水平及豎直基底上微小固著液滴的蒸發特性分析

王宇，潘振海

（上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240）

附著在固體基底上的液滴蒸發是自然界中常見的物理現象，具有廣泛應用，如噴墨打印[1-2]、相變制冷[3]、自組裝表面涂層[4]、微型傳感器[5]、微流控制[6-8]、農藥噴灑[9]和海水淡化[10-11]等。以上應用的實現，需要準確預測液滴的蒸發特性，理解并掌握液滴內外的微觀傳熱傳質機理。

國內外諸多學者對附著液滴的蒸發展開研究，Picknett 和Bexon[12]確定了兩種典型的液滴蒸發模式，即CCR（constant contact radius）模式和CCA（constant contact angle）模式，前者的三相接觸線在蒸發過程中保持固著，而后者則保持接觸角不變。Wang 等[13]對完全潤濕和部分潤濕表面上液滴的鋪展行為進行了探究。Hu和Larson[14]基于求解液滴上方空氣中的蒸氣擴散方程，獲得沿氣液界面的局部蒸發通量分布，指出液滴邊緣處蒸發最強。Popov[15]提出一種基于蒸氣擴散模型的解析解，并推導出總蒸發率以及局部蒸發通量。該模型常被用來預測不同接觸角下液滴的蒸發特性[16-17]，并在特定工況下取得了較好的準確性。

除了蒸氣擴散，由于蒸發過程需吸收相變潛熱，氣液界面會被冷卻。該冷卻作用會降低液滴表面溫度并進而降低氣液界面上的飽和蒸氣壓力，從而抑制蒸發。David 等[18]通過實驗證明氣液界面的冷卻對蒸發有明顯的抑制作用，尤其當蒸發發生在低熱導率的基底上。Dash和Garimella[19]通過實驗的方法探究了疏水和超疏水表面上的液滴蒸發，結果顯示蒸氣擴散模型在常溫下對超疏水表面上液滴的蒸發率即有25%的高估。Pan 等[20]揭示了非潤濕表面上蒸發受到抑制的物理機理，當接觸角增大時，液滴高度的增加以及接觸面積的減小使得基底與氣液界面間的熱阻增大，基底與氣液界面間的溫差隨之增大，蒸發冷卻效應對液滴蒸發的抑制增強。在非潤濕表面上，Wenzel到Cassie狀態的轉變也會引起液滴接觸角的改變，從而影響液滴的蒸發特性[21-22]。

此外，空氣中的自然對流促進了蒸氣由氣液界面向環境空氣的傳輸，提高了總蒸發率。Sobac 和Brutin[23]通過實驗證明氣相中由浮升力引起的對流提高了液滴蒸發率。Pan 等[24-25]基于計算流體力學方法，分別對常溫和加熱條件下不同接觸角表面上的液滴蒸發進行探究，發現在常溫和加熱基底上，忽略氣相的自然對流可能對液滴蒸發速率分別造成高達約8.7%和約24%的低估。前述研究中，液滴均在水平面上蒸發。實際應用中，液滴在非水平面上的形變及滑落特性[26]亦引起了學術界的關注。Larkin[27]推導出傾斜面上氣泡和液滴形狀的表達式。Elsherbini 和Jacobi[28]通過實驗及數值模擬的方法探究了不同幾何參數對豎直面和傾斜面上液滴形狀的影響，指出當Bo數較大時，接觸線可被看作由兩個圓的一部分組合而成，接觸角隨方位角的改變而改變；當Bo數非常小時，前進和后退接觸角幾乎相同，接觸線為圓形，液滴可被視作球冠。Timm等[29]研究了傾斜面上液滴輪廓隨傾角及Bo數的變化，結果顯示，在小Bo數、小接觸角的情況下，即便斜面垂直，液滴的形變也很小。Al-Sharafi等[30]對大液滴在傾斜疏水表面上的蒸發進行數值模擬，結果顯示當斜面傾角位于0°<δ<20°以及135°<δ<180°時，液滴內會出現兩個旋向相反的渦，而當斜面傾角為25≤δ≤135°時，液滴內僅存在單渦。Qi等[31]通過實驗探究了水平和豎直壁面上固著液滴的蒸發，發現豎直壁面上液滴蒸發時間可減少約10%。

從上述文獻可以看出，水平面上液滴蒸發各種機理的研究脈絡較為清晰。在非水平壁面上的液滴蒸發同水平壁面表現出不同的行為特征，但是其物理機制仍未充分探明。有鑒于此，本文對水平以及豎直基底上微液滴的蒸發特性進行系統性研究，揭示其不同的微尺度傳熱傳質特性并探討其背后隱含的物理機制。

1 模型建立

1.1 物理模型

構造了一個三維液滴模型，液滴被視作球冠，液滴形狀的合理性將在后文中進行討論。水平及豎直基底上液滴蒸發的三維示意圖以及z=0平面上的局部剖面圖分別如圖1(a)及圖1(b)所示。其中α表示斜面的傾角，θ表示液滴表面任意一點與球心的連線與Y軸的夾角，θc表示接觸角，φ表示方位角。由于基底潤濕性對蒸發影響較大，而傳統蒸氣擴散模型只考慮了水蒸氣向周圍環境的擴散而沒有考慮蒸發冷卻及氣相域中的自然對流，因而只能在某些特定接觸角下取得較好的計算準確性。本研究采用的模型在傳統模型的基礎上，進一步考慮了蒸發冷卻和自然對流的影響，因此在不同接觸角下（0°～170°）均具有更好的計算準確性[24]。基底被加熱，過熱度不同以探究溫度對蒸發的影響，其余部分則進行絕熱處理。外部邊界條件部分，在對模型準確性進行驗證時，邊界溫度及相對濕度被設置成與文獻中的實驗參數相一致；而在結果與討論部分，相對濕度被設置為一定值。具體可參見后文中計算域的設置。采用商業軟件Fluent 進行液滴蒸發的模擬，對于水平面上的液滴，gy=-9.8m/s2，gx=0；對于豎直面上的液滴，gy=0，gx=9.8m/s2。需要注意的是，由蒸發所引起的液滴體積變化的時間尺度遠大于其他傳輸過程的時間尺度，因此本模型是準穩態的。在此假設下，液滴的蒸發行為僅取決于液滴的瞬時幾何形狀以及環境條件，采用CCR 或CCA 模式來模擬液滴的蒸發并不影響計算結果的準確性，僅會影響液滴體積積分的形式。

1.2 計算域設置及網格劃分

計算域的三維視圖，具體設置以及網格劃分如圖2(a)及圖2(b)所示。整個計算域被分為加熱的基底部分以及絕熱部分。本研究采用GAMBIT進行網格的劃分，為保證交界面處蒸發通量計算的準確性以及計算的穩定性，對交界面附近的網格進行加密處理，如圖2(b)所示。總的網格數量為286 萬，將網格數量減少為原來的一半或增加到原來的兩倍，蒸發率的變化均小于0.35%。計算域半徑為液滴半徑的40 倍，將計算域半徑擴展為液滴半徑的100倍，蒸發率的變化小于0.2%。因此，可以認為本模型的計算結果是網格無關的。

圖1 水平與豎直基底上液滴蒸發的三維示意圖與局部剖面圖

圖2 計算域設置及網格劃分情況

1.3 控制方程及算法設置

液相中的流動被假設為牛頓流體的層流，連續性方程、動量方程及能量方程分別如式(1)、式(2)和式(3)所示。

質量源項Sm與能量源項Sh被添加到交界面附近的網格中以模擬跨界面的質量與熱量傳輸。需要注意的是，由于水對雜質很敏感，實際的Marangoni流往往比理論預測值小兩個數量級，所以本研究忽略Marangoni流的影響。

對氣相域而言，由于氣相中的蒸氣擴散會影響到蒸發，故而流場、溫度場以及濃度場被同時計算以保證蒸發率計算的準確性。氣相中的流動也被設定為牛頓流體的層流，連續性方程、動量方程及能量方程分別如式(4)、式(5)和式(6)所示。

變量與式(1)、式(2)和式(3)中的變量相同，只是將下角標換成了氣體。氣相中蒸氣擴散及自然對流的決定方程如式(7)所示。

基于理想氣體假設，Cv=pv/RT。由于密度與溫度的關聯性，氣相域中的浮升力便被模擬了出來。通過聯立式(7)以及理想氣體方程，強烈的濃度梯度驅動以及溫度梯度驅動的浮升力引起的自然對流便在模擬中得以體現。

固相中的熱傳導方程見式(8)。

對氣液界面而言，氣液界面處的蒸氣壓力被認為是飽和的。當液滴在環境空氣中蒸發時，界面阻力遠小于擴散阻力，并且在這種情況下，當液滴半徑大于1μm時毛細壓降可被忽略。基于以上分析，本文忽略了蒸發過程中的界面阻力以及毛細壓降。液滴的蒸發通量應當等同于氣液界面處的蒸氣擴散通量，如式(9)所示。

等式右邊第一項代表質量分數梯度引起的蒸氣傳輸，等式右邊第二項代表斯蒂芬流（Stefan Flow）引起的質量傳輸。由于蒸氣流動的速率比氣液界面流動的速率大3個數量級，所以氣液界面的運動被忽略，同時當蒸氣擴散到空氣中時，vn所代表的斯蒂芬流引起的傳質確保了空氣的凈質量傳輸為0。因此，在交界面處，可以得到式(10)。

聯立式(9)和式(10)，可以得到式(11)。

式中，下角標lv為氣液界面；Cv為蒸氣物質的量濃度；Cg為混合物物質的量濃度，根據理想氣體方程，在交界面處，Cg=patm/RTlv，Cv=psat(Tlv)/RTlv。為了模擬氣液界面處的質量傳輸，質量源項被添加到交界面兩側并與交界面相鄰的網格中，如式(12)和式(13)所示。

式中，Acell為臨近交界面網格的交界面面積；Vcell為網格體積。

通過在交界面兩側且與交界面相鄰的網格中引入能量源項，由氣液界面的蒸發所引起的蒸發冷卻作用被納入考量，得到式(14)～式(16)。

式(15)等式右邊的第一項表示傳質引起的顯熱，等式右邊第二項表示蒸發過程中吸收的潛熱。hfg表示汽化潛熱；Tref,sim表示一個任意設置的參考溫度。

此外，在計算域外邊界，邊界條件被設置為Cv=H∞psat(T∞)/RT∞，其中H∞以及T∞分別為環境相對濕度以及環境溫度。液相及氣相域內用于分層的內邊界處溫度被認為是連續的。

模擬過程中，很多物理量是與溫度耦合的。氣相域中，空氣與蒸氣的混合物密度遵從理想氣體定律[20]，得到式(17)。

與溫度相關的擴散系數（D）的定義見式(18)。

式中，Dref=2.54×10-5m2/s，Tref=293.65K。飽和壓力psat(Tlv)由Clausius-Clapeyron 方程[25]給出，見式(19)。

式中，psat_ref=12238Pa，Tsat_ref=294.15K。其他與溫度相關的重要熱物理性質由表1給出。

本文使用基于有限體積法的Ansys Fluent 17.0離散型穩態求解器，內嵌UDF，流動模型為層流模型。采用SIMPLE 算法求解耦合的壓力-速度方程。標量梯度的求解采用基于節點的格林-高斯法（Green-Gauss node-based method）。壓力離散的求解采用加權體積力法（body force weighted method）。動量、能量以及用戶定義標量（蒸氣質量分數）的求解均采用一階迎風格式。連續性方程以及動量方程的預設收斂條件為10-6，能量方程以及用戶定義標量的預設收斂條件分別為10-15以及10-9。

1.4 根據瞬時蒸發率得出液滴體積隨時間的變化

當液滴被看作球冠時，液滴的瞬時體積可由式(20)計算。

在任意時刻，液滴輪廓由瞬時體積以及接觸半徑、接觸角二者之一決定。由此，便可求得瞬時蒸發率m″。那么液滴體積隨時間的變化可由式(21)積分而得。

式中，V0為液滴初始體積。

1.5 液滴形狀合理性的論證

即使在水平面上，液滴也會產生形變，嚴格來講液滴并非球體的一部分。然而，在大量針對水平面上液滴蒸發的模擬中，液滴都被當作球冠來看待，這是因為在水平面上液滴是軸對稱的，對于輕微形變的忽略并不影響對總體蒸發率的計算和對液滴內部流場規律性的探討。

然而，對于非水平表面來說，情況稍顯復雜。為了更具針對性，以下分析僅針對非水平表面上固著液滴的蒸發，不考慮液滴的滑落。傾斜面上固著液滴的形變大小取決于重力與表面張力的相對大小，較早的研究者認為當液滴尺寸小于2.7mm時便可忽略重力對液滴形狀的影響，這種說法顯然太過籠統。Bo數也常被用來探究重力及液滴半徑對形變的影響，其定義如式(22)所示。

式中，ρ、r和γ分別為液滴的密度、半徑和表面張力。Timm 等[29]的文章指出，當Bo?1，且液滴接觸角相對較小時，即便在豎直面上，液滴的形變也非常小。在該研究中，Bo數、斜面傾角以及接觸角這3 個參數被綜合分析以探究液滴形狀的變化，具有一定啟發性。然而，還是缺乏一種直接有效的定義液滴形狀不變性的方法，即缺乏對重力和表面張力相對大小更為直接的比較。

本文提出了一種更直觀的定義液滴形狀不變性的方法。對球形液滴而言，液滴表面任一點處表面張力方向指向球心，根據Yang-Laplace 方程，見式(23)。

式中，Ps為單位面積上的表面張力。在圖1(b)中，對Y軸右半液滴表面張力沿X軸負向的分力進行積分，得到右半液滴表面張力沿X軸負向的合力，見式(24)。

對于給定的液滴，比值mgsinα/SF便可被計算出來。為了探究這一比值與形變大小的關系，本文利用軟件Surface Evolver 來模擬實際重力下液滴的形狀。可以預見的是，當這一比值足夠小時，液滴的前進和后退接觸角幾乎相同，液滴也就可以被視作球體的一部分了，這一想法得到了Qi等[31]所做實驗的驗證。在大量的計算及模擬后，本文作者發現，當mgsinα/SF小于0.1 時，液滴的形變就足夠小以至于可以忽略了。以本文結果部分所采用的初始液滴形狀為例，對于一體積為1μL、接觸角為60°且在豎直基底上固著的液滴而言，式(24)中的θc為π/3，sinα=1，帶入實際參數得mgsinα/SF=0.095。在這一比率下，液滴的實際形狀與不考慮重力時形狀的對比如圖3所示，虛線表示不加重力時的形狀。可以看出，在本文所采用的液滴體積及初始接觸角下，液滴的形變非常小，采用球形液滴來進行豎直面上液滴蒸發的模擬是合理的。同時可以得出此時的Bo數為0.1788，滿足Timm 等[29]提到的對Bo數遠小于1 的要求。事實上，對初始接觸角為60°的液滴而言，當液滴接觸半徑小于1mm時，便可認為液滴足夠小了。

表1 流體性質

圖3 液滴實際形狀與不考慮重力時形狀的對比

1.6 模型準確性的驗證

為驗證當前模型計算的準確性，將由本模型計算出的結果與Sobac和Brutin[23]的實驗結果以及由蒸氣擴散模型得出的結果進行了對比。為了匹配實驗條件，環境溫度與相對濕度分別被設為25.4℃以及47.5%，基底溫度分別為45.6℃、55.4℃以及65.4℃。加熱基底半徑以及液滴接觸半徑分別為5mm 和1.44mm，蒸發模式為恒定接觸線模式（CCR）。液滴體積隨時間的變化以及總的蒸發時間如圖4(a)及表2 所示，基底溫度為55.4℃時液滴形狀隨時間的變化如圖4(b)所示。

由表2可見，當前三維模型得出的結果與實驗數據吻合得很好，3種溫度下總蒸發時間的誤差均小于4%，而蒸氣擴散模型低估了蒸發率從而高估了總的蒸發時間。對在親水基底上蒸發的液滴而言，液滴接觸角較小，蒸發冷卻對蒸發的抑制作用較弱，而空氣中的自然對流極大地促進了液滴的蒸發，在二者的共同作用下，相較于只考慮蒸氣擴散的模型而言，液滴的蒸發得到了促進。本模型既包含了蒸氣擴散，也考慮到了蒸發冷卻與空氣中的自然對流，故取得了非常好的計算準確性。

2 結果與討論

本文對水平與豎直親水基底上微小液滴的蒸發行了探究，液滴體積為1μL，初始接觸角為60°，環境溫度與相對濕度分別為21℃和48%。基底過熱度分別為0℃、10℃、20℃、30℃和40℃。本文對包括溫度分布、蒸氣擴散、液滴內外流場在內的諸多蒸發特性進行系統性展示與分析，揭示相關傳熱傳質機理，給出現象的成因。

圖4 液滴體積及形狀隨時間的變化

表2 蒸發時間對比

2.1 蒸發冷卻與溫度分布

圖5 z=0平面上不同過熱度下水平和豎直基底上液滴內外溫度分布云圖

圖6 氣液界面上溫度的分布(z=0)

不同過熱度下水平與豎直基底上液滴內外溫度分布如圖5所示。由于汽化潛熱的吸收，氣液界面被冷卻。在水平基底上，液滴溫度呈對稱分布，最低溫度點即為液滴頂點，而在豎直基底上，溫度分布是非對稱的，最低溫度點出現在頂點的一側（x>0）。溫度的非對稱分布是沿x軸正向的重力所引起的，重力方向的改變使液滴內流場發生改變，進而影響到溫度場。在豎直基底上，隨著溫度的升高，最低溫度點的偏移量逐漸增大。過熱度為0℃和40℃時水平及豎直基底氣液界面上溫度分布以及豎直基底上氣液界面溫度分布隨基底過熱度的變化如圖6所示，對位置以及溫度都進行量綱為1處理，量綱為1溫度為(T-Tmin)/(Tmax-Tmin)。由圖可以看出，過熱度較低時水平與豎直基底氣液界面上溫度分布差異不大，隨著過熱度的升高，豎直面上最低溫度點的偏移量越來越大，交界面溫度分布的非對稱性也在增強，當過熱度達到40℃時，標化偏移量達到0.253，溫度分布的非對稱性達到最大。除了溫度分布的對稱性不同，水平與豎直基底上氣液界面與基底間的溫差也有顯著差異，且這種差異隨著過熱度的增大而增大。不同過熱度下水平與豎直基底上交界面與基底間的最大溫差如圖7 所示。由圖7 可以發現，當過熱度很小時，水平與豎直基底上氣液界面與基底間最大溫差幾乎相同，隨著過熱度的升高，兩者之間的差距逐漸增大，當過熱度為40℃時，兩者之間的差距達到1.54℃，而此時豎直基底上溫度分布的非對稱性也最強。此外，重力方向的改變還影響了交界面上不同截面的溫度分布。基底過熱度為0℃及40℃時水平與豎直基底氣液界面上不同截面的溫度分布如圖8 所示，量綱為1 方法與圖6 中相同。由圖8(a)、(b)可以看出，過熱度為0℃時，水平基底氣液界面上不同截面的溫度均呈對稱分布，而在豎直基底上，重力方向的改變使得z=0截面的溫度分布呈現出一定的非對稱性但并不顯著，z=0平面與x=0 平面溫度分布的差異很小。由圖8(c)、(d)可以發現，基底過熱度達到40℃時，盡管水平基底上不同截面溫度分布仍表現出明顯的對稱性，但在豎直基底上，z=0 截面與x=0 截面交界面處的溫度分布則存在很大差異。在大過熱度下，重力的改變使液滴內部流場發生了明顯變化，同時氣液界面上的熱邊界條件也發生了變化，從而影響了氣液界面上的溫度分布。豎直基底上不同截面間交界面處溫度分布差異隨著基底過熱度的升高而逐漸增大，這一趨勢與圖6(c)及圖7中所展示的趨勢相同。

圖7 氣液界面與基底之間的最大溫差

2.2 氣相域中的自然對流與蒸氣擴散

不同基底過熱度下水平及豎直基底上氣相域水蒸氣質量分數分布云圖如圖9所示。當液滴在水平基底上蒸發時，水蒸氣質量分數的分布是對稱的，且最大質量分數出現在接觸線附近。這是因為接觸線處的溫度最高，對應的飽和蒸氣壓力也越大，接觸線附近也就形成了較大的水蒸氣質量分數梯度，從而驅動水蒸氣向周圍環境擴散，接觸線附近的局部蒸發通量也因此是最高的。而在豎直基底上，與溫度分布的非對稱性類似，水蒸氣質量分數的分布也表現出明顯的非對稱性，且非對稱性隨著基底過熱度的升高而顯著增強。

圖8 氣液界面上不同截面溫度的分布

圖9 氣相域水蒸氣質量分數云圖

豎直基底上溫度場與濃度場的改變最終影響到了交界面處局部蒸發通量的分布。過熱度為0℃和40℃時水平及豎直基底上交界面處局部蒸發通量分布以及豎直基底上交界面局部蒸發通量分布隨基底過熱度的變化如圖10 所示，對位置以及局部蒸發通量都進行量綱為1處理（除以氣液界面上的平均蒸發通量）。由圖可以發現，與溫度分布類似，在過熱度為0℃時，水平和豎直基底上量綱為1 蒸發通量分布的差異很小，而在過熱度為40℃時，豎直基底上交界面處局部蒸發通量的分布呈現出明顯的非對稱性，且由圖10(c)可以發現此種非對稱性隨著基底溫度的升高而增強。在2.1 節中比較了不同截面上交界面處的溫度分布，與之類似，為了更細致地探究局部蒸發通量分布隨過熱度的變化，基底過熱度為0℃以及40℃時不同截面上交界面處局部蒸發通量隨位置的變化被繪制出來，如圖11所示，量綱為1 方法與圖10 中相同。由圖11(a)及圖11(c)可以看出，在水平基底上，不論基底過熱度高還是低，不同截面的局部蒸發通量均呈對稱分布，且分布特性非常相似。而在豎直基底上，在由重力改變引起的內外流場及溫度場共同改變的作用下，z=0截面上的局部蒸發通量分布呈現出明顯的非對稱性，與x=0截面形成對比，而基底過熱度的升高則使非對稱性增強，如圖11(b)及圖11(d)所示。

圖10 氣液界面上蒸發通量的分布(z=0)

圖11 氣液界面上不同截面局部蒸發通量的分布

圖12 液滴總蒸發率隨基底過熱度的變化

前面提到相比于水平壁面，不同過熱度下豎直基底上的最大溫差均更大，且水平與豎直基底上最大溫差之間的差距隨著過熱度的升高而增大，而大溫差意味著更強的蒸發冷卻作用，這是否意味著豎直基底上液滴的總蒸發率更小呢？水平和豎直基底上液滴總蒸發率隨基底過熱度的變化如圖12所示。由圖可以發現，盡管豎直基底上的最大溫差更大，對應的蒸發冷卻作用也更強，但總蒸發率大于水平基底上的蒸發率，且兩者之間的差距隨著基底過熱度的升高而增大。這是因為當基底由水平轉為豎直時，不僅蒸發冷卻得到了增強，氣相域中的自然對流也發生了改變，液滴附近的流速增大促進了液滴的蒸發，在蒸發冷卻和氣相域自然對流共同作用的影響下，液滴的總蒸發得到了促進，且這種促進作用隨著基底過熱度的升高而增強。氣相域內流場分布如圖13 所示。由圖可以觀察到，相較于水平基底上的對稱分布，豎直基底上氣相域的流場分布發生了明顯的改變，液滴附近的流速增大對蒸發的促進作用增強，且隨著基底過熱度的升高，氣相域流速顯著增大，對整體蒸發的促進作用也越強。盡管蒸發冷卻作用也得到了增強，但氣相域流速增加對蒸發的促進遠甚于蒸發冷卻作用對蒸發的抑制，因此豎直基底上液滴的蒸發率大于水平基底，且總蒸發率隨著過熱度的升高而逐漸增加，如圖12所示。既然豎直基底上液滴蒸發率更大，那么所對應的總蒸發時間就越少。本研究根據CCR 模式計算液滴體積在水平和豎直基底上隨時間的變化以及總蒸發時間，如圖14 所示。在基底過熱度為20℃、30℃以及40℃時，相較于水平基底，豎直基底上的總蒸發時間分別減少13.9s(8.94%)、8s(9.38%)以及4.7s(9.31%)，重力的改變對于液滴蒸發有著明顯的促進作用。

2.3 液滴內的流動特性

圖13 氣相域流場圖

圖14 液滴體積隨時間的變化

如前文所述，豎直基底氣液界面上溫度及蒸發通量的非對稱分布是內外流場共同作用的結果。重力的改變不僅使氣相域流場發生變化，增大了液滴附近的流速，也使液滴內流場由對稱雙渦向流速更大的非對稱單渦轉變。水平及豎直基底上液滴內部流場分布如圖15 所示。由圖可以看出，當基底由水平轉為豎直時，液滴內流場由對稱雙渦轉變為非對稱單渦，且液滴內流速增大，最大速率不再出現在左右兩側，而是在液滴頂點附近。在單渦環流的影響下，氣液界面的最低溫度點向x>0 一側偏移（如2.1節所指出的那樣），且隨著基底過熱度的上升，頂點附近的最大速率成倍增大，使得最低溫度點的量綱為1偏移量越來越大，氣液界面溫度分布的不對稱性增強。氣液界面上液相側平均速率變化如圖16 所示，水平基底上氣液界面平均速率變化不大，對應最低溫度點始終在頂點附近；豎直基底上的平均速率隨基底過熱度的升高而顯著增大，最低溫度點量綱為1偏移量隨之逐漸增大（如圖6所示）。需要注意的是，液滴內流場與溫度場相互影響，而溫度分布與液滴的蒸發冷卻作用相關，因而內部流場的變化也影響到了液滴的蒸發，只是在當前情況下，液滴內外流速差異過大，且接觸角較小，氣液界面上局部蒸發通量的分布主要受氣相域自然對流影響。豎直基底上液滴下側為迎風面，蒸發受自然對流促進更顯著，故最低蒸發通量出現在x<0一側，而非最低溫度點附近。

圖15 水平和豎直基底上液滴內部流場分布(z=0)

圖16 氣液界面上液相側平均速率隨基底過熱度的變化

3 結論

本研究構造了包含蒸氣擴散、蒸發冷卻、氣相域自然對流在內的三維液滴模型，在假定液滴蒸發是準穩態的前提下，通過改變重力加速度的方向探究了水平及豎直基底上微升體積液滴的蒸發過程，對包含溫度分布、蒸發通量分布、蒸發率、蒸發時間在內的蒸發特性進行了定性分析及定量計算，結論如下。

（1）在水平基底上蒸發的液滴氣液界面溫度呈對稱分布，不同截面溫度分布相似；豎直基底上的液滴氣液界面溫度呈非對稱分布，最低溫度點出現在x>0 一側，最低溫度點量綱為1 偏移量隨基底過熱度升高而增大，不同截面溫度分布存在差異，且該差異隨基底過熱度的升高而增大。相同基底過熱度下，豎直基底上的蒸發冷卻作用更強。

（2）當基底由水平轉為豎直時，氣相域自然對流發生改變，由對稱分布轉為非對稱分布，同時液滴附近流速增大，促進了液滴蒸發。在蒸發冷卻和氣相域自然對流的共同影響下，不同基底上局部蒸發通量分布也呈現出明顯的差異性，水平基底氣液界面上蒸發通量呈對稱分布，而豎直基底上蒸發通量的分布在大過熱度下表現出明顯的非對稱性，且非對稱性隨過熱度的升高而增強。豎直基底上液滴總蒸發率大于水平基底，當基底過熱度為20℃、30℃和40℃時，相較于水平基底，豎直基底上總蒸發時間分別減少8.94%、9.38%和9.31%。

（3）水平基底上，液滴內部流場呈現出對稱雙渦，最大速率出現在靠近氣液界面的兩側及液滴中心，當重力方向改變時，液滴內流場轉變為單渦環流，最大速率出現在液滴頂點附近。單渦環流造成了氣液界面上溫度分布的非對稱性以及最低溫度點的偏移。

符號說明

A—— 表面積，m2

Bo—— 邦德數，ρgR2/γ

Cg—— 空氣與蒸氣混合物物質的量濃度，mol/m3

Cv—— 蒸氣物質的量濃度，mol/m3

cp—— 定壓比熱容，J/(kg·K)

D—— 空氣中的擴散系數，m2/s

g—— 重力加速度，m/s2

hfg—— 汽化潛熱，J/kg

hs—— 蒸發吸收的顯熱，J/kg

J—— 擴散通量，kg/(m2·s)

k—— 熱導率，W/(m·K)

M—— 摩爾質量，kg/mol

m″—— 瞬時刻蒸發率，kg/s

n—— 單位法向量

PS—— 表面張力，N/m2

p—— 壓強，N/m2

R—— 通用氣體常數，J/(mol?K)

r,rc—— 液滴半徑，接觸半徑，m

Sh—— 能量源項，J/(m3·s)

Sm—— 質量源項，kg/(m3·s)

T—— 熱力學溫度，K

t—— 時間，s

V—— 流度，m/s

vn—— 氣液界面上蒸氣側法向速度，m/s

α—— 非水平表面傾角

γ—— 表面張力系數，N/m

μ—— 動力黏度，N·s/m2

ρ—— 密度，kg/m3

φ—— 方位角

下角標

air—— 空氣

atm—— 大氣壓力

c—— 接觸線

g—— 氣相

l—— 液相

lv—— 氣液界面

n—— 法向

ref—— 參考值

sat—— 飽和

v—— 蒸氣

∞—— 環境