非常規儲層壓裂井全周期產量遞減模型及遞減特征

魏新輝 ，張翼 ，吳忠維 ，蘇映宏 ，崔傳智 ，陳業詳

（1.中國石化勝利油田分公司油氣開發管理中心，山東 東營 257100；2.中國石化石油勘探開發研究院，北京 100083；3.中國石油大學（華東）石油工程學院，山東 青島 266580）

非常規儲層具有低孔、低滲特征［1-3］（孔隙度小于10%，滲透率小于1×10-3μm2），通常情況下無自然產能，常采用壓裂改造技術實現其經濟高效的開發。非常規儲層油井壓裂后雖然可以獲得經濟油流，但受儲層物性（滲透率與孔隙度）影響，壓裂井產量遞減快，第1年遞減超50%，且長期處于低產階段，最終在生產曲線上呈現出“L”型特征［4-5］。

目前對產量遞減規律的研究方法較多，主要有基于滲流理論的（半）解析方法［6-9］與基于數據分析的經驗法［10-18］?；跐B流理論的（半）解析方法是在各自假設的基礎上，建立與其相適應的滲流數學模型，求解模型獲得產量遞減規律。該方法不僅計算過程比較復雜，且較難運用于復雜儲層和開發條件（邊底水、非均質性、化學驅等）下的產量遞減規律的研究。而基于數據分析的經驗法［10-18］是從遞減數據出發，研究遞減數據規律，不受儲層物性、油藏類型及開發條件的限制，適應性廣。Arps［11］通過分析井底定壓生產的油氣井生產數據，獲得了Arps產量遞減類型，分別為指數遞減（遞減指數 n=0）、雙曲線遞減（0＜n＜1）、調和遞減（n=1），可見n的取值范圍都在0～1。陳元千等［12］在Arps產量遞減類型基礎上，推導了線性遞減（n=-1）與冪函數遞減類型（1＜n≤2）。從陳元千的研究成果可知，線性遞減類型對應的產量遞減速度最大，其次是指數遞減、雙曲線遞減、調和遞減及冪函數遞減類型。

如前所述，非常規儲層壓裂井的生產曲線呈現出“L”型特征［4-5］，即前期產量遞減快，后期遞減慢。因此，整個產量遞減過程已經無法歸屬于某一種遞減類型。齊亞東等［16］通過修正 ILK 等［17］確立的遞減率，獲得了“雙曲-指數”混合遞減模型。該混合遞減模型將產量遞減初期與后期分為不同的遞減類型，但可惜的是，該混合遞減模型默認了后期產量遞減為指數遞減，而指數遞減屬于產量遞減速度較快的遞減類型。結合產量遞減曲線的“L”型特征可知，默認指數遞減為后期產量遞減類型，將限制該混合遞減模型在非常規儲層壓裂井產量遞減分析中的運用。

本文針對產量遞減初期與后期服從不同的遞減規律，提出了全周期產量遞減模型，對比常用產量遞減類型的遞減特征，構建、求解全周期遞減模型，開展模型驗證分析，進行了全周期產量遞減模型討論與遞減特征分析。本研究對認識非常規儲層壓裂井產量遞減特征和準確評估可采儲量具有重要意義。

1 常規產量遞減類型

常規產量遞減類型包括線性遞減、指數遞減、雙曲線遞減、調和遞減和冪函數遞減。各遞減類型的相關參數（遞減指數、無因次遞減率、無因次產量等）取值見表1。表中D為遞減率，t為時間，q為產量，三者的無因次量定義分別為 DD=D/Di，tD=Dit，qD=q/qi（下標 i，D 分別表示初始值與無因次）。

表1 常規產量遞減類型的相關參數取值

初期遞減率Di取0.01 d-1，雙曲線遞減類型n取0.5，冪函數遞減類型n取2.0。計算DD與qD，并作DD，qD隨tD變化的關系曲線（見圖1）。

圖1 常規產量遞減類型特征

由圖1a可知：線性遞減的DD隨tD增加而增大，指數遞減的DD為定值，其他遞減類型的DD均隨tD的增加而降低，只是降低趨勢不同——冪函數遞減的DD降低最快，其次是調和遞減、雙曲線遞減。當tD=0.6時，線性遞減、指數遞減、雙曲線遞減、調和遞減及冪函數遞減類型的 DD分別為 2.50，1.00，0.77，0.63，0.45。

由圖1b可知：隨著時間的推移，各遞減類型對應的qD均降低，降低趨勢由快到慢依次為線性遞減、指數遞減、雙曲線遞減、調和遞減及冪函數遞減類型。當tD=0.6時，線性遞減、指數遞減、雙曲線遞減、調和遞減及冪函數遞減類型的qD減少量分別為0.60，0.45，0.41，0.38，0.33。

2 全周期產量遞減模型

2.1 模型構建及求解

齊亞東等［16］通過修正 ILK 等［17］建立的遞減率模型，獲得的“雙曲-指數”混合遞減模型為

式中：D∞為產量后期遞減率，1/d；m為時間系數。

根據遞減率定義可知：

將式（2）代入式（1），分離變量積分可獲得產量表達式：

分析遞減率模型可知：當時間較小時，D=Di；時間較大時，D=D∞。而齊亞東模型［16］與非常規儲層產量遞減呈現的“L”型特征相矛盾，因此，本文構建了非常規儲層壓裂井全周期產量遞減模型：

對比式（4）與式（1）可知，D∞由常數變為隨時間變化的量。結合表1可知：當0＜n＜1時，全周期產量遞減率在后期為雙曲線遞減類型；當n=1時，后期為調和遞減類型；當1＜n≤2時，后期為冪函數遞減類型。

將式（2）代入式（4），分離變量積分可以獲得產量表達式：

全周期產量遞減模型求解思路：首先，收集產量與時間的數據點（t1，q1），（t2，q2），…，（tj，qj），…，（tN，qN）；再用式（5）去擬合產量動態數據，從而獲得待定參數（初期遞減率Di、后期遞減率D∞、時間系數m、遞減指數n等）。該擬合問題為非線性最小二乘法問題：

F為實際值與計算值之差的平方和的1/2，其值越小，表示擬合效果越好。Levenberg-Marquardt方法（LM方法）由于對初值要求低、計算速度快的特點，在求解非線性最小二乘法問題上具有先天優勢。將產量與時間數據代入式（5），可以獲得Ax=B矩陣形式的方程組。 x為需要求解的參數向量（x=［m DiD∞n］），求解Ax=B的雅克比矩陣J后，運用L-M方法，按照以下步驟求解 min F：1）任給初值 x0=［m0Di0D∞0n0］；2）依據L-M 方法，可得迭代公式（JTJ+λI）Δx=-JTf（x），運用步驟 1）中的數據，可得 Δx；3）若 F（x+Δx）≥F（x），則搜索值比原值誤差大，不滿足條件，擴大搜索范圍（λ→αλ），返回步驟 2），重新計算 Δx；4）若 F（x+Δx）＜F（x），則搜索值比原值誤差小，更新原值，并縮小搜索范圍（λ→βλ），若滿足允許誤差（‖JTf（x）‖＜ε），或達到最大搜索次數，就終止迭代，否則返回步驟2）重新搜索。

min F求解步驟的公式中：上標T為矩陣轉置；λ為阻尼參數或優化半徑，用于描述搜索范圍；α，β分別為放大因子和縮小因子，通常α取值為2.0，β取值為0.5；ε 為允許誤差。Δx 和 f（x）的表達式分別為

2.2 模型驗證

分別運用全周期產量遞減模型和齊亞東模型對鄂爾多斯盆地南部H油田壓裂井（HP30井與H1-350井）的產量數據進行擬合，獲得的模型參數見表2。由表可知，運用全周期產量遞減模型和齊亞東模型擬合實際井的產量數據時，全周期產量遞減模型的殘差平方要小于齊亞東模型的殘差平方，即前者與實際井產量數據的吻合度更高，誤差更小。

表2 擬合獲得模型參數

圖2為全周期產量遞減模型和齊亞東模型擬合HP30井與H1-350井產量數據的結果。由圖可見，HP30井產量遞減曲線呈現明顯的“L”型特征：0～200 d，產量快速降低；200～750 d，產量緩慢降低。與齊亞東模型相比，全周期產量遞減模型計算的產量在0～200 d內降低速度更快，而在200～750 d內降低速度更慢。

圖2 模型擬合結果

H1-350井產量遞減數據也呈現明顯的“L”型特征：0～192 d，產量快速降低；192～300 d，產量緩慢降低。與齊亞東模型相比，全周期產量遞減模型計算的產量與實際產量吻合更好。全周期產量遞減模型擬合HP30井產量的效果比H1-350井的效果好，原因是H1-350井后期（192 d后）數據較少。

運用表2中全周期產量遞減模型擬合HP30井獲得的參數，結合式（4）可計算產量遞減率隨時間變化的曲線（見圖3）。由圖可知，遞減率先快速增加，然后再緩慢下降。由常用產量遞減類型特征可知，只有線性遞減的遞減率隨時間增加而增加，因此HP30井產量遞減初期為線性遞減類型；而在HP30井產量遞減后期，遞減指數為0.792，依據表1中遞減指數取值范圍可知，HP30井產量遞減后期為雙曲線遞減類型。

圖3 HP30井產量遞減率隨時間變化情況

運用全周期產量遞減模型進行產量擬合時，需要確認生產井已經進入產量遞減階段。模型中的時間系數用于對產量遞減數據進行分段，且只能分為遞減初期與后期；如果未進入產量遞減階段，實際產量數據分為穩產、遞減初期及遞減后期，最終將導致擬合、預測結果與實際相差較遠。

2.3 特征分析

全周期產量遞減模型的無因次遞減率為

全周期產量遞減模型的無因次產量為

用表2模型參數計算的無因次產量圖版如圖4所示。由圖可知：qD隨著tD的推移，先快速降低，后趨于穩定；Di對無因次產量曲線形狀影響較小，然而當Di增加時，無因次產量曲線右移，這是tD定義方式所致；D∞越大，m越大，無因次產量遞減就越快；n只影響產量遞減后期，n越大，產量遞減后期的遞減速度越慢。

圖4 無因次產量圖版

3 結論

1）本文提出了全周期產量遞減模型，推導了產量計算表達式，并給出了相應的無因次遞減率與產量計算公式。通過對比鄂爾多斯盆地南部H油田壓裂井產量遞減數據的擬合結果，驗證了全周期產量遞減模型能夠較好地描述非常規儲層產量遞減規律。

2）鄂爾多斯盆地南部H油田HP30壓裂井的產量遞減率先快速增加，后緩慢降低，遞減初期為線性遞減類型，后期為雙曲線遞減類型，遞減指數為0.792。

3）初期遞減率對無因次產量曲線形狀影響較小，遞減指數僅影響產量遞減后期，當遞減指數變大時，產量遞減后期的遞減速度變慢。