù)D不隨特征尺度r的變化而變化，二者之間不存在某種函數(shù)關(guān)系。在不考慮滑坡地質(zhì)災(zāi)害分布地區(qū)的地貌地形特征，把滑坡看作是二維平面上的點(diǎn)，運(yùn)用盒維數(shù)法來(lái)研究常維分形。盒維數(shù)法是一個(gè)常用而又簡(jiǎn)單的方法，在操作過(guò)程中利用公式不斷縮小盒子的尺寸，建立尺寸為2n的灰度圖像，與災(zāi)害點(diǎn)圖像覆蓋，得到各尺寸盒子與點(diǎn)的相交程度，然后在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中建立相交盒子個(gè)數(shù)N與盒子尺寸r的散點(diǎn)圖，采用最小二乘法進(jìn)行線性擬合，驗(yàn)證其擬合程度的相關(guān)系數(shù)，所得擬合直線的斜率即為待求圖形的分形維數(shù)。

在滑坡地質(zhì)災(zāi)害的空間分布關(guān)系中，同樣可以用盒維數(shù)法進(jìn)行分形特征的研究。圖1為滑坡空間地質(zhì)災(zāi)害的雙對(duì)數(shù)模型，線性回歸方程為：y=-0.8432x+6.8836，R2=0.9906。其擬合程度接近于1，說(shuō)明云南省的滑坡地質(zhì)災(zāi)害在空間分布上具有明顯的分形特征。可以看出研究區(qū)的滑坡分布受制于一定的分形維數(shù)，又因?yàn)榛庐a(chǎn)生后其分維值會(huì)降低，我們可以求解不同時(shí)期的研究區(qū)的滑坡分維值，統(tǒng)計(jì)其變化趨勢(shì)特征，預(yù)測(cè)研究區(qū)滑坡是否會(huì)發(fā)生，同時(shí)可以根據(jù)分維降低的幅度，預(yù)測(cè)滑坡數(shù)量和規(guī)模。

圖1 云南省滑坡點(diǎn)空間分形特征Fig.1 Yunnan landslide spatial fractal features

云南省的水分、地形與構(gòu)造等條件的組合對(duì)滑坡災(zāi)害的頻繁發(fā)生提供了便利，從而表現(xiàn)出滑坡空間維數(shù)值D=0.8432，高于中國(guó)大陸及三大分區(qū)滑坡空間分維值[13]，說(shuō)明云南省滑坡災(zāi)害在全國(guó)范圍來(lái)講屬于高發(fā)區(qū)。

基于“過(guò)去和現(xiàn)在是打開(kāi)將來(lái)之門(mén)的鑰匙”理論，過(guò)去和現(xiàn)在的滑坡的空間分布，將來(lái)也將是最有可能發(fā)生滑坡的地區(qū)[14]。因此，在進(jìn)行滑坡易發(fā)區(qū)評(píng)價(jià)時(shí)，可以運(yùn)用滑坡的分形公式進(jìn)行擬合，計(jì)算滑坡周?chē)煌嚯x內(nèi)發(fā)生滑坡的概率。因此，在進(jìn)行滑坡相關(guān)分析中，應(yīng)研究不同區(qū)域的分形特征，對(duì)比不同地區(qū)滑坡災(zāi)害的分維值，建立分維值分區(qū)，對(duì)分維值大的因素要重點(diǎn)考慮。

3 滑坡影響因子與空間分布變維分形特征

研究滑坡的分布與其影響因子的分形關(guān)系，可以得到滑坡對(duì)不同影響因素的相關(guān)性，進(jìn)而為易發(fā)性的評(píng)價(jià)和分區(qū)提供基礎(chǔ)資料。然而在這類(lèi)相關(guān)研究中，嚴(yán)格滿(mǎn)足常維分形的事件是沒(méi)有的，這時(shí)常維分形則常常不能滿(mǎn)足工作需要。在分形中，分維數(shù)D不是常數(shù)，而是與特征尺度r之間存在著某種函數(shù)關(guān)系時(shí)，即為變維分形。

3.1 滑坡面積與坡度的分形特征

坡度是控制滑坡發(fā)育的重要因素之一。按照坡度步長(zhǎng)為10°，對(duì)滑坡面積和與坡度區(qū)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，見(jiàn)表1所示。可以看出隨著坡度的增加，圖形出現(xiàn)先增后減的趨勢(shì)，在20°到30°之間出現(xiàn)峰值。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行雙對(duì)數(shù)變換處理，發(fā)現(xiàn)并不呈現(xiàn)出常維分形的特征；對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行高階累計(jì)和變換處理，可以看出滑坡面積的空間分布與坡度在4階累積和曲線上呈現(xiàn)很好的線性關(guān)系，見(jiàn)圖2。對(duì)4階累計(jì)和變換數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸擬合，R2=0.9968，擬合相關(guān)系數(shù)接近于1，這表明滑坡面積空間分布與坡度呈4階累積和變維分形關(guān)系，其分維值D4=2.1384。

表1 坡度區(qū)間與滑坡面積關(guān)系統(tǒng)計(jì)表Table 1 Interval slope and landslide area relationship tables

圖2 滑坡面積與坡度分維數(shù)分形特征Fig.2 Landslide area and slope fractal dimension characteristic curve

3.2 滑坡面積與高程的分形特征

高程的增加會(huì)影響滑坡地質(zhì)災(zāi)害的發(fā)生概率和規(guī)模大小。按照高程步長(zhǎng)為500 m，對(duì)滑坡面積和與高程區(qū)間進(jìn)行分等級(jí)統(tǒng)計(jì)，大于3 500 m為一個(gè)等級(jí)，見(jiàn)表2所示。可以看出，隨著高程的增加滑坡面積與高程之間并不存在明顯的線性關(guān)系。對(duì)滑坡面積與高程之間進(jìn)行高階累計(jì)和變維分形變換，在3階累計(jì)和與特征尺度r的雙對(duì)數(shù)模型中具有很好的線性關(guān)系，見(jiàn)圖3。表明滑坡面積與高程之間存在著3階累計(jì)和變維分形關(guān)系，其分維值D3=3.5059，相關(guān)系數(shù)R2=0.9961，擬合相關(guān)系數(shù)接近于1。

表2 高程區(qū)間與滑坡面積關(guān)系統(tǒng)計(jì)表Table 2 Elevation range and landslide area relationship tables

圖3 滑坡面積與高程分維數(shù)分形特征Fig.3 Landslide area and elevation fractal dimension characteristic curve

3.3 滑坡面積與斷裂緩沖區(qū)之間的分形特征

在ArcGIS中對(duì)斷裂緩沖區(qū)設(shè)計(jì)步長(zhǎng)為1 km、緩沖半徑為10 km的緩沖區(qū)，統(tǒng)計(jì)各緩沖區(qū)內(nèi)滑坡地質(zhì)災(zāi)害的面積，見(jiàn)表3所示。可以看出在雙對(duì)數(shù)關(guān)系中，滑坡面積與斷裂緩沖區(qū)之間不存在常維分形特征。在高階累計(jì)和變維分形變換中，滑坡面積與斷裂緩沖區(qū)在2階累計(jì)和雙對(duì)數(shù)模型中的線性關(guān)系要好于3階累計(jì)和模型的線性關(guān)系，見(jiàn)圖4。其線性回歸曲線擬合程度R2=0.9992，擬合相關(guān)系數(shù)接近于1。表明滑坡面積與斷裂緩沖區(qū)存在2階累計(jì)和變維分形關(guān)系，其分維值D2=1.6005。

表3 斷裂緩沖區(qū)間與滑坡面積關(guān)系統(tǒng)計(jì)表Table 3 Fracture buffer range and landslide area relationship tables

圖4 滑坡面積與斷裂緩沖區(qū)分維數(shù)分形特征Fig.4 Landslide area and fracture buffer range fractal dimension characteristic curve

3.4 滑坡面積與巖性之間的分形特征

根據(jù)巖性的軟硬程度屬性，運(yùn)用數(shù)字代碼建立滑坡面積與巖性之間的關(guān)系，見(jiàn)表4所示。可以看出在高階累計(jì)和變維分形中，滑坡面積與巖性在2階累計(jì)和雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中存在著最優(yōu)的線性關(guān)系，見(jiàn)圖5，其擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.9899，擬合相關(guān)系數(shù)接近于1。表明滑坡面積與巖性之間存著在2階累計(jì)和變維分形，其分維數(shù)D2=2.3876。

表4 巖性軟硬等級(jí)與滑坡面積關(guān)系統(tǒng)計(jì)表Table 4 Lithology grade and landslide area relationship tables

圖5 滑坡面積與巖性分維數(shù)分形特征Fig.5 Landslide area and lithology grade fractal dimension characteristic curve

4 結(jié)果分析

以上研究結(jié)果表明，云南省滑坡地質(zhì)災(zāi)害在空間上具有明顯的分形特征。云南省滑坡地質(zhì)災(zāi)害的面積空間分布與坡度、高程、斷裂緩沖區(qū)和巖性等環(huán)境因子呈現(xiàn)不同階的變維分形特征：與斷裂緩沖區(qū)和巖性呈現(xiàn)2階累計(jì)和變維分形，與高程呈現(xiàn)3階累計(jì)和變維分形，與坡度呈4階累計(jì)和變維分形。分維值分別為坡度D4=2.1384，高程D3=3.5059，斷裂緩沖區(qū)D2=1.6005，巖性D2=2.3876。

為了研究滑坡災(zāi)害的分布與各環(huán)境因子之間的變維分形的關(guān)系，分別采用了邏輯回歸模型[15-17]、證據(jù)權(quán)模型[18-19]、證據(jù)可信度函數(shù)模型[20-21]和信息量模型[22]對(duì)研究區(qū)的滑坡災(zāi)害與影響因素的關(guān)系進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，分別得到了回歸系數(shù)、C值、Bel值和信息量值。這些量值分別代表了這4種評(píng)價(jià)模型所構(gòu)建的影響因素在滑坡災(zāi)害事故發(fā)生中的權(quán)重，其量值的大小即為影響因素權(quán)重值的大小。對(duì)比發(fā)現(xiàn)分形維數(shù)與以上四種方法得到的權(quán)重值在評(píng)價(jià)滑坡災(zāi)害分布上表現(xiàn)出共同的相關(guān)性，即分維值越大環(huán)境因子對(duì)滑坡地質(zhì)災(zāi)害的影響越大，見(jiàn)表5。因此推斷分維數(shù)可以用于表征滑坡地質(zhì)災(zāi)害與環(huán)境因子之間在分形上的相關(guān)程度，分維數(shù)越大，則環(huán)境因子對(duì)滑坡地質(zhì)災(zāi)害的影響越大，其敏感度排序?yàn)椋焊叱?地層巖性>坡度>斷裂緩沖區(qū)。

表5 不同評(píng)價(jià)模型的影響因素敏感性分級(jí)Table 5 Different factors evaluation model sensitivity rating

可見(jiàn)分形理論得出的滑坡災(zāi)害對(duì)不同影響因素的敏感性與邏輯回歸模型、證據(jù)權(quán)模型、證據(jù)可信度函數(shù)模型、信息量模型所得到的結(jié)論具有很高的一致性，可以依此建立基于分形理論的滑坡災(zāi)害易發(fā)性評(píng)價(jià)模型。但是，由于分維模型的建立及分維數(shù)的求取與影響因子分類(lèi)分級(jí)數(shù)目、分級(jí)方式和提取單元有很大的關(guān)系。不同精度的數(shù)據(jù)、不同的分級(jí)方法求取的計(jì)算結(jié)果可能會(huì)有較大差異，不同的區(qū)域由于環(huán)境特點(diǎn)不同，其結(jié)果也可能有很大差別。因此在建立分形評(píng)價(jià)模型時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)考慮這些問(wèn)題。

5 結(jié)論

(1)云南省滑坡地質(zhì)災(zāi)害的面積空間分布與坡度、高程、斷裂緩沖區(qū)和巖性等環(huán)境因子呈現(xiàn)不同階的變維分形特征，與斷裂緩沖區(qū)和巖性呈2階累計(jì)和變維分形，與高程呈3階累計(jì)和變維分形，與坡度呈4階累計(jì)和變維分形。

(2)分維數(shù)可以反映滑坡地質(zhì)災(zāi)害與環(huán)境因子之間在分形上的復(fù)雜程度，其特征是分維數(shù)越大，則環(huán)境因子對(duì)滑坡地質(zhì)災(zāi)害的影響越大。滑坡的影響因子敏感度的排序結(jié)果為：高程>地層巖性>坡度>斷裂緩沖區(qū)。

(3)分形理論得出的滑坡災(zāi)害對(duì)不同影響因素的敏感性與邏輯回歸模型、證據(jù)權(quán)模型、證據(jù)可信度函數(shù)模型和信息量模型所得到的結(jié)論具有很高的一致性，可以依此建立基于分形理論的滑坡災(zāi)害易發(fā)性評(píng)價(jià)模型。