2021年高考數學模擬試題

雷小華

本卷滿分150分，考試用時120分鐘

第Ⅰ卷（選擇題?共60分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.?在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.?設集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|xy=1}，則A∩B（ ）

A.?{1}B.?{（?，??）}C.?{（1，?1）}D.?？覬

2.?復平面內復數?z=?（1+ai）?（i為虛數單位）對應的點在以坐標原點為圓心的單位圓上，則實數a=（ ）

A.?1 B.?0 C.?-1 D.?±1

3.?設等比數列{an}滿足a1=1，?a1-a5=-3，?則a21=（ ）

A.?128 B.?256 C.?512 D.?1024

4.?如圖1，某山峰峰頂覘標點A與大地水準面高程為HA（單位：米），在大地高為HB（單位：米）的觀測點B處測得AB距離為s（單位：米），仰角為？琢（單位：弧度）.?下列關系正確的是（ ）

A.?HA=HB+s·sin？琢 B.?HA=HB+

C.?HA=HB+s·cos？琢 D.?HA=HB+

5.?設向量??=（1，?），?=（-m，?m），實數m=-1是

=30°的（ ）

A.?充要條件 B.?充分非必要條件

C.?必要非充分條件D.?既非充分又非必要條件

6.?如圖2，“天圓如張蓋，地方如棋局”，傳說為伏羲所創的蓋天說，最早在中國第一部數學專著《周髀算經》中對此進行了追述.?現從圖中標有英文字母的10個點中任取3個，則能構成三角形的概率為（ ）

A.??B.??C.??D.

7.?設a=ln2，則（ ）

A.?ae<2a

8.?函數f（x）=?，x∈[-2，?2]的大致圖像為（ ）

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.?在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.?全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.?若x4的系數是（1+x）n的二項展開式中唯一的最大值，且各項系數和為？贅，則（ ）

A.?n=7 B.?n=8 C.?？贅=27 D.?？贅=28

10.?直線l?∶??x=ky與圓C?∶??x2-2x+y2-1=0交于A、B兩點，則？駐ABC的面積可以為（ ）

A.?0 B.?1 C.?? D.

11.?如圖3，平面上點P與邊長為2的正方形ABCD各頂點的距離的平方和等于12，則下列結論正確的是（ ）

A.?（?·?）+（?·?）=-2

B.?（?·?）-（?·?）=0

C.?（?·?）（?·?）=1

D.?（?·?）（?·?）=1

12.?如圖4，邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，以下是過AE的平面截正方體所得截面中的五種情形，則下列結論正確的是（ ）

A.?M、H、K為棱的中點

B.?若N、G為棱的中點，則P、F為棱的四等分點

C.?這五種情形中所得的截面有3個梯形、1個平行四邊形、1個矩形

D.?這五種情形中所得的截面面積相等

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.?設雙曲線C?∶??x2-?=1的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線與C的右支交于點A，若AF2⊥F1F2，則三角形AF1F2的周長為______.

14.?若f（x）=k（x+1），?x<0?+?+?+?+?+?，?x≥0單調遞增，則k的最大值為______.

15.?某地區在防疫工作中，要把五名志愿者分配到A、B、C三個社區參加義務活動.?若每個社區至少分配一名志愿者，且志愿者甲、乙必須分配在一起，則共有_____種不同的分配方案.

16.?函數f（x）=?ex+ln?-2（a>0），若f（x）≥0恒成立，則實數a的取值范圍為_____.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.?解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（本小題滿分10分）在？駐ABC中，asinB=bcos2A，∠B?=?，再從條件①、條件②中選擇一個作為己知，求：（Ⅰ）a2+b2-c2的值;（Ⅱ）？駐ABC的面積.（條件①：a=?;條件②：b+c=3+?.?注：若①②都選并分別解答，則按第一個解答計分）

18.（本小題滿分12分）設等差數列{an}的前n項和為Sn，正項數列{bn}的前n項和為Tn.?已知a1=1，S10=100，4Tn=bn（bn+2）.

（Ⅰ）求an;

（Ⅱ）令Wn=?，證明：?Wi?>?.

19.（本小題滿分12分）在邊長為2的等邊三角形ABE與矩形ABCD中，F、G分別為其中心，且EG=?，FG=?，如圖5.

（Ⅰ）證明：直線FG⊥平面ABE;

（Ⅱ）求二面角D-BE-A的余弦值.

20.（本小題滿分12分）如圖6，木陀螺是一種少年兒童玩具.?其玩法是：先要用繩子卷起來用力一拉，置于平地讓其轉起來;然后使勁的抽打它，令其急速旋轉.?假設每次抽打它時，打中陀螺的上、中、下三部位的概率分別為0.2，0.5，0.2，每次抽打相互獨立.

（Ⅰ）求三次抽打中，兩次打中陀螺的中部、一次沒打中陀螺的概率;

（Ⅱ）在三次抽打中，記打中陀螺中部的次數為X，求X的分布列及數學期望.

21.（本小題滿分12分）已知橢圓C?∶???+?=1（a>b>0）的左頂點?A（-2，?0），右焦點F（1，?0），O為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）點G、E分別是直線x=4與橢圓上的點，滿足AE∥OG.?設橢圓的右頂點為B，BE與FG相交于點H，證明：點H的軌跡為定圓.

22.（本小題滿分12分）已知函數f（x）=esinx-sinx-1（0

（Ⅰ）求f（x）?的最大值及其圖象的對稱軸方程;

（Ⅱ）設g（x）=?x-sinx，證明：在（0，?]上，g（x）

參考答案

一、單項選擇題

1.【答案】選C.?A∩B={（1，?1）}，故選答案C.

2.【答案】選B.??（1+ai）=a-i，由復數對應的點在以坐標原點為圓心的單位圓上，故a=0，故選答案B.

3.【答案】選D.?由a1=1，a1-a5=-3得a5=1·q4=4，所以a21=a1q20?=45?=1024，故選答案D.

4.【答案】選A.?角？琢所對的直角邊長為h=s·sin？琢，故HA=HB?+s·sin？琢，故選答案A.

5.【答案】選B.?設向量?=（-1，?），則?=m·?.?由向量?=（1，?）與向量?的位置關系可知，若要?=30°，則m=-1或m=?，選答案B.

6.【答案】選D.?從圖中標有英文字母的10個點中任取3點，其中有四種情形不能構成三角形，所以P=?=?，故選答案D.

7.【答案】選A.?首先a=ln2∈（0，?1），ae<1，ea>1，2a>1，∵?e>2，∴?ea>2a，故ae<2a

8.【答案】選B.?函數f（x）為奇函數，排除CD，又x∈[0，?2]?上有5個零點，故選答案B.

二、多項選擇題

9.【答案】選BD.?因為（1+x）n的二項展開式中的系數即是二項式系數，又最大值是x4項的系數，且唯一，故n=8.?所以各項系數和？贅=（1+1）8?=?28，故選答案BD.

10.【答案】選BC.?由圓C?∶?x2-2x+y2-1=0得C?∶?（1，0），r=?，當動直線l?∶?x=ky中僅k=0與圓交于A、B兩點時？駐ABC的面積最大為1，因動直線不過圓心，故沒有最小值.?所以？駐ABC的面積的取值范圍是（0，1]，故選答案BC.

11.【答案】選ABD.?建立平面直角坐標系，如圖8，由平面上點P與邊長為2的正方形ABCD各頂點的距離的平方和等于12這一條件可知，動點P的軌跡是該正方形的內切圓.?可設點P的坐標為P（cos？茲，sin？茲），經計算可得ABD正確，故選答案ABD.

12.【答案】選ABC.

對于答案A，可根據面面平推出線線平得出M、H、K為棱的中點，故答案A正確;

對于答案B，道理同答案A，得出P、F為棱的四等分點，故答案B正確;

對于答案C，圖中第1、2、5的截面為梯形，第3的截面為平行四邊形，第4的截面為矩形，故答案C正確

對于答案D，可計算第3、4這兩個截面面積，由于不相等，故答案D錯誤.

故選答案ABC.

三、填空題

13.?12;?14.?7;?15.?36;?16.?[e，+∞）.

13.?由雙曲線C?∶??x2-?=1可知a=1，b=?，c=2，在三角形AF1F2中，|F1F2|=4，|AF2|=3，∴?|AF1|=5，故三角形AF1F2的周長為12.

14.?由f（x）=k（x+1），?x<0?+?+?+?+?+?，?x≥0為單調遞增函數可得k>0;當?x≥0時，x僅取0、1、2，且f（0）=6，f（1）=27，f（2）=??=56，故k的最大值為6.

15.?分兩類，①僅志愿者甲、乙分配在一起，這時方案數有：???=18（種）;②志愿者甲、乙在一起，再加某一名志愿者，這時方案數有：???=18（種）.?故共有36種不同的分配方案.

16.?由f（x）=?ex+ln?-2≥0得ex+lna-2+lna-2≥lnx，即ex+lna-2+x+lna-2≥x+lnx，即ex+lna-2+（x+lna-2）≥elnx+lnx，∵?y=ex+x單調遞增，∴x+lna-2≥lnx，即∴lna≥2-x+lnx，令g（x）=2-x+lnx，則g′（x）=?，由g（x）max=g（1）=1得lna≥1，故a≥e.

四、解答題

17.?解：選擇條件①a=?.

（Ⅰ）由asinB=bcos2A得sinAsinB=sinBcos2A，……1分

∵?sinB≠0，∴?sinA=cos2A，

即sinA=1-2sin2A，……3分

即2sin2A+sinA-1=0，

即sinA=?，或sinA=-1（不合，舍去），

∵∠B=?，根據三角形內角和定理知∠A=?，

故∠C=π-A-B=?，即∠C=105°.?……5分

在？駐ABC中，由正弦定理?=?得：b=?=?=2.?……6分

根據余弦定理得：a2+b2-c2=2abcosC……7分

=2×?×2·cos105°

=-4?·cos75°

=2-2?.?……8分

（Ⅱ）？駐ABC的面積S？駐ABC=?absinC=?×?×2·sin105°=?.?……10分

選擇條件②?b+c=3+?.（評分細則與上類同）

（Ⅰ）同上可得：∠A=?，∠C=?.

在？駐ABC中，由正弦定理?=?得：c=?=?=?b.

根據已知b+c=3+?得b+?b=3+?，得到b=2.

在？駐ABC中，由正弦定理?=?得：a=?=?.

后面同選擇①.

18.?解：（Ⅰ）由a1=1，S10=10a1+?d=100得：d=2.……2分

故an=1+（n-1）·2=2n-1.?……3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：Sn=n+?·2=n2.?……4分

根據已知4Tn=bn（bn+2） ①

得：?4Tn-1=bn-1（bn-1+2）（n≥2） ②……5分

①-②得：4bn=bn（bn+2）-bn-1（bn-1+2）

整理得：?（bn）2-2bn-（bn-1）2-2bn-1=0

即?（bn+bn-1）（bn-bn-1）-2（bn+bn-1）=0

即?（bn+bn-1）（bn-bn-1-2）=0……7分

因為數列{bn}為正項數列，所以bn+bn-1≠0，

故bn-bn-1=2，即數列?{bn}?是以2為公差的等差數列.

當n=1時，b1=2，

故bn=2+（n-1）·2=2n，Tn=2n+?·2=n2+n.?……9分

所以Wn=?=?>?=?=?-?……11分

故?Wi?=W1+W2+…+Wn?>?-?+?-?+…+?-

=?-?>?-?=?……12分

19.【解析】（Ⅰ）證明：連接EF并延長交AB于H，連接GH.

∵三角形ABE是等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，F、G分別為其中心，

∴?H為AB的中點，AB⊥EH，AB⊥GH?……1分

∵?EH∩GH=H，EH？奐平面EHG，GH？奐平面EHG，

∴?AB⊥平面EHG……2分

∵?GF？奐平面EHG

∴?AB⊥FG……3分

∵?AB=2，F為中心，

∴?EF=??，……4分

在三角形EFG中，由EF?2+FG2=（??）2+（?）2=2=EG2得：

EF⊥FG……5分

∵?EF∩AB=H，EF?？奐平面ABE，AB？奐?平面ABE，

∴?FG⊥平面ABE……6分

（Ⅱ）【方法一】連接DB、DE，

由（Ⅰ）知，HG=?=1，

∵?HG2+EG2=12+（?）2=3=EH2，

∴?EG⊥HG.

結合（Ⅰ）得：EG⊥平面ABCD?……7分

以G為原點，以BC中點、AD中點所在的直線為x軸，以HG、GE所在的直線為y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖10.?……7分

A（-1，?-1，?0），B（1，-1，0），E（0，0，?），D（-1，1，0），F（0，?-?，?），

故?=（-2，?2，?0），?=（-1，?1，??），

設平面BDE的法向量為??=（x，?y，?z），則?·?=0，?·?=0，即（x，y，z）·（-2，2，0）=0，（x，y，z）·（-1，1，?）=0，即x=y，-x+y+?z=0，令x=-1，則y=-1，z=0，

故??=（-1，-1，0）.?……10分

由（Ⅰ）知，平面ABE的法向量為?=（0，-?，?），設所求二面角D-BE-A的大小為？茲，則？茲=，

故cos？茲=?=?=?，二面角D-BE-A的余弦值為?……12分

【方法二】同前，易知平面BDE的法向量為?=（-1，-1，0），后同.

【方法三】連接AF并延長交BE于I，連接IG，則∠AIG即為所求的平面角，設為？茲.

在Rt？駐FIG中，IF=?，IG=?ED=1，

∴?cos？茲=?=?=?.

20.【解析】（Ⅰ）設打中陀螺的上、中、下三個部位的事件分別為A，B，C，沒打中陀螺的事件D;三次抽打中兩次打中陀螺的中部、一次沒打中陀螺的事件為E.?……1分

由題意可知：

P（A）=0.2，P（B）=0.5，P（C）=0.2，P（D）=0.1，E=（BBD）∪（BDB）∪（DBB）.?……3分

由于每次抽打相互獨立，故P（E）=?P?2（B）P（D）=?0.520.1=0.075.?……5分

（Ⅱ）由題意可知X的取值為0，1，2，3.?……6分

且P（X=0）=[1-P（B）]3=（1-0.5）3=0.125，

P（X=1）=?P（B）[1-P（B）]2=3×0.53=0.375，

P（X=2）=?P?2（B）[1-P（B）]=3×0.53=0.375，

P（X=3）=P?3（B）=0.53=0.125.?……9分

故X的分布列為：

……10分

其數學期望E（X）=0.125×0+0.375×1+0.375×2+0.125×3=1.5.?……12分

（由題意可知X～B（3，?0.5），E（X）=3×0.5=1.5）

21.【解析】（Ⅰ）由已知得：a=2，c=1，所以b=?=?.?……2分

故橢圓C的方程為?+?=1.?……3分

（Ⅱ）設G（4，?t），?E（x0，?y0）.?則3?+4?-12=0，……4分

=（x0，y0）-（-2，0）=（x0+2，?y0），??=（4，t）.?……5分

由AE∥OG得：4y0=t（x0+2），即t=?.?……7分

又??=（x0-2，?y0），?=（3，t），

且?·?=（x0-2，y0）·（3，t）=3（x0-2）+ty0=3（x0-2）+?=?=0.?……10分

故?⊥?，即BE⊥FG，即FH⊥BH，說明交點H在以FB為直徑的圓上，其軌跡是以FB的中點（?，?0）為圓心，以?|FB|=?的長為半徑的一個定圓.?……12分

22.?【解析】（Ⅰ）f?′（x）=cosx（esinx-1），……1分

∵?0

令f?′（x）=0，則cosx=0，故x=??……2分

x∈（0，?π），f（x）、f?′（x）變化如下：

故f（x）最大值=f（?）=e-2，……4分

又f（?+x）-f（?-x）=?-sin（?+x）-1-

-sin（?-x）-1=（ecosx-cosx-1）-（ecosx-cosx-1）=0.

故f（?+x）=f（?-x），即f（x）圖像的對稱軸方程為x=?.?……6分

（Ⅱ）要證g（x）

【方法一】令h（x）=1+?x-esinx，x∈（0，?].?h′（x）=?-cosx·esinx≤?-cos?·esinx=?（1-esinx）

故h（x）=1+?x-esinx在?（0，?]?上單調遞減，h（x）

故在?（0，?]?上，g（x）

【方法二】只需證esinx>1+?x在（0，?]?上成立，……7分

因為et≥1+t恒成立，即esinx≥1+sinx恒成立，……9分

故需證1+sinx>1+?x上成立，即證2sinx-x>0在（0，?]上成立.?……10分

令h（x）=2sinx-x，x∈（0，?]，h′（x）=2cosx-1≥0，…11分

故h（x）在（0，??]?上單調遞增，所以h（x）>h（0）=0，

即在?（0，??]?上，g（x）

責任編輯 徐國堅