鋼球展開輪表面微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)優(yōu)化研究

潘承怡，童圓棲，趙彥玲，李俠，曹冠群

（哈爾濱理工大學(xué) 機(jī)械動力工程學(xué)院，哈爾濱 150080）

鋼球表面質(zhì)量檢測是軸承鋼球生產(chǎn)中必不可少的環(huán)節(jié)。目前，捷克的AVIKO 系列鋼球表面缺陷自動檢測儀展開鋼球的效果較好[1-2]，其核心部件展開輪通過表面摩擦力將鋼球全表面展開。展開輪與鋼球均為鏡面，在實(shí)際檢測過程中，極易發(fā)生打滑現(xiàn)象，從而降低鋼球檢測效率，且展開輪因長期受到滾滑復(fù)合摩擦，導(dǎo)致過早磨損失效，增加了鋼球的檢測成本。有研究表明，表面微結(jié)構(gòu)能改善材料的摩擦磨損特性和提高零部件的力學(xué)性能，國內(nèi)外有許多學(xué)者對微結(jié)構(gòu)的應(yīng)用進(jìn)行了研究[3-5]。胡天昌等[6]利用激光技術(shù)在GCr15 鋼的表面進(jìn)行微結(jié)構(gòu)加工，使用掃描電鏡觀察微結(jié)構(gòu)表面的磨損形貌，最終分析得出結(jié)論：干摩擦條件下，具有表面微結(jié)構(gòu)的試件與表面光滑的試件相比，摩擦系數(shù)有所提高，抗磨性能更好。王麗麗等[7]在摩擦副表面加工了網(wǎng)狀、溝槽和凹坑不同分布形式的微結(jié)構(gòu)，通過摩擦磨損試驗(yàn)研究其減摩效果，發(fā)現(xiàn)與光滑表面相比，溝槽和凹坑狀微結(jié)構(gòu)的減摩效果更為顯著，且能有效降低溫升。Otero Nerea 等[8]通過在刀具表面增加微結(jié)構(gòu)來降低磨損程度，從而增加刀具的使用壽命。在進(jìn)行切削試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，在同一工況和材料的條件下，加工有表面微結(jié)構(gòu)的刀具壽命是未加工表面微結(jié)構(gòu)刀具的10 倍。Y. Feldman 等[9]研究了在發(fā)動機(jī)汽缸內(nèi)表面加工微結(jié)構(gòu)的影響，發(fā)現(xiàn)在汽缸內(nèi)加工微結(jié)構(gòu)可以有效降低汽缸內(nèi)的磨損，同時(shí)活塞環(huán)的磨損與發(fā)動機(jī)的耗油量都有所改善。

近年來，將微結(jié)構(gòu)應(yīng)用在展開輪表面的研究取得了一定進(jìn)展。趙彥玲等[10]對展開輪表面凹坑微結(jié)構(gòu)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，分析比較了不同形狀和面積的凹坑對摩擦系數(shù)和磨損量的影響。孔泳力[11]對平面試件表面的條紋、網(wǎng)紋、凹坑微結(jié)構(gòu)的摩擦特性進(jìn)行了對比研究。孫蒙蒙[12]將展開輪簡化為圓柱體試件，對圓柱體線接觸表面微結(jié)構(gòu)的摩擦特性進(jìn)行了研究。車春雨[13]對不同載荷和微結(jié)構(gòu)參數(shù)下展開輪的磨損量進(jìn)行了摩擦磨損試驗(yàn)和數(shù)值模擬。李威[14]對展開輪不對稱錐面的微結(jié)構(gòu)摩擦磨損性能和展開輪壽命預(yù)測作了仿真研究。

以上研究均表明，表面微結(jié)構(gòu)對提高展開輪摩擦磨損性能和壽命有顯著作用，且凹坑微結(jié)構(gòu)提高表面摩擦系數(shù)和降低磨損程度的效果最好，但尚未對展開輪表面增摩降磨性能最佳的凹坑微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)匹配進(jìn)行優(yōu)化研究。本文在物理試驗(yàn)和磨損數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上，建立了展開輪表面微結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)優(yōu)化模型，并進(jìn)行了多目標(biāo)求解，以獲得最佳增摩降磨特性的微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)匹配，從而最大限度地提高鋼球檢測效率，降低鋼球檢測成本，為微結(jié)構(gòu)展開輪的設(shè)計(jì)及其在鋼球表面質(zhì)量自動檢測儀中的應(yīng)用提供方法和依據(jù)。

1 鋼球與展開輪接觸面積分析

展開輪表面的凹坑微結(jié)構(gòu)面積取值非常重要，過小的微結(jié)構(gòu)面積不足以發(fā)揮作用，而過大的微結(jié)構(gòu)面積會使鋼球在展開過程中產(chǎn)生跳動與漏檢，降低鋼球的檢測質(zhì)量。因此，需要計(jì)算工作時(shí)鋼球與展開輪之間的接觸面積范圍，以此設(shè)計(jì)微結(jié)構(gòu)面積。鋼球與展開輪材料的屬性見表1。采用Cr1Mo2W50 作為展開輪材料，此材料具有較高的耐磨性和彈性模量，以鈷作為粘結(jié)劑金屬使其具有較高的硬度。當(dāng)鋼球與展開輪接觸時(shí)，作用力較小，因此展開輪接觸表面的變形較小。在高彈性模量和低接觸變形條件下，展開輪的接觸變形主要是彈性變形，利用Hertz 理論可以計(jì)算鋼球與展開輪之間的接觸變形尺寸。

表1 鋼球與展開輪的材料屬性Tab.1 Material properties of steel ball and unfolding wheel

如圖1a 所示，在法向載荷Q的作用下，鋼球與展開輪之間的接觸變形發(fā)生在接觸點(diǎn)O 處，展開輪在接觸點(diǎn)的曲率為R2。鋼球與展開輪之間的接觸為球體與錐體之間的接觸，接觸變形區(qū)域?yàn)椴灰?guī)則圖形，其形狀如圖1b 所示。現(xiàn)有的Hertz 公式不能用于計(jì)算此接觸變形區(qū)域的大小。

圖1 鋼球與展開輪的接觸Fig.1 The contact between the steel ball and the unfolding wheel: a) contact model of steel ball and unfolding wheel; b) shape of contact deformation area

如圖2a 所示，當(dāng)圓柱體底面的半徑等于展開輪錐面接觸點(diǎn)處的曲率半徑，即R2Ⅱ=R2時(shí)，球體與圓錐體之間的接觸可以近似為球體與圓柱體之間的接觸，接觸變形面積的大小幾乎相等。球體與圓柱體的接觸變形區(qū)域是橢圓形的，如圖2b 所示。設(shè)橢圓形接觸變形區(qū)域的半長軸為a，半短軸為b，其面積為S。

圖2 球體與圓柱體的接觸Fig.2 The contact between the sphere and the cylinder: a) contact model of sphere and cylinder; b) shape of contact deformation area

對于球體與圓柱體的接觸，可以參考球軸承中滾動體與內(nèi)圈滾道的接觸計(jì)算[15]。首先需要計(jì)算輔助變量cosτ：

式中：ρ1I、ρ1Ⅱ、ρ2I、ρ2Ⅱ表示接觸物體的主曲率，下標(biāo)1、2 分別表示兩接觸物體，下標(biāo)Ⅰ、Ⅱ分別表示主曲率所在平面。可得R1I=R1Ⅱ，都等于鋼球半徑R1，R2I趨近于無窮大，因此ρ2I=0，R2Ⅱ等于接觸點(diǎn)處圓錐面的曲率半徑R2。即：

由式(3)將式(1)、式(2)化簡可得：

岡本純?nèi)龑η蜉S承內(nèi)鋼球與內(nèi)圈滾道的Hertz 接觸問題進(jìn)行了計(jì)算，得到接觸橢圓長半軸a與短半軸b計(jì)算公式為[16]：

式中：Q為法向載荷；E*為綜合彈性模量；μ、ν為cosτ決定的系數(shù)，根據(jù)cosτ查表可得μ=1.29、ν=0.80。其中綜合彈性模量E*的計(jì)算表達(dá)式為：

式中：E1、E2分別為表1 中鋼球與展開輪材料的彈性模量；υ1、υ2分別為表1 中鋼球與展開輪材料的泊松比。代入式(9)計(jì)算可得綜合彈性模量E*=1.62×105N/mm2。

在實(shí)際檢測中，鋼球與展開輪之間的載荷Q1為15～20 N[17]。由幾何關(guān)系可得，鋼球與展開輪在接觸點(diǎn)處的法向載荷Q可以表示為：

展開輪能檢測的鋼球直徑范圍為 10.3188～30.1625 mm，因此鋼球半徑R1的范圍為 5.1594～15.0812 mm。由幾何關(guān)系計(jì)算可知，接觸點(diǎn)處展開輪曲率半徑R2的范圍也為5.1594～15.0812 mm。將上述數(shù)據(jù)代入式(6)、(7)、(8)，求得半長軸a、半短軸b和接觸面積S最小與最大尺寸：amin=72 μm，amax=112 μm；bmin=45 μm，bmax=70 μm；Smin=9.8094×10–3mm2，Smax=2.4618×10–2mm2。

從上述數(shù)據(jù)可知，單個(gè)微結(jié)構(gòu)面積應(yīng)該與接觸變形區(qū)域面積在同一數(shù)量級上，因此展開輪表面單個(gè)微結(jié)構(gòu)面積取值范圍為10–3～10–2mm2。

2 摩擦磨損試驗(yàn)

2.1 鋼球-展開輪接觸模型簡化及試件制備

考慮到展開輪是非對稱雙圓錐面體，在展開輪圓錐面上激光加工微結(jié)構(gòu)時(shí)，必須使用專用夾具。由于展開輪價(jià)格昂貴，在沒有量產(chǎn)的情況下，制備微結(jié)構(gòu)表面展開輪進(jìn)行試驗(yàn)的經(jīng)濟(jì)和時(shí)間成本很高，因此需要對鋼球與展開輪的接觸模型進(jìn)行適當(dāng)簡化，再進(jìn)行摩擦磨損試驗(yàn)。為便于實(shí)驗(yàn)，將展開輪錐面沿母線擴(kuò)展，形成一個(gè)封閉的圓環(huán)，并以此制備盤狀試件，如圖3 所示。

圖3 接觸模型化簡過程Fig.3 Contact model simplification process

進(jìn)行優(yōu)化的展開輪表面微結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為形狀、面積、深度和間距，每個(gè)參數(shù)設(shè)計(jì)3 種變量。若進(jìn)行多種微結(jié)構(gòu)參數(shù)不同匹配情況下的摩擦磨損試驗(yàn)，工作量過于巨大，幾乎是不可能的，因此采用四因素三水平正交試驗(yàn)，微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)組合共9 組。微結(jié)構(gòu)形狀為圓形、正方形和菱形，其中菱形的銳角為60°。微結(jié)構(gòu)的單坑面積依次為7.85×10–3、1.76×10–2、3.14×10–2mm2，三種單坑面積是按照當(dāng)圓形微結(jié)構(gòu)直徑分別為100、150、200 μm 時(shí)所設(shè)計(jì)的。根據(jù)單坑面積，算出正方形微結(jié)構(gòu)的邊長分別為88.6、132.9、177.2 μm，菱形微結(jié)構(gòu)的長/短對角線分別為164.9/95.2、247.4/142.8、329.8/190.5 μm。微結(jié)構(gòu)的深度為50、100、150 μm。因?yàn)檎归_輪的工作表面為圓錐曲面，所以用角度θ表示圓錐面圓周方向上相鄰微結(jié)構(gòu)中心之間的距離，θ分別取2.5°、3.0°、3.6°。

加工后的微結(jié)構(gòu)試件如圖4 所示，盤狀試件微結(jié)構(gòu)區(qū)域到試件中心的距離l=8.3344 mm。利用超景深顯微鏡觀測9 組試件表面的微結(jié)構(gòu)，得到圖5 中不同試件表面的微結(jié)構(gòu)照片。

圖4 微結(jié)構(gòu)盤狀試件Fig.4 Physical picture of microstructure disc-shaped specimen

圖5 超景深顯微鏡下不同試件表面微結(jié)構(gòu)Fig.5 Surface microstructures of different specimens under ultra-depth three-dimensional microscope

2.2 試驗(yàn)方案及設(shè)備

根據(jù)鋼球與微結(jié)構(gòu)試件的接觸運(yùn)動狀態(tài)，設(shè)計(jì)并搭建試驗(yàn)裝置，如圖6 所示。伺服電機(jī)帶動試件旋轉(zhuǎn)，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1500 r/min。鋼球與鋼球座膠接，并固定于傳力桿。鋼球與試件之間的運(yùn)動形式為點(diǎn)接觸滑動摩擦。考慮試驗(yàn)機(jī)及傳感器的承載范圍，采用縮小法將試驗(yàn)載荷定為2 N，并采用相對較長的試驗(yàn)時(shí)間（5 h）。在鋼球座上方施加200 g 砝碼，采用雙面膠將砝碼固定于鋼球座上，以防脫落。同時(shí)打開計(jì)算機(jī)上力學(xué)傳感器數(shù)據(jù)采集軟件，并將數(shù)據(jù)歸零，開始試驗(yàn)。力學(xué)傳感器實(shí)時(shí)采集鋼球與試件表面的摩擦力，并傳送給計(jì)算機(jī)儲存，所有試件均磨損5 h 后，停止試驗(yàn)。每組3 個(gè)試件，試驗(yàn)結(jié)果取平均值。

圖6 球盤式點(diǎn)接觸干摩擦磨損試驗(yàn)Fig.6 Ball-to-disk point contact dry friction and wear test

2.3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

2.3.1 摩擦系數(shù)

該試驗(yàn)機(jī)采用力學(xué)傳感器得到鋼球與試件表面之間的摩擦力，在測試時(shí)間內(nèi)，摩擦力無顯著波動，同時(shí)考慮到傳感器數(shù)據(jù)處理軟件的存儲量，因此選取中間10 min 的摩擦力數(shù)據(jù)。采用摩擦系數(shù)轉(zhuǎn)換公式計(jì)算出平均摩擦系數(shù)，并將該系數(shù)作為此微結(jié)構(gòu)試件表面的摩擦系數(shù)，將同一組中3 個(gè)微結(jié)構(gòu)試樣的平均摩擦系數(shù)作為該組微結(jié)構(gòu)試樣的摩擦系數(shù)。試驗(yàn)所得9 組微結(jié)構(gòu)試件的摩擦系數(shù)見表2，并用直觀分析法進(jìn)行分析。

表2 不同幾何參數(shù)微結(jié)構(gòu)試件摩擦系數(shù)Tab.2 Friction coefficient of microstructure specimens with different geometric parameters

Rj值的大小反映該參數(shù)對摩擦系數(shù)的影響程度，數(shù)值越大，說明此參數(shù)的影響程度越大。從表2 中可以得到，微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對試件摩擦系數(shù)的影響程度順序?yàn)椋盒螤?面積>間距>深度。

2.3.2 磨損質(zhì)量

為確保微結(jié)構(gòu)試件磨損質(zhì)量測量結(jié)果的準(zhǔn)確性，采用超聲波清洗器對磨損試驗(yàn)前后的試件進(jìn)行清洗，并烘干。采用電子分析天平測量試件磨損前后的質(zhì)量，測量精度為0.1 mg。磨損質(zhì)量結(jié)果見表3。

采用同樣的方法對表3 中試件磨損質(zhì)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對試件磨損質(zhì)量的影響程度順序?yàn)椋好娣e>形狀>深度>間距。

表3 不同幾何參數(shù)微結(jié)構(gòu)試件磨損質(zhì)量Tab.3 Wear mass of microstructure specimens with different geometric parameters

3 表面微結(jié)構(gòu)展開輪磨損數(shù)值模擬

3.1 基于Archard 理論的展開輪表面磨損深度計(jì)算模型

展開輪驅(qū)動面磨損后的磨損形貌放大圖見圖7。從圖7 中可以看出，展開輪表面有清晰的凹坑、麻點(diǎn)和擦痕，符合粘著磨損的特征，因此展開輪表面的磨損類型以粘著磨損為主。以經(jīng)典的Archard 粘著磨損模型為基礎(chǔ)，推導(dǎo)微結(jié)構(gòu)表面展開輪磨損深度計(jì)算公式。

圖7 磨損后展開輪驅(qū)動面磨損形貌Fig.7 The wear profile of the drive surface of the unfolding wheel after being worn

Archard 磨損模型的一般表達(dá)式為[18]：

式中：V為磨損體積；L為相對滑動距離；K為磨損因子；Q為法向載荷；H為維氏硬度。鋼球與展開輪之間的摩擦類型是滾滑復(fù)合摩擦，而式(11)中的L為兩接觸物體之間的滑移距離，因此需引入滑滾比η對滑移距離L進(jìn)行修正，得到式(12)。

式中：Lg為滾動距離；η為滑滾比；dV、dLg可以表示為式(13)。

法向載荷Q可以表示為：

式(13)、(14)中：h為磨損深度；A為接觸面積；σ為接觸應(yīng)力；vg為滾動速度；t為時(shí)間。

由式(11)—(13)可以推導(dǎo)出單位時(shí)間內(nèi)的磨損深度表達(dá)式：

展開輪表面某一接觸點(diǎn)處的接觸應(yīng)力并不是常量，而是隨時(shí)間呈周期性變化的，展開輪每轉(zhuǎn)1 圈為1 個(gè)周期。因此，微結(jié)構(gòu)展開輪表面某一接觸點(diǎn)處的應(yīng)力是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，式(15)可以表達(dá)為：

對時(shí)間進(jìn)行積分，得：

對于微結(jié)構(gòu)展開輪工作表面某一接觸點(diǎn)而言，計(jì)算某一接觸點(diǎn)在0～t時(shí)間內(nèi)的磨損深度，就是計(jì)算鋼球0～t時(shí)間內(nèi)經(jīng)過此接觸點(diǎn)n次后的磨損深度，鋼球第i次經(jīng)過此接觸點(diǎn)時(shí)的接觸應(yīng)力為σi，i=1,2,…,n。則0～t時(shí)間內(nèi)，函數(shù)σ(t)的積分可以表示為：

根據(jù)式(18)、(19)可以將式(17)化簡為：

式(20)為展開輪微結(jié)構(gòu)表面磨損深度的計(jì)算公式。

3.2 鋼球與展開輪有限元模型

使用三維設(shè)計(jì)軟件NX.UG，對直徑為16.6688 mm的鋼球和與其配套的展開輪進(jìn)行幾何建模。展開輪表面9 種不同幾何參數(shù)匹配的微結(jié)構(gòu)如圖8 所示。

圖8 不同試驗(yàn)號的微結(jié)構(gòu)展開輪模型Fig.8 Microstructure unfolding wheel models of different test number

將微結(jié)構(gòu)展開輪三維模型導(dǎo)入到ABAQUS 中進(jìn)行材料屬性定義、接觸設(shè)置和網(wǎng)格劃分。按表1 中的彈性模量和泊松比對鋼球與展開輪材料屬性進(jìn)行定義，其中鋼球密度輸入為7810 kg/m3，展開輪密度為15 630 kg/m3。鋼球與微結(jié)構(gòu)展開輪之間采用面-面接觸，接觸類型選擇摩擦，摩擦系數(shù)設(shè)置與表2 中試驗(yàn)結(jié)果相同。之后對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元體類型選擇四面體，共劃分節(jié)點(diǎn)數(shù)36 754，單元數(shù)為29 552。鋼球-微結(jié)構(gòu)展開輪的三維裝配模型及有限元網(wǎng)格模型如圖9 所示。在鋼球中心施加一個(gè)始終指向展開輪中心的載荷Q1=2.828 N，即鋼球與微結(jié)構(gòu)展開輪一側(cè)的接觸壓力為2 N。鋼球繞圖9b 中虛線旋轉(zhuǎn)，角速度ω1設(shè)置為160 rad/s；展開輪繞y軸旋轉(zhuǎn)，分析步時(shí)間長度設(shè)置為0.2 s。

圖9 鋼球-微結(jié)構(gòu)展開輪模型Fig.9 Model of steel ball-microstructure unfolding wheel

3.3 仿真結(jié)果及分析

不同幾何參數(shù)的微結(jié)構(gòu)展開輪在某一時(shí)刻的接觸應(yīng)力云圖見圖10，最大接觸應(yīng)力值見表4。通過計(jì)算可得鋼球在0.2 s 時(shí)間內(nèi)以160 rad/s 的角速度旋轉(zhuǎn)了5 圈，鋼球總共經(jīng)過標(biāo)記接觸點(diǎn)5 次，即n=5。展開輪維氏硬度H為1700 MPa，鋼球與展開輪之間的滑滾比取值在0.1 左右[12]，即η=0.1。點(diǎn)接觸干摩擦情況下，磨損因子K一般取10–4～10–5[19]，此處K取中間值5×10–5。將上述數(shù)據(jù)分別代入式(20)，得到磨損深度的計(jì)算結(jié)果，見表4。

表4 0.2 s 時(shí)間內(nèi)不同微結(jié)構(gòu)展開輪的接觸應(yīng)力及磨損深度Tab.4 Contact stress and wear depth of unfolding wheels on different surfaces within 0.2 s

圖10 不同參數(shù)微結(jié)構(gòu)展開輪應(yīng)力云圖Fig.10 Stress simulation diagram of unfolding wheel with different parameters

Rj越大，說明該因素對磨損深度的影響程度越大。從表4 中可以看出，展開輪表面微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對磨損深度的影響程度順序?yàn)椋好娣e>形狀>深度>間距。微結(jié)構(gòu)的面積與形狀對展開輪磨損的影響較為顯著，此結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相同。將仿真所得每組模型磨損深度結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，如圖11 所示。可以看出，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的曲線變化趨勢基本一致，這表明了所建立的數(shù)值模擬用于計(jì)算展開輪微結(jié)構(gòu)表面磨損的正確性，保證了后續(xù)基于磨損數(shù)值模擬結(jié)果建立展開輪表面微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的合理性。

圖11 仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的磨損量對比Fig.11 Comparison of wear between simulation results and test results

4 展開輪表面微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)優(yōu)化

4.1 建立目標(biāo)函數(shù)

首先定義形狀系數(shù)c，對微結(jié)構(gòu)形狀進(jìn)行量化，其參數(shù)關(guān)系如式(21)。

式中：s為單個(gè)微結(jié)構(gòu)的面積；l為單個(gè)微結(jié)構(gòu)上最遠(yuǎn)兩點(diǎn)之間的長度。

當(dāng)微結(jié)構(gòu)形狀設(shè)計(jì)為圓形時(shí)，l即為圓的直徑d，計(jì)算得到圓形微結(jié)構(gòu)的形狀系數(shù)c1為0.785；當(dāng)微結(jié)構(gòu)形狀設(shè)計(jì)為正方形時(shí)，l即為正方形的對角線長度，假如正方形的邊長為a，那么其對角線長度可表示為，算得正方形微結(jié)構(gòu)的形狀系數(shù)c2為0.500；當(dāng)微結(jié)構(gòu)形狀設(shè)計(jì)為菱形，且其中銳角為60°時(shí)，l即為菱形中長對角線的長度，假如菱形的邊長為b，那么長對角線長度可表示為 3b，算得菱形微結(jié)構(gòu)的形狀系數(shù)c3為0.289。從上述數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)形狀系數(shù)滿足0.289≤c≤0.785 時(shí)，形狀系數(shù)的值越大，說明微結(jié)構(gòu)的形狀越趨近于圓形；形狀系數(shù)的值越小，說明其形狀越趨近于菱形。

4.1.1 以磨損深度為優(yōu)化目標(biāo)建立函數(shù)

磨損深度與微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)之間一般存在復(fù)雜的指數(shù)關(guān)系，因此建立磨損深度h的通用數(shù)學(xué)模型：

式中：k為與工況有關(guān)的系數(shù)；c為形狀系數(shù)；s為微結(jié)構(gòu)面積；d為微結(jié)構(gòu)深度；θ為微結(jié)構(gòu)間距；α1、α2、α3、α4為待定系數(shù)。

對式(22)兩邊分別取對數(shù)得：

令y=lnh，α0=lnk，x1=lnc，x2=lns，x3=lnd，x4=lnθ，則：

將表4 中微結(jié)構(gòu)各參數(shù)與磨損深度數(shù)值模擬結(jié)果經(jīng)過計(jì)算取對數(shù)后代入式(23)，通過LINEST 函數(shù)計(jì)算可得α=(α0,α1,α2,α3,α4)T的最小二乘估計(jì)，從而建立微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)與磨損深度之間的數(shù)學(xué)模型：

利用EXCEL 軟件的回歸分析功能對表4 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，得到的磨損深度方差見表5。試驗(yàn)次數(shù)n=9，自變量個(gè)數(shù)m=4，取檢驗(yàn)的顯著水平為0.05。因?yàn)镻值小于選取的顯著水平0.05，且查閱F分布表可得F(m,n–m–1)=F0.95(4,4)=6.388，此值小于統(tǒng)計(jì)量F，可以得出磨損深度數(shù)學(xué)模型與磨損數(shù)值模擬數(shù)據(jù)的擬合性良好。

表5 磨損深度方差分析表Tab.5 Variance analysis table of wear depth

4.1.2 以摩擦系數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)建立函數(shù)

根據(jù)試驗(yàn)所得摩擦系數(shù)結(jié)果，采用同樣的方法得到微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)與摩擦系數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型：

同樣使用方差分析的方法對摩擦系數(shù)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，結(jié)果見表6。P值小于選取的顯著水平0.05，且查F分布表可得F0.95(4,4)=6.388，小于統(tǒng)計(jì)量F，得出摩擦系數(shù)數(shù)學(xué)模型與試驗(yàn)所得摩擦系數(shù)結(jié)果的擬合性良好。

表6 摩擦系數(shù)方差分析表Tab.6 Variance analysis table of friction coefficient

4.2 模型優(yōu)化及求解分析

4.2.1 優(yōu)化問題描述

1）優(yōu)化變量：形狀系數(shù)c、微結(jié)構(gòu)面積s、微結(jié)構(gòu)深度d、微結(jié)構(gòu)間距θ。

2）目標(biāo)函數(shù)：

3）約束條件：

4.2.2 優(yōu)化模型求解

展開輪表面微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)優(yōu)化為多目標(biāo)優(yōu)化，由于多個(gè)目標(biāo)之間相互制約，其解通常并不是只有1個(gè)最優(yōu)解，而是1 個(gè)由多個(gè)非劣解組成的集合，因此采用基于Pareto[20]思想的遺傳算法（NSGA-II）求解目標(biāo)函數(shù)。利用MATLAB 自帶的函數(shù)gamultiobj 對展開輪表面微結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，設(shè)置最優(yōu)個(gè)體系數(shù)為0.2，種群大小為100，最大進(jìn)化代數(shù)為200，利用MATLAB 軟件求解后的Pareto 前沿解集如圖12 所示。由圖12 可知，gamultiobj 函數(shù)求解得到0.2 s 時(shí)間內(nèi)微結(jié)構(gòu)展開輪磨損深度h的取值范圍為5.24×10–7～5.32×10–7mm，摩擦系數(shù)μ的取值范圍為0.2600～0.2607。與之對應(yīng)的20 個(gè)非劣解見表7。

圖12 Pareto 前沿解Fig.12 Pareto frontier solution

由表7 可知，非劣解的形狀系數(shù)c數(shù)值在0.289左右，說明在三種微結(jié)構(gòu)形狀之中，增摩降磨性能最好的形狀為菱形。面積s全部為0.0310 mm2，說明微結(jié)構(gòu)的最佳單坑面積為0.0310 mm2。深度d為97～112 μm，大多數(shù)集中在100 μm 左右，說明微結(jié)構(gòu)最優(yōu)深度在100 μm 左右。間距θ在整個(gè)間距取值范圍內(nèi)都有分布，其中出現(xiàn)頻數(shù)最高的為3.59°，考慮到加工與測量，將間距角度取值為3.6°。使用時(shí)，可根據(jù)具體情況，從20 個(gè)非劣解集中自行選擇所需微結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配。

表7 非劣解集表Tab.7 Non-inferior solution set table

5 結(jié)論

1）對展開輪表面凹坑形微結(jié)構(gòu)面積、形狀、深度和間距，設(shè)計(jì)了四因素三水平正交試驗(yàn)。結(jié)果表明，微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對展開輪表面摩擦系數(shù)的影響程度順序?yàn)椋盒螤?面積>間距>深度；對磨損量影響程度順序?yàn)椋好娣e>形狀>深度>間距。以最大摩擦系數(shù)和最小磨損量為優(yōu)化目標(biāo)，獲得展開輪表面微結(jié)構(gòu)在可行域內(nèi)的最小磨損深度為5.24×10–7～5.32×10–7mm，最大摩擦系數(shù)為0.2600～0.2607。與之對應(yīng)的最佳幾何參數(shù)匹配：形狀為菱形，面積為0.0310 mm2，深度為100 μm 左右，間距為3.6°。

2）推導(dǎo)得到一種展開輪微結(jié)構(gòu)表面磨損深度計(jì)算模型，將仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比，磨損量變化趨勢相同，驗(yàn)證了微結(jié)構(gòu)表面展開輪磨損數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性，保證了基于數(shù)值模擬數(shù)據(jù)建立展開輪表面微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)優(yōu)化模型的合理性以及求解所得最佳參數(shù)匹配的準(zhǔn)確性。

3）微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和摩擦系數(shù)與磨損深度之間的數(shù)學(xué)模型分別與試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果數(shù)據(jù)擬合性良好，可根據(jù)微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)，直接估算出展開輪微結(jié)構(gòu)表面的摩擦系數(shù)和磨損量。