基于向量式結構力學的張拉整體結構可展性能研究

馮曉東，戴冠鷗，楊偉家，撒劍波

(1.紹興文理學院 土木工程學院，浙江 紹興 312000；2.浙江大學 建筑工程學院，浙江 杭州 310000)

張拉整體結構(Tensegrity)是一種由一系列連續的受拉構件和一系列離散的受壓構件組成的穩定的自平衡結構體系[1-2]．但在張拉整體概念提出之初，由于未出現有效的分析設計理論與方法，該結構在工程領域的應用較少，而在建筑和藝術領域的應用較多．直到20世紀80年代初，工程界學者們才被這種具有獨特魅力的結構體系所吸引，并在航空航天[3]、智能機器人[4]和土木工程[5]等不同學科領域取得了多樣化的發展與應用．隨著張拉整體結構理論的推廣，可展結構領域中也出現了張拉整體結構的身影．蔡建國[6]提出因為張拉整體結構體系擁有大變形、小應變的特點，所以該結構體系在張拉成型的過程中將產生索桿機構運動，并通過預應力獲得剛度，非常適合應用于可展結構．Sultan[7]構造了與無窮小機構運動方向相切的路徑，并利用魯棒非線性反饋控制對這些路徑進行了精確跟蹤，證實了利用無窮小機構原理和非線性運動方程可運用于確定張拉整體結構的展開方式，揭示了通過阻尼、無窮小機構、運動速度和部署時間所耗散的能量和功率之間的聯系．彭海軍[8]和張亮[9]在張拉整體結構的節點處設置一個輪滑，并推導了壓桿和滑輪索的相關公式，建立了研究張拉整體動態特性的綜合動力學模型，為研究張拉整體結構的可展性能提供了一種可行的動力學計算方式．

相比于其它傳統的可展結構，張拉整體結構這種具有獨特魅力的新體系依然年輕，其可展性能依然是近幾年來學者們研究的熱點．隨著學者們的深入研究，針對張拉整體結構可展性能的計算理論日趨成熟與完善，其變形時的驅動原理和展開路徑是研究的重要內容之一．肖特[10]構建了一個新穎的圓柱形張拉整體結構，并利用外力對模型進行軸向拉伸和壓縮，根據變形過程中索長度的變化趨勢從而找到驅動索以實現結構的折疊和展開，論證了該結構在環形天線與空間伸展臂領域的適用性．李冰巖[11]構建了可展開環形張拉整體天線，通過拉索之間長度的協調對結構進行展開和折疊，并對結構進行展開功能試驗，驗證了可展開環形張拉整體天線展開方案的可行性，通過剛度試驗得到了樣機在自由模態下的固有頻率．羅阿妮[12]在三桿張拉整體結構的基礎上提出一種星形張拉整體可展結構，并在結構內部設置一個伸縮桿，通過伸縮桿的驅動實現結構的變形，對其工作過程和結構的折展可行性進行仿真研究和理論認證．劉賀平[13]運用實體模型試驗和數值模擬的方法對四桿張拉整體機器人的運動過程進行研究，提出在中部索長度不變的情況下，改變頂部索和底部索的長度就能驅動機器人的變形和移動．

上述工作在研究結構展開的過程中，都采用了索協調變形的方式驅動結構的展開．即結構在進行展開運動的過程中，結構的每一根索都始終參與了計算．受此啟發，本文以quadruplex張拉整體結構單胞為基本單元，提出一種新的展開方式：在固定底部節點的情況下，改變頂部索的長度并施加預應力，驅動結構變形．在結構變形的過程中，中部索將從松弛狀態轉化為拉緊狀態，即中部索除拉緊狀態以外，其他狀態下將不參與結構展開過程中的計算．最后結合商業軟件MATLAB和ANSYS研究張拉整體結構基本單元的展開方法，分析結構中構件的運動路徑和力學性能，促進張拉整體結構體系在實際工程中進行應用．

1 理論公式

1.1 基本假定

基于向量式結構力學的基本理論和張拉整體結構的特點，在建立計算模型時采用以下假定：

①結構構件間的采用鉸接的連接方式；

②結構中的構件均為二力桿件，但拉索單元只能承受軸向拉力；

③結構的外力、內力和質量均集中在節點上；

④不考慮自重效應．

1.2 向量式結構力學的基本理論

1.2.1 空間點的運動理論

根據向量式結構力學理論，每一個結構將被離散為一系列的空間點，并用這一系列有限數目點的位置來描述復雜的結構形式和幾何狀態，將結構運動變形問題轉變為空間點的運動問題[14]．此時，結構桿件受到的荷載、內力、約束、質量和運動的條件等都集中在同一個點上，并用力和點的位移來描述，而點的運動則用牛頓第二定律計算．由于張拉整體結構中空間點的自由度只有XYZ三個方向的平移自由度，所以空間點的運動所滿足的控制方程如式(1)所示[14].

(1)

(2)

式中：mQ為空間點的自身質量；λ是與空間點Q連接的構件的個數；mμ是每個連接在空間點Q的單元的質量，分配到空間點時通常為兩個空間點之間單元質量的一半．[fdxfdyfdzT]是作用于空間點Q的阻尼力向量，該阻尼力在本例中是一個虛擬的阻尼力，目的是為了在該結構展開的過程中避免由荷載產生的振動效應的影響，Q點的阻尼力向量滿足式(3)[14].

(3)

式中，ξ是虛擬的阻尼比．

1.2.2 運動方程的求解

(4)

式中：Sn+1、Sn和Sn-1分別時空間點Q在n+1、n和n-1時刻的位置向量；t為計算時間．

將公式(4)和(3)代入式(1)，得位移得迭代式(5).

(5)

S0=Q0

(6)

(7)

(8)

將式(6)代入(8)，并聯立式(7)和(8)，解得S1和S-1：

(9)

(10)

所以，將式(9)和(3)代入方程式(5)得：

當n>0時：

(11)

(12)

當n>1時，方程式為式(5)．

1.2.3 空間點的外力和內力

基于向量式結構力學的基本理論[14]，當任意方向的力Fr作用于空間點Q時沿著坐標軸方向的等效力分量為

Fx=Fr·ex

(13)

Fy=Fr·ey

(14)

Fz=Fr·ez

(15)

式中，ex、ey和ez為空間點Q域坐標(x,y,z)下的基底向量．

假設桿系構件G的內力由構件長度的變化產生，即只有拉力和壓力．假設空間點Q與空間點W之間由桿系構件G連接，則桿系構件G的內力集中在空間點Q為[14]:

fx=fr·ix

(16)

fy=fr·iy

(17)

fz=fr·iz

(18)

式中:ix，iy和iz為桿系構件G的方向向量．假設空間點Q與空間點W的位置向量分別為[QxQyQz]T和[WxWyWz]T，則方向向量公式為[14]：

(19)

(20)

(21)

上式中，L為桿系構件G的長度，由公式(22)表示.

(22)

假設空間點Q與空間點W的初始位置向量為[Qx0Qy0Qz0]T和[Wx0Wy0Wz0]T，則桿系構件G的原長L0為：

(23)

由材料力學的理論[15]可知，桿系構件G的拉力或壓力為

(24)

式中，E為彈性模量，A為構件截面面積．當fr為正，則為拉力；若fr為負，則為壓力．

1.2.4 中央差分步長的估算

精確的增量時間步長是中央差分計算得以穩定收斂的前提．換而言之，當計算時間步長t小于臨界步長t0時，持續計算所得的累積誤差才可以維持在容許的范圍內，即收斂為一個較為精確的結果．當計算時間步長t小于臨界步長t0時，計算結果將不收斂．

然而，構件的運動行為和參數值對臨界步長的確定有直接的影響．不同的結構對應不同的臨界步長，同一種結構不同的變量方程所要求的臨界步長也不同．因此文獻[14]中以一個剛性桿件結構為例，推導出了臨界步長的估算公式，并應用到該文獻柔性結構的算例中．所以，本文的算例參考公式(25)估算臨界步長為

(25)

式中：LP為連接空間點Q的所有構件的平均長度，φ為構件的質量密度．

1.2.5 被動索限值的確定

對于本文的驅動方式，在張拉整體結構運動的過程中，被動索往往會受壓并退出計算，其限值FB由公式(26)求出．

FB=fr

(26)

(27)

式(26)和(27)中，FB為被動索受到的壓力；fr由式(26)計算可得；FPD是被動索是否參與下一時刻計算的判定條件；FZ是主動索連接的兩個空間點所受到的力；qZ和qB分別是主動索和被動索力密度的比值；LZ和LB分別是幾何穩定下，張拉整體結構中主動索和被動索的長度．在確定結構折疊形態的過程中，當FB

令

FB=FPD

(28)

聯立方程(26)、(27)和(24)可得當被動索受到的壓力FB等于FPD時，被動索的長度LPD由下式表示：

(29)

式中：E為楊氏模量；A為截面面積；FB由第一個程序輸出．在結構進行展開運動的過程中，當被動所連接的兩個空間點上的距離LBDLPD時，被動索進入下一個時刻的計算．

1.3 張拉整體結構的幾何穩定性

假設一個空間網格體系有w根桿件和v個自由度，其自應力模態數為ZS和獨立機構位移模態數Dm可分別由以下公式確定[16]：

ZS=w-rA

(30)

Dm=dKv-rA

(31)

式中：rA是平衡矩陣的秩，dK是結構的空間維數．當ZS=0和Dm>0時，結構將轉化為可發生有限位移的機構；當ZS>0和Dm>0時，結構將變成同時擁有機構位移和自應力模態的張拉整體結構．在分析張拉整體結構時，首先需要考察其自應力模態能否剛化其無窮小機構位移模態，同時最終的自應力模態必須滿足壓桿受壓、拉索受拉的條件，因為拉索只具有單向的受拉剛度，無法承受壓力[17]．

切線剛度矩陣KT的正定性可判斷張拉整體結構的穩定性，其表達式(32)所示[18]：

(32)

式中：KE是結構的切線剛度；KG是與自應力模態有關的幾何剛度矩陣；E為彈性模量；A為構件截面面積；LT為桿件的原長；I∈R3×3為單位矩陣；?為張量積．平衡矩陣B和矩陣β由式(33)和(34)表示[19]：

(33)

β=CTHC

(34)

其中：H=diag(q)

式中，H是力密度矩陣；矩陣q由式(35)和(36)表示：

q={q1,q2,q3,…,qw}T

(35)

(36)

式中：LTδ為單元長度；Fδ為單元的力．假設φ和ψ(φ<ψ)為連接構件兩端的節點，則關聯矩陣C第γ行的元素公式(37)表示

(37)

在忽略剛體位移的情況下，若切線剛度矩陣是正定的，即滿足式(38)時該張拉整體結構體系是穩定的：

eig(KT)=λ1≤λ2≤…≤λσ

(38)

式中，σ為最后一項．

2 算例分析

2.1 結構折疊形態的確定

如圖1所示，Quadruplex張拉整體結構單胞由4根壓桿和12根拉索組成，沿著坐標軸X軸和Y軸方向的跨度均為10 m，高5 m．圖中黑色的粗線為壓桿，紫色的細線為拉索，其中拉索bd、dg、gv和vb為頂部索，拉索da、gc、ve和bu為中部索，拉索ac、ce、eu和ua為底部索．表1是該單胞的節點坐標位置．表2是 Quadruplex 單胞結構的幾何、材料和力學參數．

表2 Quadruplex張拉整體結構單胞的結構參數Tab.2 Structure parameter of quadruplex tensegrity cell

圖1 Quadruplex張拉整體結構單胞Fig.1 Quadruplex tensegrity cell

表1 Quadruplex張拉整體結構單胞的空間點坐標Tab.1 The node coordinates of a single cell in a quadruplex tensegrity structure

在折疊過程中假設空間點a、c、e和u的位置不變，四根頂部索為主動索，四根中部索為被動索．為確定空間點在展開運動以前的初始位置，假設構件的預應力為零的情況下，對空間點d、g、v和b施加100 kN的節點外力，方向沿頂部拉索的軸線方向向外，并且當中部索的壓力大于由公式(29)所求出的值時將不參與下一個時間步的計算，并且在計算的全過程中忽略頂部索長度的變化對結構的影響(如圖2所示)．

續表2

圖2 確定空間點初始位置時的計算模型Fig.2 The computational model for determining the initial position of the points

由圖2可知，Quadruplex張拉整體結構單胞是一個中心對稱的結構并受到了中心對稱的力和約束條件，所以在結構展開過程中構件的運動軌跡也是中心對稱．因此本文以桿件ab為例進行分析．由第1節的計算理論可知，空間點b在展開過程中的時間步數—位移大小關系(圖3)和結構折疊狀態下空間點的坐標(表3)．

表3 折疊狀態下空間點的坐標Tab.3 The initial coordinate of the points

圖3 折疊時空間點b的時間步數——位移大小關系圖Fig.3 Time steps-Displacement graph of point b in folding process

2.2 展開過程的運動分析

確定了空間點的在結構折疊狀態下的坐標位置，即確定了結構在結構折疊狀態下的形態(圖4)．在展開過程中，通過收縮頂部索的長度對結構進行驅動，并在中部索的長度大于其原長時開始考慮中部索的拉力對空間點的影響．在matlab中只需將100 kN的力施加到節點處，并與被動索的方向向量相乘的方式實現．

圖4 結構在折疊狀態下的形態Fig.4 The shape of the structure in the folded state

由圖4可知，該結構的形態、驅動方式和約束方式沿著結構的中心對稱．所以，在結構展開過程中構件的運動軌跡也是中心對稱．由第一節中的計算理論可知空間點b在的折疊過程中的時間步數與位移大小的關系并與其展開時的數據作對比(如圖5所示)，并求出結構的展開過程(如圖6所示)以及展開過程中構件預應力的變化過程(如圖7所示)．

圖7 結構的展開時構件預應力的變化過程Fig.7 The change process of prestress of the components during the expansion of the structure

由圖5可知，在確定該結構初始形態時，空間點b的位移與該點在結構展開過程中產生的位移相等、路徑相似．所以通過2.1小節的方法計算空間點的初始位置和結構的初始形態是可行的．

圖5 展開時空間點b的時間步數——位移大小關系圖Fig.5 Time steps-Displacement graph of point b in deploying process

圖6(a)～(d)展示了該結構展開的過程，這個過程證實Quadruplex張拉整體結構可以轉化為可展結構，通過收縮頂部索的長度實現結構展開．這個過程的逆過程就是確定空間點初始位置和結構初始形態的過程．

圖6 結構的展開過程Fig.6 Deploying process of structures

表4 Quadruplex張拉整體結構單胞的空間點坐標Tab.4 The node coordinates of a single cell in a quadruplex tensegrity structure

在結構展開的過程中，當中部索的長度小于或等于式(29)所求出的長度時，結構的ZS=0和D=12>0，此時結構變為可發生有限位移的機構；當結構運動到最終形態時，結構的ZS=1>0和D=9>0．在忽略剛體位移的情況下，切線剛度矩陣KT的特征值如圖8所示．

由圖8可知，切線剛度矩陣KT的特征值大于等于零且滿足式(38)．所以當結構運動到最終形態時，該張拉整體結構是穩定的．

圖8 切線剛度矩陣的特征值Fig.8 Eigenvalues of the tangent stiffness matrix

2.3 ANSYS軟件的校核

采用通用有限元軟件ANSYS對結構的展開過程進行動力學幾何非線性分析．前處理中采用Link180單元模擬結構的壓桿和拉索，并利用溫度荷載改變頂部索的長度從而驅動結構展開．根據zhang[20]的建議引用虛擬單元的概念釋放固定節點,將有支撐預應力張拉整體結構轉化為無外界支撐的自平衡結構．計算結果如圖9所示并與MATLAB的計算結果作對比(表5)．

圖9 空間點b的位移大小Fig.9 Displacement of point b

由圖9和表5可知，該結構經過ANSYS有限元軟件的計算后，空間點b的位移大小和各個構件的預應力與MATLAB中的計算結果一致．所以通過對主動索施加預應力的方式，可以驅動各個構件產生運動并獲得預應力，使結構剛化成型．

表5 構件的預應力(kN)Tab.5 Prestress of member /kN

3 結論

本文采用固定底部節點和縮短頂部索長度的方式驅動Quadruplex張拉整體結構進行展開運動，并得出以下結論：

(1)由圖5可知，該結構在折疊與展開過程中，空間點b的位移大小相似．所以確定結構折疊形態的過程就是結構展開的逆過程．

(2)將底部節點設置為鉸支座的情況下，通過調節頂部索長度的方式可驅動結構進行展開運動．在運動的過程中，由于結構的ZS=0和D=12>0，所以結構將不存在用于剛化機構位移模態的自應力模態，因此這個運動屬于機構運動．但當結構展開至最終形態時，結構的ZS=1>0和D=9>0，即結構同時存在自應力模態和機構位移模態，并且其切線剛度矩陣是正定的，所以該結構的展開過程是一個可發生有限位移的機構轉化為張拉整體結構的過程．

(3)由圖7和表5可知所示，在運動結束時，結構的各個構件均獲得了預應力，并經過ANSYS軟件的計算中到了驗證．并由結構的自應力模態數、機構位移模態數和切線剛度矩陣的正定性可知，各個構件所獲得的預應力可使結構剛化．說明在驅動過程中頂部索發揮了主動索的作用，為結構中的其他構件施加了預應力．