在體積教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的量感

楊征

量感作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，在當(dāng)前的新課改進(jìn)程中已經(jīng)引起了眾多教師的關(guān)注，它是對量的一種直覺與感覺，是空間觀念在測量領(lǐng)域的具象化與精細(xì)化，具有非標(biāo)準(zhǔn)化特征：既看不見，也摸不著。但量感的培養(yǎng)，有助于學(xué)生理解量的概念、體會量的大小、強化數(shù)量的感知。同時，能提高學(xué)生的估算與估測能力。因此，它對學(xué)生思維能力和問題解決能力的發(fā)展具有重要意義。但是，量感的形成很難有統(tǒng)一的測量與評價標(biāo)準(zhǔn)，對于學(xué)生學(xué)得如何，掌握得怎樣，是難以用紙筆進(jìn)行檢測的。而且，量感的建立一開始依賴于經(jīng)驗的積累，到一定程度后才能靠經(jīng)驗、理性的疊加構(gòu)建模型，形成觀念。因此，量感的建立不可能一蹴而就，而是在學(xué)習(xí)過程中逐步體驗和建立起來的。

在教學(xué)“圓錐的體積”一課時，教材中不少環(huán)節(jié)的設(shè)計，都有利于學(xué)生量感的培養(yǎng)。我利用學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的“圓柱的體積”的基礎(chǔ)，先以“圓柱與圓錐體容器哪個裝得更多”的問題引發(fā)學(xué)生思考，提出本次探究實驗的目的，即比較兩者的體積大小，并找尋兩者之間的關(guān)系;再通過小組合作，探究了等底等高以及非等底等高條件下圓柱與圓錐之間的關(guān)系。結(jié)合前測學(xué)情，我采用3D技術(shù)打印定制特殊數(shù)據(jù)的學(xué)具，讓學(xué)生充分操作和體驗，自主推導(dǎo)出圓錐的體積公式，進(jìn)而培養(yǎng)了學(xué)生的主動探究能力和合作精神，在“猜測—實驗—結(jié)論—驗證”過程中發(fā)展了學(xué)生的量感。

一、激活經(jīng)驗，在直觀視覺中植入量感萌芽

六年級學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐的體積時，已有哪些學(xué)前基礎(chǔ)？對圓錐與圓柱的關(guān)系了解多少？學(xué)生在猜想圓錐體積計算公式的過程中，會有哪些猜想？有哪些困惑？怎樣引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理有效的猜想？這些問題都是教學(xué)設(shè)計前與設(shè)計中需要考慮的方向。

美國特拉華大學(xué)蔡金法教授說：“數(shù)學(xué)問題的提出是指基于某個問題情境，通過接受已知或改變已知的方式來提出新的數(shù)學(xué)問題，然后將其以問題的形式表示出來。”等底等高的圓柱與圓錐形狀放在一起，學(xué)生很容易從視覺上就判定“圓柱體積比與它等底等高的圓錐大”，但大多少，它們有怎樣的倍數(shù)關(guān)系，卻沒有明確概念。因量感經(jīng)驗積累不足，大部分學(xué)生對特殊數(shù)據(jù)的圓柱與圓錐之間的關(guān)系，難以判斷。我們嘗試加入了三個學(xué)習(xí)前測題（如圖1，圖2，圖3）。

前測題1：判斷圖1中圓柱與圓錐的面積大小。（單位cm）

前測題2：判斷圖2中圓柱與圓錐的面積大小。（單位cm）

前測題3：判斷圖3中圓柱與圓錐的面積大小。（單位cm）

前測情況為：當(dāng)圓柱與圓錐底面積相等，圓錐高為圓柱2倍時，能正確判定圓柱體積大的學(xué)生約占53%;當(dāng)圓柱與圓錐高相等，圓錐底面積為圓柱9倍時，能正確判定圓錐體積大的學(xué)生約占48%;當(dāng)圓柱與圓錐底面積相等，圓錐的高為圓柱3倍時，能正確判定圓柱與圓錐的體積一樣大的學(xué)生約占25%。

只依靠形象直觀的圖示與學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，還不足以解決圓柱與圓錐體積關(guān)系的問題。我們?nèi)孕柙诖嘶A(chǔ)上調(diào)整教學(xué)設(shè)計，以激發(fā)學(xué)生的量感意識。

二、聚焦問題，在方法辨析中啟動量感意識

基于學(xué)生的上述問題，我確定了本課學(xué)習(xí)目標(biāo)：一是通過觀察、猜測、實驗、驗證的科學(xué)探究過程，理解并掌握圓錐的體積公式，發(fā)展學(xué)生量感;二是在學(xué)習(xí)中感悟科學(xué)探究方法，提高抽象推理能力;三是增強學(xué)生自主探究意識，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值與樂趣。

為達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)，設(shè)計前我進(jìn)行了一系列思考：首先，本課是只探究等底等高圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系，還是相信學(xué)生，加入特殊數(shù)據(jù)，引導(dǎo)深度探究，建構(gòu)深層次“圓錐體積”模型，以達(dá)到量感培養(yǎng)目標(biāo)？在學(xué)生經(jīng)歷“等底等高圓柱與圓錐體積之間關(guān)系”探究全過程后，我加入了3組特殊數(shù)據(jù)圓柱與圓錐體積之間關(guān)系的實驗，引導(dǎo)學(xué)生分組進(jìn)行深度探究，在課堂生成中啟發(fā)、培養(yǎng)、發(fā)展了學(xué)生的量感。

其次，是研究圓錐體積還是容積？如何幫助學(xué)生界定體積與容積概念？是選用“冰淇淋”（圓柱體的冰淇淋與等底等高圓錐體冰淇淋，哪個體積更大）還是選用圓柱與等底等高的圓錐體容器來乘水？哪個更貼近生活？哪個更能引起學(xué)生的探究興趣？哪個更容易感知和培養(yǎng)量感？相對于水，學(xué)生對“冰淇淋”更有興趣。但是，固體計算體積，后續(xù)實驗用具盛的是水，測的是容積。為了減少中間的交替，我選用了飲用水并在課中交待：判斷哪種容器裝得多，說的是容積，但在小學(xué)階段，我們可以將容積與體積合并研究。

再次，實驗器具的選擇，為什么只能找到等底等高的圓柱與圓錐體容器？特殊數(shù)據(jù)的圓柱與圓錐體容器怎樣解決？容器中所盛物體用細(xì)沙、小米還是水更能降低實驗誤差？特殊數(shù)據(jù)成套的圓柱與圓錐體容器不易尋找，因此我通過3D技術(shù)打印定制特殊數(shù)據(jù)的容器，解決了實驗器具的問題。在多次課前嘗試和實驗中我發(fā)現(xiàn)，用細(xì)沙或小米，人為增加了操作難度，量勺與每次刮平的動作，拉長了實驗時間，干擾了學(xué)生專注力與實驗的準(zhǔn)確性。這樣，不但無法達(dá)到建構(gòu)的目的，反而增加了學(xué)生處理誤差的難度。而實驗改用盛水后，操作較為順利，誤差也有所降低。

還有兩個問題值得重視：實驗中出現(xiàn)誤差怎么辦？如何引導(dǎo)學(xué)生正確看待誤差？作為有“特殊數(shù)據(jù)”實驗用具的圓柱與圓錐，在3D打印時，應(yīng)特別關(guān)注厚度與高度。課前，應(yīng)多次實驗，選取誤差最小的器具在課堂使用。在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實驗時，我通過問題“實驗中需要注意什么”引導(dǎo)學(xué)生注意正確操作，提示他們?nèi)绻僮鞑划?dāng)時，就可能會引起誤差。

對于個別學(xué)生出現(xiàn)的錯誤：長方形旋轉(zhuǎn)成圓柱體，三角形旋轉(zhuǎn)成圓錐體，長方形面積是三角形面積的2倍，所以圓柱體體積也應(yīng)是圓錐體體積的2倍。應(yīng)從算理的角度在新課時進(jìn)行分析與研究。

最后，在實驗中，若“等底等高”與“特殊數(shù)據(jù)”同時呈現(xiàn)在一次實驗中，還是在二次實驗中分別解決？

在試教中我發(fā)現(xiàn)，“等底等高”與“特殊數(shù)據(jù)”同時呈現(xiàn)在一次實驗中，如5個小組實驗等底等高，2個小組實驗等底不等高，1個小組等高不等底，這3組實驗“特殊數(shù)據(jù)”的學(xué)生沒有經(jīng)歷等底等高實驗的感知，難以建構(gòu)圓柱與圓錐關(guān)系模型，無法進(jìn)行推導(dǎo)過程說明。于是，我將設(shè)計改為：第一輪，全班學(xué)生一起完成等底等高數(shù)據(jù)實驗;第二輪，分組探究特殊數(shù)據(jù)形狀之間的關(guān)系。這樣，在建立基礎(chǔ)模型的過程中，提高了學(xué)生的度量意識。

三、發(fā)展思維，在實驗檢驗中積累量感經(jīng)驗

數(shù)學(xué)實驗是蘊含思維的數(shù)學(xué)活動，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)的一種重要方式。數(shù)學(xué)實驗?zāi)茏寣W(xué)生在觀察、操作、實驗中習(xí)得知識，積累量感經(jīng)驗，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，增進(jìn)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在本課設(shè)計中，要進(jìn)行兩輪操作實驗，在實驗中感知量、培養(yǎng)量感。

【實驗一】探索等底等高圓柱與圓錐之間的關(guān)系

師：同學(xué)們，數(shù)學(xué)課要用數(shù)據(jù)說話，老師給每個小組都準(zhǔn)備了一套圓柱與圓錐，請大家動手操作，用實驗結(jié)果來驗證我們的猜想。拿到學(xué)具你打算怎么操作？

生：比較圓柱與圓錐的底與高，看看是不是等底等高。

生：將圓錐盛滿水，注入圓柱，看倒了幾次，就是幾倍的關(guān)系。

師：在實驗開始之前你有什么想要提醒同學(xué)們在操作過程中需要注意的事項？

生：將圓錐盛滿水后，注入圓柱體中，記錄注入次數(shù)。

生：使圓柱剛好裝滿而不溢出。

生：注入動作要緩慢、平穩(wěn)，以免產(chǎn)生誤差。

師：說得真好，這些注意事項都能幫助我們在實驗中減小誤差，提高實驗的科學(xué)性以及準(zhǔn)確性。

師：這次實驗的圓柱與圓錐，底面直徑都為10cm，高都為15cm。請大家根據(jù)你們總結(jié)出的注意事項小組合作，進(jìn)行實驗操作并完成實驗報告單。

師：請大家來分享你們的實驗結(jié)果。

小組1：我們小組將圓錐盛滿水后注入圓柱，剛好倒了3次。

小組2：我們的結(jié)果和剛剛匯報的小組一樣，也是倒了3次。

小組3：我們組將圓柱盛滿水，總共倒?jié)M了3杯圓錐。

師：根據(jù)大家匯報的實驗數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：圓錐的體積V等于與它等底等高圓柱體積的三分之一。

生：圓柱的體積是與它等底等高的圓錐體積的3倍。

生：圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

師：這樣表達(dá)可以嗎？有沒有其他意見？

生：應(yīng)該還要加“等底等高”。

師：為什么？

生：從實驗來看，“等底等高”這個前提條件下的圓柱和圓錐才有3倍的關(guān)系。

【實驗二】探索非等底等高圓柱與圓錐之間的關(guān)系

師：剛才我們經(jīng)歷了提問—猜測—實驗—結(jié)論—解決問題的全過程，探索的是等底等高的一組圓柱與圓錐，如果它們的條件發(fā)生改變，你們還能準(zhǔn)確判斷它們的體積大小嗎？

師：請看，現(xiàn)在有這樣三套圓柱與圓錐體容器，它們的數(shù)據(jù)是這樣的，請大家說一說，你了解了什么數(shù)學(xué)信息？（如圖4）

生：第一套，圓柱與圓錐的底面直徑相等，但圓錐的高是圓柱高的2倍。

生：第二套，圓柱與圓錐的高度相等，都是12厘米，但圓錐底面直徑是圓柱底面直徑的3倍。

生：第三套，圓柱與圓錐的底面直徑相等，圓錐的高是圓柱高的3倍。

師：你認(rèn)為每套中哪個容器的體積更大？將你猜一猜、估一估的結(jié)果填在學(xué)習(xí)單上，你認(rèn)為每套中哪種形狀的容器裝得多就在下方打“√”，如果認(rèn)為兩者同樣多那么兩者都打“√”。

師：請各小組拿出另一套學(xué)具，通過實驗來驗證猜想。

生：我們組形狀的數(shù)據(jù)是“圓柱與圓錐的底面直徑相等，但圓錐的高是圓柱高的2倍”。我們將圓錐裝滿水，倒了1次半就把圓柱倒?jié)M了，所以我們判斷，圓柱形的體積較大。

生：在實驗前我們就想，圓錐是與它等底等高圓柱的三分之一，現(xiàn)在底相等，但圓錐的高是圓柱高的2倍，所以它們的體積不可能一樣大。

生：我們組實驗的數(shù)據(jù)是“圓柱與圓錐的高度相等，都是12厘米，但圓錐的底面直徑是圓柱底面直徑的3倍。”因為圓柱看起來明顯比較小，所以我們將圓柱裝滿水往圓錐里倒，倒了3次，所以我們認(rèn)為圓錐形容器的體積較大。

生：我們組實驗的形狀數(shù)據(jù)是“圓柱與圓錐的底面直徑相等，圓錐的高是圓柱高的3倍”。我們將圓錐乘滿水往圓柱里倒，剛好一次就倒?jié)M了，所以我們認(rèn)為這兩種數(shù)據(jù)的容器體積一樣大。

生：如果說圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的三分之一，現(xiàn)在圓柱與圓錐體積相等，它們的底也相等，那圓錐的高應(yīng)該是圓柱高的3倍。

在組織“量”的教學(xué)活動中，我引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、比較、驗證、表達(dá)，將模糊的感覺體現(xiàn)在實驗學(xué)具中，讓感覺得到校正，并逐步清晰。這樣，依托具體形象思維，引導(dǎo)學(xué)生積累量感經(jīng)驗，使他們體驗了量感建立的過程。課堂實驗結(jié)束后，我對學(xué)生進(jìn)行知識點后測，結(jié)果能正確判斷的較前測提高了約200%。

四、利用經(jīng)驗，在抽象推理中構(gòu)建量感模型

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強的學(xué)科，具有高度的抽象性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用的廣泛性等特征。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷量感體驗過程后，還應(yīng)自覺遷移，解決生活中的實際問題，利用量感經(jīng)驗進(jìn)行抽象推理，構(gòu)建量感模型。基于此，我設(shè)計了以下兩個問題：

1.圓錐是與它等底等高圓柱的三分之一，如果是高度各取一半，等式是否還成立？（如圖5）

2.在等高等體積的情況下，圓錐的底面積應(yīng)是圓柱的幾倍？

學(xué)生無需經(jīng)歷所有數(shù)據(jù)的實驗，每一次的估測都是對量感的積累與培養(yǎng)。在教學(xué)中，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解：當(dāng)已知“圓錐是與它等底等高圓柱體體積的三分之一”時，其他特殊數(shù)據(jù)圓錐與圓柱體積的關(guān)系均可根據(jù)推理與計算得出結(jié)論。

學(xué)生的量感建立是呈鏈狀的，一環(huán)扣一環(huán)、一點接一點，需要教師不斷給學(xué)生提供尋找它們之間關(guān)系的機(jī)會和平臺，幫助其產(chǎn)生鏈接，讓量感從無到有、從碎片到整體，最終目的是讓這看不見、摸不著的“量感”，自然地植入學(xué)生的思維并應(yīng)用于生活。本課的教學(xué)設(shè)計，每一個知識點，都在引導(dǎo)學(xué)生合乎邏輯地思考問題，不斷穿越表象，去偽求真。我引導(dǎo)學(xué)生針對圓錐體積的本質(zhì)進(jìn)行了深入解讀，在此基礎(chǔ)上，發(fā)展了學(xué)生的量感，讓量感的建立更精準(zhǔn)、豐滿、靈動、自由，為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

（責(zé)任編輯：楊強）