基于空間軌跡的行星輪系移栽機構(gòu)設(shè)計方法研究

王 磊 孫 良,2 徐亞丹 俞高紅,2 張 委 鄭 劍

(1.浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018； 2.浙江省種植裝備技術(shù)重點實驗室， 杭州 310018；3.杭州職業(yè)技術(shù)學院， 杭州 310018； 4.杭州杭氧透平機械有限公司， 杭州 310004)

0 引言

非圓齒輪行星輪系移栽機構(gòu)可由一套機構(gòu)完成夾苗、拔苗、持苗和推苗等動作，其結(jié)構(gòu)緊湊、工作平穩(wěn)、成本低，并且可以設(shè)置多個移栽臂，從而實現(xiàn)高效移栽，已成為水旱田移栽機構(gòu)研究的一個重要方向[1-4]。

目前，非圓齒輪行星輪系移栽機構(gòu)設(shè)計方法主要包括給定機構(gòu)參數(shù)(結(jié)構(gòu)參數(shù)、運動參數(shù))再進行優(yōu)化的正向設(shè)計[5-7]和基于運動要求(軌跡、位姿)的逆向設(shè)計[8-10]。正向設(shè)計對機構(gòu)參數(shù)的選擇盲目性大，需要依靠專家經(jīng)驗，并且非圓齒輪節(jié)曲線方程的確定，使其變傳動比特性不能得到充分體現(xiàn)。逆向設(shè)計可獲得一般性的非圓齒輪副，且能實現(xiàn)機構(gòu)參數(shù)與傳動比、軌跡之間的關(guān)聯(lián)設(shè)計。國內(nèi)外專家學者相繼提出了多種非圓齒輪行星輪系機構(gòu)逆向設(shè)計方法[11-16]，這些方法主要集中在設(shè)計簡單平面與球面軌跡的非圓齒輪行星輪系機構(gòu)，關(guān)于由復雜空間軌跡逆向設(shè)計行星輪系機構(gòu)的研究鮮有報道。

水稻缽苗寬窄行移栽是一種將水稻缽苗移栽和寬窄行種植優(yōu)勢相結(jié)合的種植方式，可有效提高水稻產(chǎn)量與質(zhì)量[17-18]。而實現(xiàn)水稻缽苗寬窄行機械化移栽要求移栽機構(gòu)能夠形成一定的空間軌跡。TATSUYA等[19]首次將圓錐齒輪與非圓齒輪進行組合，通過參數(shù)優(yōu)選得到適合日本水稻密植的空間軌跡。祝建彬等[20]設(shè)計了一種斜齒交錯-非圓錐齒輪行星輪系分插機構(gòu)，用來實現(xiàn)水稻毯苗寬窄行插秧空間軌跡。SUN等[21]基于空間位姿設(shè)計了一種平面非圓齒輪與交錯斜齒輪組合傳動的水稻缽苗寬窄行移栽機構(gòu)，但該機構(gòu)存在運動模型復雜、求解高次多項式方程繁瑣、夾苗過程橫向位移較大、影響夾苗成功率等問題。

為使行星輪系移栽機構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)復雜空間軌跡，更好地滿足水稻缽苗寬窄行移栽的農(nóng)藝要求，本文提出一種由一般空間連續(xù)封閉軌跡曲線逆向設(shè)計行星輪系機構(gòu)的設(shè)計方法，包括建立基于給定空間軌跡的開鏈機構(gòu)參數(shù)求解模型、總傳動比求解、輪系組成分析與非圓齒輪設(shè)計等，并通過應用實例設(shè)計一種平面非圓齒輪與圓錐齒輪組合傳動的水稻缽苗寬窄行移栽機構(gòu)，以驗證設(shè)計方法的正確性和可行性。

1 輪系機構(gòu)簡化與運動模型分析

由于單自由度兩級傳動(單行星架)行星輪系移栽機構(gòu)運動軌跡為行星輪上某一點P所形成的，且一般情況下行星架的絕對運動為繞輸入軸的平面轉(zhuǎn)動，行星輪回轉(zhuǎn)中心與機構(gòu)末端點連線的絕對運動為往復擺動[22]。如果不考慮輪系中傳動齒輪的嚙合性能，可將此類行星輪系移栽機構(gòu)簡化為一般性的空間三桿二自由度(2R)的開鏈機構(gòu)[23]，如圖1所示。

圖1中，桿件1表示輪系的行星架，桿件2表示栽植臂。以太陽輪回轉(zhuǎn)中心O為原點，對空間開鏈2R機構(gòu)建立坐標系xyz，z和z1分別表示機構(gòu)的輸入和輸出軸，桿件1繞輸入軸z轉(zhuǎn)動，桿件2相對桿件1繞輸出軸z1轉(zhuǎn)動，在輸入和輸出軸的共同作用下機構(gòu)末端點P形成軌跡C。利用D-H矩陣[20]可建立空間開鏈2R機構(gòu)末端點P的運動軌跡數(shù)學表達式

(1)

其中

A=θ-φ1B=γ+φ2

式中θ——桿件1的初始角

β——x1與xoy平面的夾角

α——x1在xoy平面的投影與桿件1的夾角

γ——桿件2的位置角

a、b——桿件1、2的長度

φ1——桿件1相對軸z的角位移

φ2——桿件2相對桿件1的角位移

角位移都以2π為周期。

對式(1)展開可得一個周期內(nèi)空間開鏈2R機構(gòu)末端點P的位移為

(2)

(3)

如果輸出軸z1與輸入軸z相交，即桿件1與輸入輸出軸共面時，則有

由于輸出軸z1與輸入軸z相交，故β≠0，因此α=0，此時點P的軌跡為球面封閉曲線，球心即為軸z1與軸z的交點。

2 基于空間軌跡的開鏈機構(gòu)參數(shù)求解

2.1 空間軌跡表示方法

為了方便、直觀地表示任意空間軌跡，本文采用3次非均勻B樣條曲線擬合方法[24]對給定軌跡上的若干型值點數(shù)據(jù)進行擬合。

由n+1個多邊形控制點定義的一條3次非均勻B樣條曲線可以由分段有理B樣條基函數(shù)表示[25]為

(4)

式中，Pi為控制頂點；u為節(jié)點參數(shù)；Ni,k(u)是由節(jié)點矢量U=(u0，u1，…，un+k+1)決定的k次規(guī)范B樣條基函數(shù)。其遞推公式為

(5)

其中，規(guī)定0/0=0。

由于運動軌跡為封閉曲線，若給定運動軌跡上一組有序型值點數(shù)據(jù)Qi(i=0，1，…，q)，為使3次非均勻B樣條曲線通過給定的型值點，要求其首末端點分別與首末型值點一致，分段曲線的連結(jié)點需依次與曲線定義域內(nèi)的節(jié)點一一對應，確定節(jié)點矢量U后可求出定義該3次非均勻B樣條曲線的控制頂點，然后由控制頂點計算曲線各個點的坐標值，進而擬合出任意空間軌跡曲線[13]。

2.2 空間開鏈機構(gòu)桿長求解

基于空間軌跡的行星輪系反求，首先需要求解簡化模型空間開鏈2R機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，即兩桿的長度和輸入輸出軸之間的相對位置關(guān)系。

如圖2所示，任意空間軌跡C位于參考系xyz中，假設(shè)軌跡C可由空間開鏈2R機構(gòu)實現(xiàn)，點o1為坐標系z軸上的任意一點，假設(shè)以點o1為機構(gòu)輸入軸的回轉(zhuǎn)中心，則轉(zhuǎn)動副o1到軌跡C上各點的直線距離為L。若點n和m分別為軌跡C上距離點o1最近和最遠的兩個點，當空間開鏈2R機構(gòu)末端運動到點n和m時，必然存在轉(zhuǎn)動副位置k1(xk1，yk1，zk1)和k2(xk2，yk2，zk2)使得△o1nk2和△o1mk1垂直于xoy平面，令直線o1k1、o1k2長度為a，k1m、k2n長度為b，δ1、δ2分別為直線o1m、o1n與直線o1k1、o1k2的夾角。則可建立關(guān)系式

(6)

(7)

(8)

(9)

式中Lo1n、Lo1m——點o1與點n、m間的距離

聯(lián)立式(6)～(9)可得空間開鏈2R機構(gòu)的桿長

(10)

(11)

2.3 空間開鏈機構(gòu)輸出軸位置求解

如圖3所示，若點h(xh，yh，zh)和j(xj，yj，zj)分別為軌跡C上具有z向坐標最大值和最小值的兩個點，當空間開鏈2R機構(gòu)末端點分別運動至點h和j時，圖2中轉(zhuǎn)動副k1和k2分別運動至k3(xk3，yk3，zk3)和k4(xk4，yk4，zk4)位置。如果輸入軸z和輸出軸z2為異面軸，則軸z2、直線k3h與直線k3z″位于同一平面內(nèi)且垂直于xoy平面，同時軸z1、直線k4j與直線k4z′也位于同一平面內(nèi)且垂直于xoy平面(其中直線k3z″、k4z′均平行于z軸)，即在空間開鏈2R機構(gòu)的單個運動周期內(nèi)，直線k4j與k4z′、k3h與k3z″在同一側(cè)的夾角ζ1和ζ2達到機構(gòu)在周期內(nèi)的極值。令zz′=zj，zz″=zh，有

k4z′=|zk4-zz′|=bcosξ1

(12)

k3z″=|zk3-zz″|=bcosξ2

(13)

由于桿o1k3和o1k4在xy平面內(nèi)運動，則點k3和k4的zk3、zk4值可由點o1的坐標值zo1確定，此時，可由式(12)、(13)分別求得ζ1、ζ2。

在空間開鏈2R機構(gòu)運動過程中，軸z2(或z1)與直線k3z″(或k4z′)的相對位置不變，軸z1(或z2)與直線k4j(或k3h)的相對位置不變，即夾角η和λ均為常量，其值可由ζ1、ζ2確定，即

(14)

(15)

從而可以確定開鏈2R機構(gòu)輸入和輸出軸之間的相對位置關(guān)系。

但由于給定軌跡并不一定滿足異面軸傳動條件，即在圖3中點h和j具有z坐標最大和最小值時，轉(zhuǎn)軸z2、直線k3h與直線k3z″并非滿足共面的條件，而轉(zhuǎn)軸z1、直線k4j與直線k4z′也可能不位于同一平面內(nèi)。若如此，可以先假設(shè)在點h(或j)時軸z2、直線k3h與直線k3z″(或軸z1、直線k4j與直線k4z′)三線共面，由于軸z2(或軸z1)與直線k3h(或k4j)構(gòu)成的面相對于軸z2(或軸z1)與直線k3z″(或k4z′)構(gòu)成的面繞軸z2(或z1)轉(zhuǎn)動，那么在軌跡C上必然存在一個點j′(或h′)，使得三線再次共面。具體計算時可先以擬合軌跡上z向坐標的最大值和最小值點初步確定輸出軸位置角λ′、η′，然后在軌跡上尋找j′(或h′)點，最終獲得滿足交錯軸運動要求的輸出軸位置角λ、η。該方法雖然能求解輸出軸的位置角，但獲得的軌跡和期望軌跡之間會存在一定的差異，可在具體應用時進行判斷與優(yōu)化。

3 輪系機構(gòu)轉(zhuǎn)化與非圓齒輪設(shè)計

3.1 輪系機構(gòu)齒輪組合分析

求解得到開鏈2R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)后，可通過在開鏈2R機構(gòu)上依附不等速齒輪副將其自由度約束為1[14]。行星輪系移栽機構(gòu)的設(shè)計以簡單、高效、易實現(xiàn)為原則，因此本文的輪系組成分析主要針對單自由度兩級齒輪傳動的行星輪系機構(gòu)。

(1)由上文分析可知，當給定軌跡C為平面封閉曲線，即輸入與輸出軸平行時，δ1=δ2=0，該軌跡對應的開鏈2R機構(gòu)桿長為

(16)

由于輸入與輸出軸平行，只需用平面非圓齒輪副即可實現(xiàn)開鏈機構(gòu)的不等速傳動要求。

(2)當給定軌跡C為球面封閉曲線時，輸入與輸出軸相交，其交點即為該軌跡所在球面的球心，假設(shè)圖2中點o1為此球心，則軌跡C上任意一點到點o1的距離均為球半徑r，即Lo1m=Lo1n。由式(10)、(11)得a=0，b=r。此時圖3中點k3、k4均與點o1重合，依然可利用2.3節(jié)所述方法確定輸出軸相對于輸入軸的位置。

對于這類輸入與輸出軸相交的行星輪系機構(gòu)，可以采用非圓錐齒輪傳動或平面非圓齒輪與圓錐齒輪組合傳動等方式實現(xiàn)[14]。

(3)當給定軌跡為一般性空間封閉曲線，即開鏈2R機構(gòu)輸入與輸出軸異面時，按照第2節(jié)所述方法可求得空間開鏈2R機構(gòu)的桿長以及確定輸出軸與輸入軸的相對位置關(guān)系。其周轉(zhuǎn)輪系可由平面非圓齒輪副與交錯斜齒輪副、平面非圓齒輪副與偏置圓錐齒輪副、非圓錐齒輪副等多種可實現(xiàn)異面軸輸出的齒輪組合形式來實現(xiàn)[21]。

3.2 傳動比計算與非圓齒輪節(jié)曲線求解

在求得開鏈2R機構(gòu)的桿長a、b及輸出軸的位置角λ、η后，根據(jù)給定軌跡和開鏈機構(gòu)在不同運動狀態(tài)時的幾何關(guān)系可求得桿件1的角位移φ1和桿件2相對桿件1的角位移φ2。則輪系機構(gòu)的總傳動比為

(17)

即行星輪系機構(gòu)總傳動比等于開鏈機構(gòu)以桿件1角位移φ1為橫坐標、以桿件2相對桿件1的角位移φ2為縱坐標的曲線斜率的倒數(shù)。得到機構(gòu)傳動比曲線后，可根據(jù)具體設(shè)計要求與齒輪組合形式進行傳動比分配與齒輪節(jié)曲線求解，從而實現(xiàn)不等速行星輪系機構(gòu)的設(shè)計[22]。

4 應用實例

4.1 水稻缽苗寬窄行移栽軌跡要求

水稻缽苗寬窄行移栽是在相同種植密度下，寬行與窄行間隔種植水稻缽苗的一種種植模式。目前，水稻寬窄行種植大多以寬行距400 mm，窄行距200 mm[17-18]為主，如圖4所示，秧箱上相鄰取苗位置之間的距離為300 mm，為了實現(xiàn)水稻寬窄行種植，需要一個空間軌跡來實現(xiàn)取苗處與推苗處之間的50 mm橫向偏移量。同時考慮到水稻夾苗式取苗移栽的特點，提出了如圖5所示的空間“8”字形移栽軌跡(型值點坐標數(shù)據(jù)如表1所示)，以實現(xiàn)水稻缽苗的寬窄行機械化種植。

表1 型值點坐標數(shù)據(jù)

水稻缽苗寬窄行移栽機構(gòu)需在單個工作周期內(nèi)完成取秧、送秧、推秧及回程4個工作過程。如圖5所示，點1～3為夾苗段軌跡，取苗爪從點1向點2運動(伸向缽盤)準備取秧，在點2～3段迅速夾緊秧苗，為了提高夾苗成功率，初步設(shè)計點1和點3之間的z向位移小于3 mm；經(jīng)過點3～4段后將秧苗連帶土缽從缽盤中拔出，此段要求兩點之間的距離大于缽盤深度20 mm；點4～8軌跡段為持苗過程，至點9取苗爪松開秧苗，推秧部件作用于營養(yǎng)土缽并將秧苗推入田中，點2與點9之間要求有50 mm的z向位移；隨后取苗爪再此向點1運動，為下次取秧做準備。

4.2 行星輪系移栽機構(gòu)設(shè)計

基于4.1節(jié)提出的空間移栽軌跡，選擇開鏈2R機構(gòu)在點o1(0，0，0)處與機架構(gòu)成轉(zhuǎn)動副，此時軌跡上距離點o1最近和最遠點分別為點12和點3，由式(8)～(11)可分別求解出開鏈2R機構(gòu)中兩桿的長度a=75.31 mm、b=214.27 mm。

點1為擬合軌跡上z向坐標最小的點(j點)，點11為軌跡上z向坐標最大的點(h點)，由式(12)～(15)可求得輸出軸位置角λ=66.47°、η=8.78°，從而確定輸出軸的位置。

因取苗環(huán)節(jié)的軌跡要求復雜，在反求傳動比再現(xiàn)空間軌跡時選擇點1為求解起始點。在已知開鏈2R機構(gòu)具體參數(shù)的條件下，從型值點1開始由開鏈機構(gòu)復演擬合軌跡，計算桿件的相對角位移，從而獲得輸出軸與輸入軸間的傳動比曲線(如圖6所示)。

在得到機構(gòu)總傳動比曲線后，由3.1節(jié)可知通過依附不同類型不等速齒輪副縮減開鏈2R機構(gòu)自由度，可獲得多種能夠?qū)崿F(xiàn)空間軌跡的行星輪系移栽機構(gòu)。本文采用結(jié)構(gòu)簡單、加工裝配方便的平面非圓齒輪與圓錐齒輪組合傳動，將平面非圓齒輪副置于第1級，圓錐齒輪副置于第2級，如圖7所示。

由文獻[21]可知平面齒輪與錐齒輪組合的行星輪系機構(gòu)需采用折線布置。機構(gòu)在圖7所示初始位置時，l為機構(gòu)輸出軸在xoy平面上的投影直線，k為輸出軸與xoy平面的交點。由于輪系第2級為圓錐齒輪副，且中間圓錐齒輪與中間平面非圓齒輪同軸布置，因此中間軸與行星軸相交(交點即為圓錐齒輪副的錐頂點)，又因為行星輪系第1級為平面非圓齒輪副，所以中間軸平行于輸入軸(即z軸)，則中間軸在xoy平面上的投影為點p，且必定位于直線l上。點p位置的變化意味著平面非圓齒輪副中心距和圓錐齒輪副錐距的變化，應當根據(jù)輪系結(jié)構(gòu)特點、齒輪節(jié)曲線的優(yōu)劣對其進行優(yōu)化。并且，移栽機構(gòu)工作效果除軌跡影響外還對取苗推苗處的姿態(tài)有一定的要求，比如取苗角和推苗角要在一定范圍內(nèi)，其差值要近似于秧箱安裝角等。

因此，為獲得較優(yōu)的移栽效果，在確定了理想移栽軌跡和開鏈2R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的前提下，基于Matlab GUI開發(fā)了平面非圓齒輪-圓錐齒輪行星輪系缽苗寬窄行移栽機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計軟件，其運行界面如圖8所示，主要包括模塊：菜單欄①；設(shè)計參數(shù)區(qū)②；工具區(qū)③；圖形顯示區(qū)④；優(yōu)化目標顯示區(qū)⑤；優(yōu)化結(jié)果顯示區(qū)⑥。

通過調(diào)整相關(guān)設(shè)計參數(shù)，得到移栽機構(gòu)中心軸回轉(zhuǎn)中心點坐標為(-10 mm，47.65 mm，0 mm)，并求得輸出軸與中間軸交點為(-10 mm，47.65 mm，-302.99 mm)，平面非圓齒輪副中心距為48.69 mm，由此求得平面非圓齒輪副節(jié)曲線，如圖9所示。移栽機構(gòu)的主要參數(shù)優(yōu)化結(jié)果見表2，圖10為參數(shù)示意圖。

表2 移栽機構(gòu)主要參數(shù)

根據(jù)優(yōu)化后的移栽機構(gòu)參數(shù)再現(xiàn)機構(gòu)運動軌跡，如圖11所示，可以看出機構(gòu)再現(xiàn)軌跡與擬合軌跡存在一定的偏差，這主要是由于2.3節(jié)中提到的擬合軌跡不滿足異面軸傳動條件造成的，即該移栽軌跡上具有z向坐標最大值和最小值的點分別為點11和點1時，輸出軸z2、直線k3h、直線k3z″，轉(zhuǎn)軸z1、直線k4j、直線k4z′不同時滿足位于同一平面的條件，在求解時先以擬合軌跡上點11和點1確定了輸出軸位置角的初始值λ′、η′，然后計算得到點h′坐標值，并由點h′、點1及桿長計算得到輸出軸的位置角λ和η。雖然以此求得的參數(shù)使機構(gòu)復演的軌跡和期望軌跡之間存在一定的差異，但由圖11可以看出，再現(xiàn)移栽軌跡在取秧過程和推秧過程都基本符合寬窄行缽苗移栽要求，并不影響水稻缽苗寬窄行移栽質(zhì)量。

4.3 移栽機構(gòu)仿真與試驗

為了進一步驗證理論方法的正確性和水稻缽苗寬窄行移栽機構(gòu)設(shè)計的合理性，根據(jù)求解的機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和非圓齒輪節(jié)曲線，對水稻缽苗寬窄行移栽機構(gòu)進行結(jié)構(gòu)設(shè)計與三維建模，并在Adams軟件中完成虛擬樣機的仿真試驗，得到移栽臂尖點的仿真運動軌跡，如圖12所示。

利用3D打印技術(shù)加工移栽機構(gòu)物理樣機，并進行了空轉(zhuǎn)試驗，通過高速攝像機(Phantom系列)拍攝樣機運動過程，再應用Blaster’s MAS圖像分析軟件捕獲移栽臂末端點軌跡曲線，得到移栽機構(gòu)實際運動軌跡如圖13所示。

通過對比分析可知，所設(shè)計的夾苗式水稻缽苗寬窄行移栽機構(gòu)的實際運動軌跡、仿真軌跡與理論復演軌跡基本一致，符合水稻缽苗寬窄行移栽的設(shè)計要求，驗證了本文所提出設(shè)計方法的正確性和應用該方法設(shè)計夾苗式水稻缽苗寬窄行移栽機構(gòu)的合理性。

5 結(jié)論

(1)提出了一種基于一般空間封閉軌跡曲線的行星輪系移栽機構(gòu)逆向設(shè)計方法，建立了空間開鏈2R機構(gòu)的運動學模型，根據(jù)桿件的空間幾何關(guān)系求解得到了開鏈2R機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并由開鏈機構(gòu)輸入與輸出軸間的相對角位移關(guān)系得到了輪系機構(gòu)的總傳動比，根據(jù)齒輪副組合類型進行傳動比分配與非圓齒輪節(jié)曲線求解，從而實現(xiàn)單自由度兩級傳動行星輪系機構(gòu)的設(shè)計。

(2)根據(jù)水稻缽苗寬窄行移栽農(nóng)藝要求，結(jié)合B樣條擬合方式獲得理想移栽軌跡，利用本文提出的方法設(shè)計了一種平面非圓齒輪-圓錐齒輪組合傳動的空間行星輪系水稻缽苗寬窄行移栽機構(gòu)，并進行了虛擬仿真與樣機試驗，結(jié)果表明：實際運動軌跡、仿真軌跡與擬合的理想軌跡基本一致，可以滿足水稻缽苗寬窄行移栽要求，驗證了理論方法的正確性和可行性。