大跨度充氣膜結(jié)構(gòu)形態(tài)分析方法研究

成新興，張 超，牛國平，陳建穩(wěn)，武寶會

(1．西安西熱鍋爐環(huán)保工程有限公司，陜西 西安 710054；2．南京理工大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210094；3．西安熱工研究院有限公司，陜西 西安 710054)

充氣膜結(jié)構(gòu)因具有造型新穎多變、氣密性好、移動方便、節(jié)能環(huán)保等特點(diǎn)，在展覽館、體育場、實(shí)驗(yàn)室、沼氣池、航天飛行器、方艙醫(yī)院、工業(yè)儲料場等各類場景均得到應(yīng)用[1-4]，為滿足無組織排放治理的環(huán)保要求，眾多充氣膜封閉料場相繼建成，領(lǐng)域遍布電力、煤炭、鋼鐵、水泥、港口等．因場地及設(shè)備條件限制，此類充氣膜結(jié)構(gòu)具有外形不規(guī)則、大空間和大跨度的特點(diǎn)．

形態(tài)分析是充氣膜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析的重要步驟，分為找形和找態(tài)兩部分內(nèi)容．非線性數(shù)值計(jì)算等方法廣泛應(yīng)用于充氣膜找形分析中，近些年又發(fā)展出三維攝影測量等試驗(yàn)方法[5-7]．早期文獻(xiàn)中找形分析多以等應(yīng)力曲面為研究對象，采用小彈性模量法，找態(tài)分析則通過解析法直接實(shí)現(xiàn)[8-10]．

實(shí)際工程中的大跨度充氣膜結(jié)構(gòu)均為非等應(yīng)力曲面，預(yù)張力難以通過解析解精確確定，此時(shí)找態(tài)與找形同等重要，采用小彈性模量法難以得到理想解．部分文獻(xiàn)中提出了迭代法找態(tài)和逆變形法找形的基本思路，但缺乏較系統(tǒng)全面的論述[11-15]．

本文總結(jié)充氣膜形態(tài)分析理論，系統(tǒng)提出一種形態(tài)分析方法，通過形面誤差分析對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，并介紹應(yīng)用實(shí)例．

1 充氣膜形態(tài)分析理論

充氣膜結(jié)構(gòu)通過內(nèi)外壓差使得膜面向外擴(kuò)張并形成預(yù)拉力，進(jìn)而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)剛度來抵御外力，充氣膜所受的壓力、預(yù)張力和外形間存在對應(yīng)關(guān)系，可由薄膜無矩理論推導(dǎo)其解析方程．膜材微小幾何變化會使得膜面受力隨之變化，呈現(xiàn)出極強(qiáng)的幾何非線性特征．

1.1 解析方程

膜單元為柔性結(jié)構(gòu)，具有正交異性、大位移小應(yīng)變、無抗彎剛度和不能承受壓力的特性．

根據(jù)薄膜無矩理論可知：

(1)

式中：P為膜面壓力；T1、T2為膜面預(yù)張力；r1、r2為兩個(gè)主應(yīng)力方向的曲率半徑．

根據(jù)肥皂泡原理，充氣膜造型總是向表面積最小方向發(fā)展．從幾何角度上講，膜面曲率變化引起預(yù)張力變化，最終形成具有等應(yīng)力或不等應(yīng)力的初始形態(tài)曲面．

高斯曲率是衡量空間曲面的重要特征：

K=λ1×λ2

(2)

式中，λ1、λ2為主曲率．

(1)當(dāng)K>0時(shí)，為正高斯曲率曲面，如球面．

(2)當(dāng)K<0時(shí)，為負(fù)高斯曲率曲面，如雙曲面．

(3)當(dāng)K=0時(shí)，為零高斯曲率曲面，如圓柱面．

在理想邊界條件下，充氣膜結(jié)構(gòu)隨著壓力變化會形成等應(yīng)力曲面．根據(jù)公式(1)推導(dǎo)可得

對于矩形平面：

(3)

式中：T為膜面預(yù)張力；x、y、z為空間坐標(biāo)；a、b為充氣膜短板和長邊方向長度．

當(dāng)z=f時(shí)，x=y=0，

(4)

式中，f為充氣膜高度.

對于圓形平面：

(5)

式中：r為充氣膜曲率半徑，d為充氣膜底面直徑．

對于圓柱形曲面：

(6)

1.2 非線性有限元法

實(shí)際工程中的充氣膜結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布往往不是均勻的，非線性有限元法因具有計(jì)算量大、計(jì)算精度高的優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用．

充氣膜結(jié)構(gòu)的平衡方程可表示為

[K]{ΔU}={P}-{F}

(7)

式中，[K]、{ΔU}、{P}、{F}分別為總剛度矩陣、總位移矩陣、氣壓作用的總節(jié)點(diǎn)荷載力向量和等效總節(jié)點(diǎn)力向量．

采用牛頓—拉普森迭代方法對公式(7)方程組進(jìn)行求解構(gòu)成充氣膜有限元形態(tài)分析的主要內(nèi)容．

對于圖1中給出的理想解析曲面可以是等應(yīng)力曲面，形態(tài)分析常采用小彈性模量法、從平面初始狀態(tài)迭代求解，分析重點(diǎn)在于找形，曲面預(yù)張力值、壓力與曲面形狀一一對應(yīng)．

圖1 高斯曲率曲面Fig.1 Gaussian curvature surface

一般非理想解析曲面不存在等應(yīng)力曲面，對于不等應(yīng)力的平衡曲面，曲面預(yù)張力值及曲面形狀均不規(guī)則且難以直接確定，找態(tài)與找形變得同等重要．有限元平衡迭代只有在與最終形態(tài)相接近的“初始形”和“初始態(tài)”條件下求解才能逼近目標(biāo)形態(tài)．此時(shí)，采用小模量分析找到的曲面面積遠(yuǎn)大于初始假定曲面面積，由于假定的初始形態(tài)存在誤差，直接采用實(shí)際彈性模量計(jì)算又很難收斂，需要首先獲得接近初始形態(tài)的收斂解，再改為實(shí)際彈性模量并求得最終平衡形態(tài)．

2 形態(tài)分析方法

實(shí)際工程應(yīng)用的充氣膜結(jié)構(gòu)要求內(nèi)部大空間且造型豐富，多為不等應(yīng)力曲面，因此不等應(yīng)力曲面的形態(tài)分析方法更具有實(shí)踐價(jià)值．

采用的充氣膜結(jié)構(gòu)形態(tài)分析流程歸納如圖2所示.

圖2 形態(tài)分析流程圖Fig.2 Flow chart of morphological analysis

首先采用若干理想高斯面組合構(gòu)建接近目標(biāo)形的初始形，根據(jù)解析方法求得分片預(yù)張力作為初始態(tài)，然后通過非線性有限元法求解預(yù)應(yīng)力及變形，將求得的變形值逆向施加改變初始形，對逆變形后有限元模型再次迭代求解，最終求得平衡形態(tài)．

下文以邊界條件為矩形的大跨度充氣膜結(jié)構(gòu)為例對形態(tài)分析方法進(jìn)行詳細(xì)論述．

2.1 構(gòu)建初始形

長方體充氣膜的簡化構(gòu)型如圖3所示，可由三個(gè)等半徑的圓柱面組合而成．此構(gòu)型的缺陷在于柱面間的結(jié)合處形成一個(gè)鈍邊，有限元計(jì)算發(fā)現(xiàn)此處不易收斂，很難求得理想的平衡解．

圖3 簡化構(gòu)型Fig.3 Simplified configuration

故提出圖4所示柱面+平滑過渡球面的優(yōu)化初始構(gòu)型，在柱面間的結(jié)合處增加過渡球面，使得組合構(gòu)型交界處更加平滑順暢，更易實(shí)現(xiàn)大型充氣膜結(jié)構(gòu)有限元求解的收斂．

圖4 優(yōu)化構(gòu)型Fig.4 Optimized configuration

通過解析方法可推算優(yōu)化構(gòu)型中的過渡球面及柱面半徑計(jì)算公式，以柱面角部最低點(diǎn)和最高點(diǎn)為基點(diǎn)作球面與柱面相切，由其相交線分割的區(qū)域即為過渡球面．

過渡球面半徑：

(8)

式中，a為充氣膜短邊方向長度．

柱面半徑：

(9)

2.2 假定初始態(tài)

根據(jù)1.1節(jié)解析方法可推導(dǎo)出矢高和壓力條件確定的分片膜面的預(yù)張力，以此作為充氣膜結(jié)構(gòu)的初始態(tài)進(jìn)一步求解．

聯(lián)立公式(5)、(8)，球面初始預(yù)張力為

(10)

聯(lián)立公式(6)、(9)，柱面初始預(yù)張力為

(11)

2.3 有限元分析

根據(jù)解析法確定的初始形態(tài)建立數(shù)值計(jì)算模型，充氣膜模型長度300 m，跨度100 m，高度35 m．如圖5所示．為滿足計(jì)算精度要求，共劃分96 354個(gè)膜單元網(wǎng)格，膜單元厚度1 mm．經(jīng)試算，彈性模量取值量級為×108N/mm2，略小于實(shí)際值．膜面壓力取150 Pa．采用通用有限元軟件中的牛頓—拉普森迭代法進(jìn)行非線性分析，計(jì)算考慮大變形效應(yīng)．

圖5 有限元模型Fig.5 Finite element model

由于分片假定的膜面初應(yīng)力存在誤差，將首次非線性分析后的膜面應(yīng)力結(jié)果設(shè)置為膜面初應(yīng)力再次分析，經(jīng)數(shù)次應(yīng)力回代后計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定，膜面von mises應(yīng)力如圖6所示．

圖6 初始形迭代后von mises應(yīng)力Fig.6 Von mises stress after initial shape iteration

將迭代穩(wěn)定后的變形計(jì)算結(jié)果逆向施加于初始形求得逆位移形，對逆位移形再次進(jìn)行非線性分析．逆位移形的初始態(tài)仍采用分片假定的解析解，經(jīng)數(shù)次迭代計(jì)算至結(jié)果穩(wěn)定，逆變形迭代后von mises應(yīng)力如圖7所示．

圖7 逆變形迭代后von mises應(yīng)力Fig.7 Von mises stress after inverse deformation iteration

將逆位移形計(jì)算后的變形結(jié)果正向施加即求得最終平衡形．初始形、逆位移形和平衡形的有限元模型對比如圖8所示，從形狀上看，逆位移形分片過渡段呈現(xiàn)弧度減小甚至內(nèi)凹的趨勢，逆位移形的大跨度柱面呈現(xiàn)兩端略高中間略低的趨勢；平衡形的分片過渡區(qū)域平滑圓潤且無棱角，與工程實(shí)際情況高度吻合．

圖8 逆變形前后形態(tài)對比Fig.8 Morphological comparison before and after inverse deformation

2.4 平衡態(tài)結(jié)果

對平衡形再次驗(yàn)算，計(jì)算收斂迅速，平衡態(tài)的von mises應(yīng)力和變形結(jié)果如圖9、圖10所示．

圖9 平衡態(tài)von mises應(yīng)力Fig.9 Von Mises stress in equilibrium state

圖10 平衡態(tài)變形Fig.10 Deformation in equilibrium state

有限元模型最小von mises應(yīng)力為0.723 ×106N/mm2，最大von mises應(yīng)力為13.4×106N/mm2，最大變形為0.014 5 m．最大應(yīng)力、最小應(yīng)力及最大變形均位于充氣膜四角，即分片接縫處；模型中部膜面應(yīng)力及變形趨于一致．

2.5 形面誤差分析

采用最大變形δmax、平均變形μ、變形均方差σ三個(gè)特征參數(shù)來分析形面誤差．

將充氣膜結(jié)構(gòu)初始構(gòu)型與非線性有限元計(jì)算后的平衡態(tài)構(gòu)型進(jìn)行比較，對有限元模型中48 380個(gè)節(jié)點(diǎn)變形進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得出初始構(gòu)型的形面誤差，如表1所示．

表1 初始構(gòu)型形面誤差Tab.1 Surface error of initial configuration

從表1可以看出：合力方向最大變形δmax為1.686 m、平均變形μ為0.294 m、變形均方差σ為0.306 m．初始構(gòu)型中存在局部形態(tài)變位較大，整體形面變位誤差約為0.3 m．初始構(gòu)型與平衡構(gòu)型存在分米級的形面誤差，且局部區(qū)域形面誤差更大．

對平衡態(tài)構(gòu)型再次進(jìn)行非線性有限元形態(tài)分析，并對計(jì)算分析前后的形面數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得出平衡構(gòu)型的形面誤差，如表2所示．

表2 平衡構(gòu)型形面誤差Tab.2 Surface error of equilibrium configuration

從表2可以看出：合力方向最大變形δmax為0.014 5 m、平均變形μ為0.002 11 m、變形均方差σ為0.001 68 m．平衡構(gòu)型中整體形態(tài)變位誤差約為0.002 m．初始構(gòu)型與平衡構(gòu)型的形面誤差已控制在毫米級，此誤差在百米級跨度的充氣膜結(jié)構(gòu)中可忽略，說明本文所采用的形態(tài)分析方法的計(jì)算精度可滿足工程實(shí)際需要，其形態(tài)分析結(jié)果可應(yīng)用在找形分析、荷載分析和裁切分析各階段中．

3 大跨度充氣膜結(jié)構(gòu)應(yīng)用實(shí)例

某儲料場長寬尺寸為253 m×70.4 m，場內(nèi)設(shè)置門式堆取料設(shè)施，采用充氣膜結(jié)構(gòu)對儲料場進(jìn)行封閉．膜材參數(shù)如下.

厚度：1.08±0.07 mm

拉伸強(qiáng)度：(經(jīng)向/緯向)≥7 500/7 000 N/5 cm

涂層材料：PVDF

透光率：膜材透光率達(dá)到5%以上．

適用溫度：低溫≥-30 ℃，高溫≤70 ℃

該實(shí)例方案剖面圖如圖11所示．

圖11 方案剖面圖(單位：mm)Fig.11 Scheme section(Unit:mm)

經(jīng)形態(tài)分析后，膜面裁切成品如圖12所示．

圖12 膜面裁切成品(單位：mm)Fig.12 Membrane cutting product(Unit:mm)

應(yīng)用實(shí)例現(xiàn)場照片如圖13所示．

圖13 現(xiàn)場照片F(xiàn)ig.13 Scene photo

4 結(jié)論

本文闡述一種針對大跨度充氣膜結(jié)構(gòu)的形態(tài)分析方法，采用解析計(jì)算與數(shù)值模擬相結(jié)合的方式，求解充氣膜平衡形態(tài)，結(jié)論如下：

(1)經(jīng)分析驗(yàn)證，平衡態(tài)構(gòu)型下形面誤差均方差值為0.001 68 m，計(jì)算精度滿足要求．

(2)本文方法經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證，可滿足工程實(shí)際需要．

(3)本文中形態(tài)分析未考慮索的作用，標(biāo)準(zhǔn)化程度高且應(yīng)用范圍廣的充氣膜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法尚需進(jìn)一步深入研究．