二維測向系統中坐標變換方法及實時補償技術

田德民，楊崢崢，張學成

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

以雷達電子戰天線基座為準的坐標系安裝于艦艇平臺時，若艦艇平臺存在偏航、縱搖、橫搖等姿態運動，這些艦載設備的坐標系與地理坐標就不再一致，其所獲取的目標參數，特別是二維到達角信息就與平臺姿態相關。要消除艦艇姿態的影響，通常有機械穩定和電氣補償2種方法。傳統的機械穩定系統復雜，平臺笨重，精度差，已經逐步被電氣補償方法所取代。電氣補償的方法是通過已知各坐標系關系、艦艇姿態信息、平臺安裝參數等，通過數學的方法進行解算。實時動態補償技術可以利用實時信息，通過實時解算來補償平臺姿態等信息對參數測量的影響。

文獻[2]對一維比幅測向系統中艦艇縱橫搖對測向精度的影響進行了分析，給出了改進的技術措施，但未涉及二維測向系統。文獻[3]探討了傳統縱橫搖坐標變換的方法和不足，給出了改進的修正因子。文獻[4]也對傳統的艦艇縱橫搖坐標變換進行了討論，提出了存在的不足，給出了新的大地坐標與甲板坐標之間的變換矩陣。文獻[5]對艦載雷達天線電子穩定方程及坐標變換矩陣進行了細致的推導和仿真工作，同時對各個文獻中各參數的定義進行了分析和比較，給出了目前采用的不同方法雖然形式不同，但結論一致的推算結果，具有一定參照意義。文獻[6]對三坐標雷達穩定平臺剩余誤差進行了修正，給出了修正公式；文獻[7]從理論基礎上介紹了不同坐標系、參照系以及雷達陣面方向余弦坐標系，對于二維干涉儀測向系統具有同樣參考意義。文獻[8]對艦載雷達常用穩定方式坐標變換進行了分析，并介紹了船用平臺羅經的基本原理，從而解釋了坐標變換旋轉順序的原因。文獻[9]給出了不同坐標系之間的轉換關系，對于艦載雷達及偵察系統的坐標變換具有一定的指導意義。文獻[10]主要從歐拉角和姿態角的關系給出了一種艦艇載體坐標系到地理坐標系旋轉矩陣實用算法。

一維測向系統只需給出方位角，姿態變換時只需將艦艇航向角參與到方位角解算。而二維測向系統給出的輻射源信息不但有方位角，還包括俯仰角信息，天線陣面安裝時還可能存在傾斜角，所以在實現時就需要綜合考慮天線陣面安裝傾角、艦艇姿態等信息，參與到二維輻射源角度的解算中。

本文在參照以上文獻的基礎上，主要關注了艦載二維干涉儀測向系統中艦艇姿態、系統安裝角度等參數動態處理方法，從坐標系轉換和實時動態補償的角度在工程上進行實現。

1 常用坐標系

艦載雷達電子戰系統中幾種常用的坐標系包括大地直角坐標系、天線方向余弦坐標、艦艇甲板直角坐標系，如圖1所示。

1.1 大地坐標系

大地坐標系采用大地緯度、大地經度和大地高度來表示空間的點，在艦載雷達電子戰系統中一般描述空間點采用的是方位角、俯仰角及高度幾個參數，為簡化后續引出的坐標變換的描述，本文中首先引出大地直角坐標系

OX

Y

Z

見(圖1(a))。

圖1 各坐標系示意圖

在該坐標系中，定義如下：

Z

軸指向地理正北方向；

Y

軸沿鉛垂線向上；

X

軸與

Y

Z

按右手規則確定指向。在大地直角坐標系中，軸

X

與

Y

構成當地水平面，軸

Z

與

X

構成的平面為當地鉛垂平面。該坐標系的原點設在艦船的質心處，并跟隨其運動。因此，更精確地說，這種坐標系為“當地”大地坐標系。大地直角坐標系是最常用的參照系，通常所說的目標與我艦的航向、速度以及風向、風速等，都是相對于大地直角坐標系而言的。通常雷達電子戰主控臺、艦艇平臺羅經、顯示終端等也都是以大地直角坐標系為參照系的。

1.2 甲板直角坐標系

如圖1(b)所示，甲板直角坐標系

OX

Y

Z

是一種動坐標系，其原點取在艦船質心處，各軸定義如下：

OZ

軸與艦體縱軸平行，指向艦艏為正；

OX

軸垂直于

OZ

軸，并與其在同一水平面上，指向左舷為正；

OY

軸垂直于

OZ

軸和

OX

軸，按右手規則確定，向上為正。

1.3 方向余弦坐標系

如圖1(c)所示，在二維雷達和電子戰系統中，常用方向余弦坐標系給出其測量值:

=(

r

,

μ

,

ν

)

(1)

式中：

r

為目標到原點的徑向距離；

μ

，

ν

分別為目標徑向與

X

，

Y

軸的夾角的方向余弦。設目標

M

在雷達陣面直角坐標系中的坐標為

x

，

y

，

z

，則方向余弦各參數表述為：

(2)

(3)

(4)

1.4 球坐標系

對于二維干涉儀測向而言，重點要測量的是俯仰角和方位角，不關心目標徑向距離

r

，所以需要利用球坐標的概念，傳統球坐標系如圖1(d)所示。3個參數(

r

,

θ

,

φ

)表示一個點

p

的球面坐標，各參數定義如下：

r

為原點與點

P

之間的徑向距離；

θ

為原點到點

P

的連線與正

z

軸之間的天頂角，數值為90°-俯仰角；

φ

為原點到點

P

的連線在

xy

平面的投影線與正

x

軸之間的方位角。球坐標系有著廣泛應用，在天文學中，經度類于圖1(d)中的

φ

，緯度類于(90°-

θ

)。實踐中，球坐標中的角

φ

稱為被測點

P

(

r

，

θ

，

φ

)的方位角，(90°-

θ

)稱為高低角(俯仰角)，這與我們在二維測向系統中給出的方位角和俯仰角的定義基本一致。

1.5 歐拉角

在探討不同坐標系的變換之前，首先引出歐拉角的概念。歐拉角是用來描述剛體在三維歐幾里德空間的取向所定義的角度，對于任何參考系，一個剛體的取向，是依照順序，從該參考系做3個歐拉角的旋轉而設定的。

如圖2所示，設定

xyz

軸為參考系的參考軸。稱

xy

平面與

XY

平面的相交為交點線，用英文字母

N

代表。

zxz

順規的歐拉角可以靜態地這樣定義:

α

是

x

軸與交點線的夾角；

β

是

z

軸與

Z

軸的夾角；

γ

是交點線與

X

軸的夾角。

圖2 歐拉角定義

但是，對于夾角的順序和標記以及夾角的2個軸的指定，并沒有任何規定。所以每當用到歐拉角時，我們必須明確地表示出夾角的順序及其參考軸。

2 坐標變換

2.1 歐拉旋轉定理

在運動學里，歐拉旋轉定理表明，在三維空間里，假設1個剛體在做1個位移的時候，剛體內部至少有一點固定不動，則此位移等價于1個繞著包含固定點的固定軸的旋轉。

2.2 坐標旋轉變換

有了歐拉角和歐拉旋轉定理，就可以用旋轉矩陣的方式描述各坐標系之間的變換。對于本文所描述的二維干涉儀測向系統，當天線座安裝相對甲板平面存在一個傾角

T

，同時還要考慮艦艇縱、橫搖和航向的影響時，需要首先進行天線坐標系到甲板坐標系的旋轉變換，然后是甲板直角坐標系下的方位角、俯仰角利用艦艇縱搖角、橫搖角及航向角經過坐標旋轉變換，得到大地直角坐標下的方位角、俯仰角。

2.2.1 天線坐標系到甲板直角坐標系的變換

如圖3所示，

OX

Y

Z

為甲板坐標系，

OX

′

Y

′

Z

′為天線陣面坐標系。設

OX

′

Y

′

Z

′與

OX

Y

Z

夾角為

T

(稱為天線傾角)，則甲板直角坐標系(

x

,

y

,

z

)與天線陣面直角坐標系(

x

′,

y

′,

z

′)之間的變換關系為：

圖3 天線直角坐標系與甲板直角坐標系關系圖

(5)

當完成天線坐標系與甲板直角坐標系之間的旋轉變換后，二維測向系統中測得的方位角和俯仰角就變換為甲板直角坐標系下的方位角和俯仰角。

2.2.2 甲板直角坐標系到大地直角坐標系的變換

艦艇的姿態由艦艇平臺羅經提供的返回參數——橫搖角

R

、縱搖角

P

和航向角

H

所唯一確定，其定義分別規定如下：橫搖角

R

為甲板繞艦首尾線與水平面的夾角，右舷下降為正；縱搖角

P

為艦首尾線相對水平面的轉角，艦首抬高為正；航向角

H

為艦首尾線與正北的夾角，自正北起．順時針為正，定義區間為0～360°。如圖1(a)與(b)所示，開始時設定甲板直角坐標系與大地直角坐標系完全重合，甲板直角坐標系相對大地直角坐標系旋轉3次，便形成3個歐拉角

H

、

P

、

R

。根據歐拉旋轉定理，同時參照文獻[8]對平臺羅經工作原理的描述，假定艦船先轉航向，再縱搖，后橫搖時(如圖4(a)、(b)、(c)所示)，則大地直角坐標系與甲板直角坐標系之間的變換關系可按下述內容計算。

圖4 大地坐標系與甲板坐標系之間變換關系

第1次甲板坐標系繞

Y

軸旋轉1個角度

H

，且順時針為正，甲板坐標系由

OX

0

Y

0

Z

0旋轉到

OX

Y

Z

位置。設空間某點

M

在坐標系

OX

Y

Z

和坐標系

OX

Y

Z

中的坐標分別為

x

,

y

,

z

和

x

,

y

,

z

,則這2組坐標之間的關系可表示為：

(6)

第2次繞

X

旋轉1個角度

P

，甲板坐標系由

OX

Y

Z

旋轉到

OX

Y

Z

位置。同一空間點

M

在坐標系

OX

Y

Z

和坐標系

OX

Y

Z

中的坐標分別為

x

,

y

,

z

和

x

,

y

,

z

,則這2組坐標之間的關系可用以下矩陣表示：

(7)

第2次繞

Z

軸旋轉1個角度

R

，甲板坐標由

OX

Y

Z

旋轉到

OX

Y

Z

位置。同理可以得到：

(8)

由式(6)、(7)和(8)，甲板坐標系與大地坐標系之間的變換可以表示為：

(9)

其中：

(10)

結合大地直角坐標與空間球面坐標系的變換關系式(1)，并利用坐標旋轉變換，將天線坐標系下測得的參數變換為大地直角坐標系下的參數。

3 實時坐標變換的工程實現

下面以二維干涉儀測向為例，討論一下坐標變換實時補償技術的具體實現。在許多文獻中都對二維干涉儀測向俯仰角和方位角進行了定義，同時對解算步驟進行了分析，在此不再贅述。從本文的角度，最終要得到大地坐標下的方位角和俯仰角，分為以下3個步驟：

(1) 按二維干涉儀測向算法解算得到天線坐標系下的方位角和俯仰角；

(2) 引入天線傾角，按天線坐標系變換到甲板坐標系下的解算方法解算得到甲板坐標系下的方位角和俯仰角；

(3) 將甲板坐標系下的方位角和俯仰角繼續進行坐標變換，解算得到大地坐標系下的方位角和俯仰角。

在步驟(1)中，以1對互相垂直的干涉儀為例，其公式僅列如下，具體不再推導：

(11)

(12)

式中：

θ

為方位角，定義為入射信號投影與

X

軸的夾角；

β

為俯仰角，定義為入射信號與水平面的夾角；

通過先解算俯仰角，然后再解算方位角的方法就可以解算得到天線坐標系下的方位角和俯仰角。

步驟(2)中，按照公式(5)進行變換，因為在干涉儀測向系統中只能得到目標的方位和俯仰角，所以要用到目標的球坐標的概念，將公式中的

x

、

y

、

z

變換為球坐標下

r

,

θ

,

φ

，同時在此步驟中僅用到了

θ

,

φ

的三角函數，所以需要將步驟(1)的輸出轉換為三角函數。

步驟(3)中，按照公式(9)進行轉換，同樣用到球坐標的概念和三角函數。最終按照步驟(3)完成計算后得到的方位角和俯仰角需要解算反三角函數，而解算反三角函數快速準確的方法采用的是坐標旋轉數字計算機(CORDIC)算法。

如圖5所示，在天線坐標系下通過方位角和俯仰角解算得到天線坐標系下的方位角和俯仰角的三角函數值后，代入天線座傾角，進行甲板坐標解算，然后再引入航向角、縱搖角和橫搖角，再次解算得到大地直角坐標系下的方位角和俯仰角的三角函數，最后通過CORDIC算法解算得到大地坐標系下的方位角和俯仰角。

圖5 二維干涉儀測向坐標轉換實時解算框圖

要實現實時的姿態補償，所以設計中整個解算過程的3個步驟均在現場可編程門陣列(FPGA)內實現，其中三角函數的計算均采用了最快速的查表法，表中存儲的為8位三角函數值，完全可以滿足設計精度要求，整個解算過程用時小于200 ns。

4 結束語

針對雷達電子戰系統裝載平臺的實時姿態信息對系統測向的影響，必須采用姿態補償的方法將平臺姿態信息引入測向處理中。本文從坐標變換的角度討論了不同坐標系之間的轉換方法及步驟，同時比對和討論了各參考文獻中的不足和局限，最后以坐標變換理論為基礎，以艦載二維干涉儀測向為例，提出和實現了一種基于FPGA的實時動態平臺姿態補償方法，并進行了工程實現。