一種基于二次型約束最小二乘法的瞬時單點定位算法

陳萬通，汪竹青

(1.中國民航大學民航航班廣域監視與安全管控技術重點實驗室，天津 300300；2.中國民航大學天津市智能信號與圖像處理重點實驗室，天津 300300)

全球導航衛星系統(global navigation satellite system, GNSS)包括單點定位和相對定位兩大類，其中單點定位主要有精密單點定位(precise point positioning, PPP)和標準單點定位(standard single-point positioning, SPP)，相對定位主要有實時動態定位(real-time kinematic positioning, RTK)。RTK依賴于基站提供的差分改正信息，這很大程度上限制了其在基站數量有限甚至沒有基站區域中的應用[1]。相比之下，SPP和PPP具有無需基準站、使用靈活、作用區域廣等優勢。雖然PPP基于載波相位測量實現了高精度定位，但是其收斂時間較長，仍然是限制其實際應用的技術瓶頸[2]。另外，在具有挑戰性的環境下，如城市或者室內區域等，GNSS接收機極易產生載波相位周跳甚至無法定位，這將導致PPP功能不可用。因此在某些具有高魯棒性要求的實際應用場景中，SPP仍然是最有效的導航技術[3]。但是，SPP可獲得的定位精度僅為米級，而且其垂直方向上的定位精度顯著小于水平方向，對于分米甚至厘米級的應用來說精度仍然不能滿足實際需求。

學者們提出了一些能夠有效改善SPP的定位精度的方法。文獻[4]提出利用增強系統，如星基增強系統(satellite-based augmentation system, SBAS)和地基增強系統(ground-based augmentation system, GBAS)提供的誤差改正信息去提高SPP的定位精度。但是其構造成本非常高而且應用地域受限。文獻[5-7]提出通過消除誤差來提高SPP定位精度。其中，文獻[5]研究了電離層誤差對衛星定位精度的影響，對比了不同模型下的衛星定位精度，結果表明平均定位誤差在2～4 m范圍內。文獻[6]基于網格產品和對流層模型，研究了如何利用GNSS基準站先驗估計對流層誤差的方法，通過對比實驗得出利用地面GNSS參考站反演對流層延遲的方法具有很大潛力。隨著GNSS技術的發展，衛星軌道偏差、差分碼偏差以及衛星和接收機鐘偏差等均可有效消除[7]。另外，文獻[8]研究了接收機鐘偏差模型并提出一種鐘偏預測方法，通過在衛星信號遮擋嚴重情況下的定位實驗指出，針對可視衛星較少的情況下，接收機鐘偏差預測在SPP中起著關鍵作用。但是上述研究主要集中在通過消除SPP定位過程中的誤差來改善定位精度。

為了進一步提高SPP定位精度，近年來，文獻[9-11]發現一些場景中存在的先驗信息可用于增強定位性能。這些先驗約束信息不僅應用于標準單點定位，在精密定位領域也受到了廣泛關注。文獻[9]利用道路幾何模型約束進行導航定位，將車輛狀態投影到地圖段上，通過城市環境下的實驗表明約束后的定位精度改善31.4%。文獻[10]提出一種先驗海平面高度約束PPP方法，將高度方程進行微分處理線性化后，作為新增的觀測方程，通過海上動態實驗分析了附加高度約束的定位性能，結果表明附加約束的定位精度在垂直方向上改善79%，3D方向上改善67%，并且定位魯棒性增強。文獻[11]將先驗高度信息作為準觀測方程補充到SPP觀測模型中，利用實驗分析了高度約束對衛星幾何構型的影響并且實驗結果顯示水平方向定位精度提高了42.84%。文獻[10-11]都是從線性化角度應用高度約束，得到的估計值僅近似滿足非線性約束。現提出一種二次型高度約束的SPP定位方法，采用非線性形式應用高度約束方程，并基于實測的GPS(global positioning system)衛星觀測數據驗證了算法的定位性能，一定程度上改善了SPP的定位精度。

1 SPP數學模型

1.1 消電離層組合數學模型

基于雙頻偽距的消電離層(ionosphere-free, IF)組合觀測方程[12]可表示為

pi=ρi+cdtr-cdti+Ti+bpi-Bpi+ε(pi)

(1)

式(1)中：pi為雙頻偽距IF組合偽距觀測值；ρi為衛星i與用戶接收機之間的幾何距離；dtr和dti分別為接收機和衛星鐘偏差；c為真空中光速；Ti為對流層延遲；bpj和Bpj分別為接收機端和衛星端的硬件延遲偏差；ε(pi)為觀測噪聲和未被模型化的誤差(多徑效應也包含其中)。

對于上述偽距觀測模型，電離層已經通過IF組合的方式消除。為了提高偽距單點定位精度，應進一步消除其他誤差項。其中，對流層延遲項采用經驗模型來改正，衛星位置偏差由(international GNSS service, IGS)提供的衛星精密軌道產品改正。相對論效應、地球自轉、固體潮、大洋潮汐等引起的誤差采用相應的模型加以改正。通常，與衛星相關的硬件延遲會整合到衛星鐘差項中，由IGS提供的衛星精密鐘差產品改正，與接收機相關的硬件延遲會整合到接收機鐘差項中，其表達式為

(2)

式(2)中：ζ為整合了衛星端硬件延遲項的衛星鐘偏差；μ為整合了接收機端硬件延遲項的接收機鐘偏差。因此，經誤差改正后且不考慮觀測噪聲的情況下，式(1)可簡寫為

pi=ρi+μ

(3)

1.2 SPP參數估計

偽距觀測方程的閉式解方法不同于傳統求解方法，不用進行迭代運算。假設有n(n≥5)顆可視衛星，且第一顆衛星高度角最大，設為參考星。將參考星對應的偽距觀測方程分別與其他n-1顆衛星對應的偽距觀測方程進行作差，得到n-1個關于未知參數(x,y,z,μ)的線性方程，該組方程分別表示包含了兩個橢球相交部分的平面[13]。因此，得到SPP觀測方程的線性形式，可建立方程為

l=Er-emμ+v

(4)

式(4)中：v為觀測噪聲；l為測量向量；E為設計矩陣；r=[x,y,z]T為接收機位置坐標向量；em=[1,1,…,1]T，m=n-1；μ為接收機鐘差參數。

測量向量可表示為

(5)

設計矩陣E可表示為

(6)

式(6)中：αj=2(x1-xj)，βj=2(y1-yj)，γj=2(z1-zj)，j=1,2,…,n-1。

(7)

式(7)中：Im-1為m-1階單位矩陣。

將式(4)兩邊同時左乘正交變換矩陣P，得

(8)

僅提取式(8)中不含接收機鐘差項部分，則得到關于接收機位置三維坐標參數的線性觀測方程，即

(9)

式(9)可改寫為

(10)

其最小二乘解以及方差協方差矩陣為

(11)

2 二次型等式約束最小二乘估計

2.1 高度約束

在一些實際應用場景中，待估參數之間存在潛在的函數關系，而這些函數關系能夠加強定位的魯棒性，改善定位精度。

假設獲取的接收機先驗高度h信息不存在誤差(相對于WGS-84參考橢球的高度)，可得到二次型高度約束的橢球方程，其矩陣形式[11]表示為

rTDDTr=1

(12)

2.2 高度約束最小二乘估計

基于高度方程[式(12)]和最小二乘法，構造二次型等式約束的最小二乘。下面從幾何和代數角度進行分析，利用迭代方法進行求解。

(13)

rTWr=1

(14)

圖1 搜索橢球與約束橢球關系圖

從代數角度分析，基于式(13)和式(14)構造拉格朗日函數L，有

(15)

(16)

(17)

圖2 搜索過程二維平面圖

3 數據處理與分析

3.1 數據處理策略

本實驗是以PPPH開源程序為框架，根據本文提出的附加高度約束的最小二乘算法原理對程序進行改進，構造算法實驗平臺。誤差處理主要由IGS提供的精密產品和經驗誤差模型進行改正。接收機鐘差參數通過正交變換消除，未進行參數求解。電離層延遲誤差通過IF觀測模型消除。海平面高度信息可通過潮汐站和FES2014潮汐模型獲取[16]，本實驗中先驗高度值設置為接收機的真實高度。數據處理策略具體如表1所示。

表1 數據處理策略

3.2 實驗結果分析

為了評估附加高度約束的SPP算法的定位性能，本實驗基于采集的真實GPS觀測數據進行定位解算。實驗數據采集時間為2020年1月2日07：43：52—08：43：52，采集地點為中國山西省太原市中北大學校園內，并通過RTKLIB開源軟件的PPP模式解算得到接收機真實位置坐標(38.014 8°N,112.444 1°E, 826.733 5 m)。GPS觀測數據采樣間隔為1 s。實驗采用無約束SPP和附加高度約束SPP兩種方案進行對比分析。

如圖3所示，可視衛星總數在8～10之間變化，衛星數隨觀測時間遞增，可見觀測期間接收機觀測質量良好。圖4給出了整個觀測歷元間的衛星分布天空視圖，該圖直觀地顯示了可視衛星的方位角和高度角信息以及衛星的PRN編號。

圖3 可視衛星數量

圖4 衛星分布天空視圖

以東北天3個方向的定位誤差的RMS值為評價指標，評價各方向上SPP的定位精度。如表2所示,水平方向誤差的RMS值由1.25減小為1.09，定位精度改善12.8%；三維方向上誤差的RMS值由13.27減小為1.10，定位精度改善了91.7%。由此可見，SPP定位精度在兩個維度上得到了不同程度的改善。而且，無約束SPP方法的垂直方向定位精度較差，高度約束SPP不僅大大提高了U方向定位精度，還有效改善了水平方向定位精度。

表2 定位誤差的RMS統計

圖5和圖6分別給出了在WGS-84直角坐標系和東北天(ENU)坐標系下附加高度約束與無約束SPP兩種方案的定位解算誤差對比圖。如圖5所示，綠色實線表示約束后的誤差曲線，藍色虛線表示無約束的誤差線。附加高度約束的SPP定位誤差在X、Y、Z3個方向上顯著小于無約束SPP的定位誤差，并且高度約束的SPP定位誤差穩定保持較小。如圖7所示，從E、N、U 3個方向上看，與無約束SPP方案相比，附加高度約束的SPP在U方向上定位精度改善明顯，而水平方向(E、N方向)定位精度略有所改善。

圖5 WGS-84直角坐標系下位置估計誤差

圖6 ENU坐標系下位置估計誤差

圖7 接收機三維位置坐標分布散點圖

如圖7所示，給出了接收機3D位置估計散點圖。從圖7可以看出，附加高度約束SPP的靜態接收機位置估計分布具有一定的收斂性，而無約束SPP的位置分布相對發散，遠離真實位置。而且，由于垂直方向的發散性，接收機參考坐標點被完全覆蓋。另外，在垂直方向上，附加高度約束SPP的接收機位置分布絕大部分固定在更接近真實值的水平面上，而無約束SPP的接收機位置隨機性較大，這也體現了高度約束對接收機位置估計產生的影響。

綜上分析，與無約束SPP相比，附加高度約束的SPP算法能夠有效改善定位精度，特別是垂直方向定位精度和三維定位精度。雖然水平方定位精度改善較小，改善程度為12.8%,但是3D方向定位精度改善高達91.7%。

4 結論

利用某些場景下存在的先驗高度信息提出一種高魯棒性的附加高度約束的偽距單點定位方法，該方法的優勢在于以非線性方式應用高度約束方程，進行二次型約束的最小二乘參數估計。實際實驗表明，與無約束SPP相比，附加高度約束對SPP的定位性能影響較大，其3D定位精度改善91.7%。因此文中給出的實際實驗說明了該方法的有效性。