二連桿機械臂的重復(fù)性滑模控制

趙逸吉

（延鋒安道拓座椅有限公司，上海201315）

1 項目概述

本文的控制對象是一個二連桿機器人，如圖1所示，目標是使其末端器（end effector）跟蹤一條周期性的期望路徑，誤差盡可能小。

圖1 控制對象的實物圖與示意圖

兩個Maxon EC電機用于分別控制兩桿，正交編碼器記錄脈沖數(shù)，同時計算轉(zhuǎn)動的角度。由于存在摩擦、重力力矩變化，尤其還有因齒隙（backlash）等裝配誤差，該控制對象是一個非線性較強的二階系統(tǒng)。為使其精確受控，擬采用重復(fù)控制（RC）。

重復(fù)控制最初在20世紀80年代被提出[1]，是基于內(nèi)模原理的控制方法，能有效抑制周期性干擾并達到高精度控制，因此受到廣泛的關(guān)注。近期仍有許多學(xué)者對此進行研究，如LinLin Li等人將其應(yīng)用在納米定位器上[2]；Lennart Blanken等人設(shè)計組合了多個重復(fù)控制器以達到更高精度且快速收斂的目的[3]；Hassan Farokhi Moghadam等人使用自適應(yīng)快速傅里葉變換（AFFT）來輔助重復(fù)控制得到干擾的精準周期[4]。

然而，應(yīng)用重復(fù)控制需要上個周期的系統(tǒng)信息。故控制伊始，先采用滑?？刂疲⊿MC），幾個周期后，采用基于SMC修改的重復(fù)控制律。

2 相關(guān)假設(shè)

2.1 齒隙干擾

電機的轉(zhuǎn)角為編碼器計數(shù)而得，但由于齒隙的存在，實際情況會有誤差。為消除此誤差，一般會建立反向齒隙模型，如Chunyi Su等人提出的連續(xù)時間動態(tài)模型[5]。

然而，由于難以構(gòu)筑精確的反向齒隙模型，將其應(yīng)用在控制算法里容易導(dǎo)致失穩(wěn)。這是因為在機械臂改向時，電機的轉(zhuǎn)角大小會有一個跳變。故本文將齒隙歸為了干擾的一部分，試圖通過控制算法來盡可能降低齒隙的影響，同時也成為了衡量控制方法抗干擾性的一條指標。

2.2 摩擦識別

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，本文選取所應(yīng)用電機的摩擦模型，為庫侖及粘性摩擦的組合。摩擦識別如圖2所示。

圖2 電機摩擦模型

由此，電機電流與角速度的關(guān)系被擬合，并將其轉(zhuǎn)化為摩擦力矩與角速度的關(guān)系，總結(jié)成如下的關(guān)系式：

式（2）是應(yīng)用本文所述控制方法的前提，允許摩擦力矩估計值與真實值有一定程度的偏差，此偏差上限F需根據(jù)實驗數(shù)據(jù)合理設(shè)置。

3 控制方法

本節(jié)介紹控制方法的具體內(nèi)容?？傮w步驟為：（1）建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。（2）根據(jù)模型求取系統(tǒng)總動能與總勢能。（3）解拉格朗日方程得到運動方程。（4）在一種適合于非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)魯棒控制律的基礎(chǔ)上，融入重復(fù)控制思想，形成本文所提議的控制律。

由于控制對象的幾何參數(shù)一定，末端器的位置可由兩桿轉(zhuǎn)角確定。故末端器的周期性期望路徑，亦可轉(zhuǎn)化為兩個轉(zhuǎn)角的周期性期望路徑。

如圖3建立坐標系，設(shè)桿長是l1和l2，質(zhì)量是m1和m2。兩桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離為r1和r2，而兩質(zhì)心坐標為：（正余弦簡寫，如sinθ1與cosθ2簡寫為s1與c2）

圖3 建模示意圖

對式（3）求一階導(dǎo)后得：

由上式所得速度求取系統(tǒng)總動能得：

其中Iz1與Iz2為兩桿在質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動慣量。將式（3）和（4）代入（5）經(jīng)化簡得：

其中：

注意到α、β、γ皆為常數(shù)，故系統(tǒng)總動能僅由其姿態(tài)（兩轉(zhuǎn)角之差）及轉(zhuǎn)速決定。而系統(tǒng)總勢能為：

得到總動能與總勢能后，即可計算拉格朗日函數(shù)：

將其代入拉格朗日方程：

由式（10）可導(dǎo)出系統(tǒng)的運動方程，經(jīng)整理即可寫成如下形式：

其中q=[θ1θ2]T，τ=[τ1τ2]T，且H、C、g三個矩陣分別為：

注意到式（11）一開始是不含有摩擦項f（q˙）的，而是在推出運動方程后補加進去的。事實上，從式（6）可以直接導(dǎo)出H（q），因為動能并且，C（q，q˙）中的每一項，也就是Ckj，皆可用H（q）經(jīng)由克氏符（Christoffel symbols）計算而得：

針對式（11）形式的運動方程，如Slotine教授所述[6]，一種自適應(yīng)魯棒控制律（滑?？刂疲┤缦拢?/p>

通過構(gòu)筑合適的李雅普諾夫函數(shù)（Lyapunov function）可證明式（14）的穩(wěn)定性及魯棒性[6]。K的取值也在此過程中確定，其涵蓋了式（2）中的摩擦力矩偏差上限F。針對本文中的系統(tǒng)，Y與a如下：

在應(yīng)用式（14）所示的自適應(yīng)魯棒控制律控制系統(tǒng)幾個周期后，即可應(yīng)用本文所提議的重復(fù)控制律：

重復(fù)控制有多種形式，比如可以配合擾動觀測器（Disturbance observer）使用，而上式是其中一種經(jīng)嘗試簡明有效的控制律。其中，i代表每個迭代（iteration），N為一周期內(nèi)迭代次數(shù)，Q是一個低通濾波器，C是需要被調(diào)試的常數(shù)（正值）對角矩陣。濾波器在重復(fù)控制中是極其必要的，否則擾動將使系統(tǒng)不可控，在每個周期都發(fā)生疊加，愈演愈烈。

4 實驗設(shè)置

如圖4所示，MaxonEC電機驅(qū)動模塊、NImyRIO開發(fā)板、電源發(fā)生器，是實現(xiàn)機械臂控制的主要設(shè)備。在此基礎(chǔ)上，編寫LabVIEW FPGA代碼來實施前述的控制方法。

圖4 重復(fù)性滑?？刂茖嶒灲Y(jié)果

首先在軟件中建模，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可由輸入輸出的測試數(shù)據(jù)建立。接著是控制仿真，在此過程中，調(diào)試λ、C等參數(shù)，使跟蹤精度更高。成功后，就將其應(yīng)用于現(xiàn)實系統(tǒng)。

5 實驗結(jié)果

為提供重復(fù)控制所需的過往周期數(shù)據(jù)，并直觀地進行對比，滑?？刂疲⊿MC）首先應(yīng)用于兩關(guān)節(jié)（joint），過50秒（5個周期）、100秒（10個周期）后，先后在兩關(guān)節(jié)上應(yīng)用本文提議的控制律。

所用各參數(shù)為λ1=λ2=2，C1=2，C2=1.5，轉(zhuǎn)角跟蹤曲線皆為tanh（2sin（0.2πkT））的拉伸與平移，實驗結(jié)果如圖5所示。

圖5 重復(fù)性滑?？刂茖嶒灲Y(jié)果

5個周期后，提議的控制律應(yīng)用在關(guān)節(jié)1處，可看到θ1的跟蹤表現(xiàn)有所提高，幾個周期內(nèi)的誤差絕對值平均為0.007rad。雖然某時會有相對較大的誤差，但整體表現(xiàn)證明了它的有效性。

10個周期后，提議的控制律應(yīng)用在關(guān)節(jié)2處，很明顯θ2的誤差等級大大下降，幾個周期內(nèi)的誤差絕對值平均僅為0.00205rad。并且，s的值非常接近0（誤差及誤差導(dǎo)數(shù)?。?。

更仔細地調(diào)試參數(shù)后，實驗表現(xiàn)應(yīng)可進一步提高。然而，本文所側(cè)重的是證明所提議控制律的可行性及實用性，目前的實驗結(jié)果也已達此目的。

6 結(jié)論

本文提議的重復(fù)性滑模控制，有著取自重復(fù)控制及滑?？刂频膬?yōu)勢：非線性系統(tǒng)的控制器易于設(shè)計，也不需知曉精確的系統(tǒng)參數(shù)；重復(fù)控制律進一步提高跟蹤精度。實驗中的表現(xiàn)也十分良好，且系統(tǒng)參數(shù)的不確定性、摩擦、齒隙等干擾所帶來的影響被大大減弱。故其具有較強的實用性。

有關(guān)所提議控制方法的局限性，主要是以下幾點：如其他大多數(shù)控制方法一樣，普適性會有欠缺，且此控制律是基于重復(fù)控制的思想，故也僅適用于跟蹤周期性期望路徑；在高階或其他有著更強非線性的系統(tǒng)前，可能作用有限。