幾何組成分析方法：以實代虛法

金逐流，萬華平

（浙江大學建筑工程學院，浙江 杭州 310058）

按幾何組成性質劃分，體系可分為幾何不變體系與幾何可變體系。幾何可變體系在外力作用下通常會產生較大的內力或變形，一般不能用作結構[1]。體系幾何組成分析主要是為了判定體系是否為幾何不變，從而判斷其能否作為結構使用。

體系幾何組成分析采用兩剛片規則、三剛片規則、二元體規則三個基本規則[2]，以及衍生的擴大剛片法、撤除剛片法、替代剛片法等[3]。

圖1（a）所示的體系可以利用三剛片規則進行判定。如圖1（b）所示，三剛片間的三個鉸不共線，因此體系為幾何不變、且無多余約束。

圖1 三剛片規則的運用

將圖1（a）的體系增加一些桿件，得到圖2（a）所示的體系，常規的基本規則無法用于該體系的幾何組成分析。該體系的計算自由度W=0，可以用零載法[3]進行分析，但涉及內力分析。

圖2 復雜體系與分析

陳水福等[4]對該體系給出過如下分析思路：左側的鉸接三角形與基礎之間通過兩根支座鏈桿相連，這兩根鏈桿所形成的虛鉸O1位于基礎上，可將三角形簡化為通過虛鉸O1、實鉸A的鏈桿；右側的三角形同理可簡化為鏈桿O2B，如圖2（b）（c）所示。

該思路簡化了體系，但未對其等價性、可行性作深入解釋。此外，樊友景[5]、崔恩第[6]等也用過類似的替代思路，同樣沒有更詳細、系統的闡述。

本文基于上述思路，介紹一種幾何組成分析方法，詳細闡述該方法的基本思想，并多重舉例說明該方法在幾何組成分析中的應用。

1 以實代虛法

對于幾何不變體系，由于桿件之間不會相對運動，體系內的虛鉸位置是不變的，相當于實鉸，用實鉸替代虛鉸時不改變其幾何組成性質，因此可以進行等效替代。

對于幾何可變體系，虛鉸位置會隨兩剛片的相對運動而改變。但是其幾何組成分析首先假定體系是不動的，此時虛鉸位置不變，仍相當于實鉸，可以進行等效替代。

綜合上述，給出“以實代虛法”的基本表述：

如果體系中的兩個幾何不變部分（剛片）之間存在兩根鏈桿構成的虛鉸，則可用實鉸替代該虛鉸。

替代后，新的實鉸與原來的虛鉸位置相同，并代替了原來的兩根鏈桿，與兩剛片相連。以實代虛法可與擴大剛片法、替代剛片法一起使用。圖3為該方法的示意圖，其右側的體系正是擴大剛片的結果。

圖3 方法

以實代虛法可以用于簡化體系，尤其是鏈桿多、虛鉸多的體系，為體系的幾何組成分析提供了新思路，能用于分析一些常規方法難以處理的體系。

2 算例分析

【例1】判別圖4（a）所示體系的幾何組成。

圖4 算例1

【解】ΔABE、基礎為兩個剛片，之間有兩根鏈桿，因此這兩根鏈桿構成虛鉸，可以用實鉸替代。替代后，ΔABE與大地之間通過實鉸A連接，B點處則形成二元體，可以將其拆除。

ΔCDF與ΔABE同理，可以進行相同的替代與二元體拆除。替代后如圖4（b）所示。

可知ΔEFG與基礎之間通過三根鏈桿連接，由于這三根鏈桿交于同一點，故體系為幾何可變。通過微小位移法可以進一步判定原體系為瞬變。

【例2】判別圖5（a）所示體系的幾何組成。

圖5 算例2

【解】ΔABE與基礎之間的兩根鏈桿互相平行，構成的虛鉸為無窮遠。將虛鉸用實鉸替代，替代后的實鉸位于無窮遠處。同樣地，對ΔCDF作類似處理與分析。

替代后，ΔABE與其余部分通過兩個實鉸相連，故可用鏈桿替代。由于一個實鉸為無限遠，因此鏈桿也應當為無限長。ΔCDF同理，簡化結果如圖5（b）所示。

由于兩根無限長的鏈桿與G點的支座鏈桿不全平行，故體系為幾何不變，且無多余約束。

【例3】判別圖6（a）所示體系的幾何組成。

圖6 算例3

【解】桿EK與基礎大剛片之間通過兩根支座鏈桿相連，這兩根鏈桿構成虛鉸，因此用實鉸進行替代。替代后如圖6（b）所示。可以發現，替代之后的體系出現了二元體。從K點開始，將二元體依次撤除，最后只剩下基礎大剛片，故體系為幾何不變，無多余約束。

【例4】判別圖7（a）所示體系的幾何組成。

圖7 算例4

【解】首先把剛架CFGD看成剛片。剛架CFGD與基礎之間通過D、G兩處的支座鏈桿相連，這兩根鏈桿在FG中點處構成虛鉸，因此用實鉸替代，記為點H。

替代后，剛架CFGD與基礎通過實鉸H連接，與其余部分通過鉸C連接，故可用鏈桿替代，替代后如圖7（b）所示。

將剛架AE、EBC與基礎分別看成剛片，如圖7（c）所示。A處的平行鏈桿與實鉸E、虛鉸K的連線不平行，由三剛片規則，三鉸不共線，體系為幾何不變，無多余約束。

3 討論

3.1 能否進行多次“以實代虛”

以實代虛法的前提是體系不動，在體系不發生位移時，虛鉸與實鉸是等效的，因此這個替代可以迭代進行，其過程也完全可逆。當虛鉸被實鉸替代后，如果新的“實鉸”又構成了新的虛鉸，則該虛鉸可以繼續被替代。

3.2 虛鉸無窮遠如何處理

當體系存在虛鉸無窮遠時，兩根平行鏈桿相當于位于無窮遠的實鉸，而替代后剛片也會變得無限長、無限遠。這給實際應用帶來了困難，尤其是體系存在多組平行鏈桿的情況。

算例2是體系存在虛鉸無窮遠的一個例子，由于鉸接三角形恰好可以用鏈桿替代，體系才得以簡化。但是，對于多組平行鏈桿的復雜情形，虛鉸無窮遠的處理已相當復雜，該方法很難再適用。

3.3 能否區分常變與瞬變

對于常變、瞬變的初步區分，以實代虛法的分析結果與常規方法通常是一致的。例如，圖8（a）（b）為瞬變體系簡化后的兩種常見結果，將圖8（a）體系的實鉸用虛鉸代回，得到圖8（c）的體系。

代回后，兩根鏈桿的布置方法有很多種，但由于在原實鉸處（有限遠處）形成虛鉸，所以兩根鏈桿不會平行。因此，體系仍為瞬變，而不會因鏈桿平行等長而變成常變?？梢则炞C，將圖8（b）體系中的實鉸用虛鉸替代，體系也保持瞬變。

圖8 常變與瞬變的區分

以上討論僅限于靜態體系的初步分析，常變、瞬變應根據體系的微小運動進行嚴格區分。

4 結語

以實代虛法通過用實鉸代替虛鉸，可以處理一些常規方法難以分析的體系。仍然有很多體系無法運用現有的幾何組成分析方法進行分析與判定，需要不斷探索新的幾何組成分析方法。