基于模糊相似優先的古城墻磚修復范例推理方法

錢 威，王子毅，王 威

(北京工業大學 城市建設學部，北京 100124)

中國作為一個歷史悠久的國家，在5000多年的城池構建中留下了眾多文物古跡.古城墻作為古代人民汗水和智慧的結晶，有著很高的歷史價值、藝術價值和科學價值[1].由于大多數的古城墻是裸露在外的，長時間的風、雨和溫差等自然環境的侵蝕致使古城墻墻面易出現泛堿、微生物衍生、磚塊缺失、裂縫、表層剝落等病害[2-3].這些古城墻因年久失修或人類活動造成的破壞，亟待修繕[4].

近年來，對古城墻的保護工作也取得了很大的進展.吳超英等學者歸納總結了古城墻11種典型的破壞模式，并提出了具體的防護措施[5].Chen對若干古城墻的破壞模式進行了識別和分類，并針對不同的破壞模式提出了具體的保護建議[6].馬勇以大同古城墻為例，針對其結構破壞情況提出了對應的結構修復方案及補強措施[7].朱才輝等學者通過大量調研，將城墻病害分為微弱、輕度、中度和重度四個等級；并基于數值方法、模糊數學理論和層次分析法提出了古城墻病害等級評價模型[8].白禹等學者參照石質文物病害分類標準，提出了古磚病害的具體分類體系[9].Fan提出了古磚表面風化時的四種典型形態，基于熱力學數據研究古磚的風化機理[10].Mesquita利用超聲波間接測量古老磚石結構建筑墻體的無損特征，為古墻維護和改造提供有用的信息[11].Lopez-Arce確定了西班牙托萊多地區一些歷史建筑的磚塊的風化類型，幫助選擇適當的方法來清潔或修復建筑遺產中古磚建筑[12].另有學者采用探底雷達[13-14]、面波技術[15]、三維激光掃描技術[16-17]等無損檢測技術對古城墻殘損進行檢測.

而在對古城墻的修繕過程中，我們應遵循著“修舊如舊”的原則[18]，才能最大限度地保持和還原古城墻的原真性.同時，在古城城墻磚材料選擇時應遵循“原產地、原材料、原工藝”的原則，避免以假亂真.然而，那些明確產地的古城墻磚早已難覓蹤跡[19].然而，不同產地的墻磚材料可能采用不同的原料或配方，其化學組成亦會因其形成機理的不同而改變[20].鑒于此，本文選取北方地區某古城墻約200m的城墻段作為研究對象，對其進行了全面實地的調查.為更準確地完成對城墻墻體的病害勘察，使用三維激光掃描儀對該古城墻段進行掃描，以此來獲取該城墻段的點云數據以及較為完整精確的幾何信息；并隨機選取該城墻段2塊古磚和已知產地的16塊古磚樣品進行化學成分檢測.最后，基于檢測數據，提出基于模糊相似優先[21-23]的古城墻磚修復范例推理方法，以此來判斷與該城墻古磚化學成分最為相近的磚，這可以為古城墻修繕提供科學的依據.

1 北方某古城墻殘損調查

1.1 病害勘察

調研發現由于歷史的原因和城鎮建設的發展，該城墻段現存的城墻段部分損壞，墻體面層磚酥堿、風化、離鼓較為嚴重，離鼓區域存在相對鼓脹情況，最大鼓脹量可達20 cm；側墻上存在多條垂直裂縫，側墻上多處砌體因灰漿流失而松散、缺失；城墻側面有草木或藤本植物等生物病害；墻體表面有人工干預痕跡，疑似抹灰層(圖1).

圖1 城墻病害分布圖Fig.1 Disease distribution map of the city wall

1.2 三維激光掃描

與傳統測繪方法相比，三維激光掃描技術在不破壞古城墻現狀的前提下，不僅可以獲得城墻高度密集的點云數據，也能充分顯示古城墻細節特征，例如對城墻細微的沉降、開裂、酥堿、風化及鼓脹變形等城墻常見病害分析[24].因此，本文嘗試運用三維激光掃描技術獲得該古城墻200 m段范圍內的基礎點云數據，并找到城墻的病害部位，利用Geomagic Qualif軟件量取城墻的破損面積，最后計算古城墻修繕所需的用磚量.經檢測發現改古城墻有些地方破損嚴重，需要對其進行修復.例如，以該墻段L1位置為例，其點云圖如圖2(b)所示，在L1路線上2.8 m處，出現明顯空鼓情況，外鼓距離約為16.5 cm.通過Geomagic Qualif軟件計算該區域空鼓面積大約為4.12 m2，而每一塊磚0.043 m2，故此處需要96塊磚.

(a)城墻墻體

2 材料成分

2.1 樣品來源

隨機選擇16處明確產地的城墻磚和該城墻上2塊磚(未知產地)作為檢測對象，對其進行化學組成成分檢測，樣本相關參數詳見表1.

表1 樣品參數Tab.1 The sample parameters

2.2 樣品成份組成分析

由于改古城墻磚樣品無法直接滿足相關分析測試的條件要求.因此，在分析之前，對樣品進行預處理(圖3).首先，清除磚樣品表面的浮塵和黏結灰漿；其次，將城磚切割中掉下的殘渣部分經錘擊粗碎后，使用瑪瑙研缽將其研磨成均勻粉末狀，進行硼砂壓片制樣，以用于成分結構與紅外分析[25-27].采用Shimadzu XRF-1800熒光光譜儀對磚樣品中的主要元素進行定量分析，數據采用氧化物的形式，數據見表2.

圖3 樣品制備Fig.3 Sample preparation

從表2中得知，由于磚的化學組成成分眾多，主要含有14種氧化物成分，即SiO2、Al2O3、CaO、Fe2O3、MgO、K2O、Na2O、TiO2、P2O5、MnO、SO3、ZrO2、SrO和Rb2O.由于這些成分之間存在高度的非線性，單純依靠理論計算或針對某一成分進行磚產地判斷的方法值得商榷.鑒于此，本文提出基于模糊相似優先比的古城墻磚范例推理方法，對影響磚產地判別的每個化學成分分別在目標范例與源范例間建立模糊相似優先關系，得到不同化學成分下目標范例與源范例間的相似性序列，找出與目標范例最相似的源范例，最終實現城墻磚產地的預測.

表2 古城墻磚氧化物種類及含量Tab.2 Type and content of oxide of ancient city wall brick

3 基于模糊相似優先的古城墻磚范例推理方法

3.1 古城墻磚的模糊相似優先關系[28-29]

3.1.1 古城墻磚范例的表示

設B=B1×B2×…×Bj×…×Bn為一離散n維因素空間，Bj(j=1,2,…,n)為一實數有窮集合，則古城墻磚范例可定義為C=(b1,b2,…bj,…,bn)，bj∈Bj(j=1,2,…,n)，bj為古城墻磚的第j個化學組成成分.

而古城墻磚源范例庫表示為BC={C1,C2,…,Ck,…,CK}，Ck∈BC(k=1,2,…,K)，Ck為古城墻磚的第個源范例.城墻磚目標范例表示為C0=(b01,b02,…,b0j,…,b0n)，b0j(j=1,2,…,n)為古城墻磚目標范例的第j個化學成分.

3.1.2 化學組成成分之間的相似性度量

設Cp和Cq分別為源范例庫BC中的第p個和第q個源范例，且Cp≠Cq(p,q=1,2,…,K)，bpj和bqj分別為源范例Cp和Cq的第j個化學成分，C0為城墻磚的目標范例，則

Cp=(bp1,bp2,…,bpj,…,bpn)
Cq=(bq1,bq2,…,bqj,…,bqn)
C0=(b01,b02,…,b0j,…,b0n)

(1)

化學成分之間的相似性度量采用化學成分之間的語義距離來表示[28].則源范例Cp第j個化學成分與目標范例C0第j個化學成分間語義距離為

D(Cpj,C0j)=|bpj-b0j|

(2)

源范例Cq第j個化學成分與目標范例C0第j個化學成分間語義距離為

D(Cqj,C0j)=|bqj-b0j|

(3)

當采用兩范例間的語義距離表示其相似程度時，當語義距離愈小，兩個化學成分就愈相似[28].

3.1.3 模糊相似優先關系D(j)的構造

設城墻磚源范例Cp和Cq的第j個化學成分分別是Cpj和Cqj，它們與C0的第j個化學成分C0j間語義距離分別是D(Cpj,C0j)和D(Cqj,C0j)，則Cp的第j個化學成分Cpj比Cq的第j個化學成分Cqj與C0j的模糊相似優先比定義為

(4)

(5)

該矩陣稱為第j個化學成分的古城墻磚的模糊相似優先關系.依次取j=1,2,…,n，求出對應于n個化學成分的模糊相似優先關系有n個.

3.2 基于模糊相似優先的古城墻磚范例檢索模型

對于D(j)取各λ截集，可得K個城墻磚源范例第j個成分與目標范例C0的相似程度序列.讓λ由大到小，分別檢查D(j)，若第p行首先出現除對角線元素為0外，其它元素皆為1，則認為Cp與C0最相似，劃去Cp所在的行和列；同樣可得與C0相似程度排第二的城墻磚源范例，依次遞推，得到城墻磚源范例庫中K個源范例與C0相似程度序列[29].

假定：與C0最為相似的排在序列最前，順序號為1；與C0最不相似的排在最后，順序號為K.則K個古城墻磚源范例的順序號可組成如下序號集：

Tj=(t1j,t2j,…,tkj,…,tKj)

(6)

對應于n個化學成分就形成n個序列號集：

(7)

第k個城墻磚源范例與C0相似程度序列中的順序號為：

(8)

式中,wj為n個化學成分的權重(j=1,2,…,n)；取k=1,2,…,K，利用式(8)得K個范例順序號大小；tk愈小，Ck與C0愈相似，在相似程度序列中愈排前.

3.3 影響因素權重的確定

權重用來衡量各影響因素的相對重要性.考慮到權重對環境的敏感，在不同的決策環境下相同的因素對決策輸出會有不同的影響[30].本文根據熵值的概念，提出城墻磚化學成分權重的計算方法.

假定被評價對象有m個，即評價比較m個城墻磚；每個被評價古城墻磚的化學成分指標有n個，則每個古城墻磚的各化學成分值構成判斷矩陣R.

R=(rij)m×n(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

(9)

對判斷矩陣R進行歸一化，得到矩陣B.

B=(bij)m×n(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

(10)

B的元素為

(11)

式中，rmax和rmin分別為同一化學成分下不同產地的指標值中最大者和最小者.

按照熵的概念，定義指標的熵為

(12)

則第j個化學成分指標的熵權wj，定義為

(13)

通過上述計算方法，可得古城墻磚目標范例的化學成分的權重分配，由于古城墻磚不同化學組成成分的取值不同，對應權重分配是不一樣的，從而使結果與當前的評價體現了變權的思想.

表3 古城墻磚目標范例的權重Tab.3 Weight of ancient city wall brick target example

4 實例分析

本文選擇已有明確結論的16個產地的古城墻磚實例作為源范例庫，選取該城墻段2塊墻磚作為目標范例，采用上述方法，計算古城墻磚源范例與目標范例的相似程度序列，從而在古城墻磚源范例庫中找出與目標范例最相似的古城墻磚源范例.通過編制Matlab程序，對表2中的兩個目標范例C17和C18分別進行了計算，計算結果分別見表4和表5.

表4 目標范例C01與各個源范例的相似程度序列Tab.4 Sequence of similarity between target example C17 and each source example

表5 目標范例C02與各個源范例的相似程度序列Tab.5 Sequence of similarity between target example C18 and each source example

對于未知產地的古城墻磚目標范例C01而言，表4給出了目標范例C01中的每個化學成分與各個源范例中對應的化學成分之間的相似程度排序.例如，目標范例C01的第1個化學成分b1與每個源范例的第1個化學成分b1相似程度排序分別為2、6、7、9、11、13、4、5、12、3、15、14、16、10、8、1.依次類推，就可以構建目標范例C01與每個源范例之間的相似程度序列.例如目標范例C01與源范例C1之間的相似程度序列T1為(2,11,11,6,5,6,12,5,4,6,11,11,11,7).根據公式(8)，可以求出目標范例C01與每個源范例之間的相似程度的序列號tk.t1的求解過程如下所示：

t1=2×0.049 5+11×0.070 8+11×0.081 1+6×0.067 4+5×0.073 0+6×0.070 6+12×0.052 9+5×0.103 6+4×0.064 1+6×0.074 2+11×0.015 0+11×0.088 1+11×0.103 7+7×0.085 9=7.694

由此上述知，tk愈小，Ck與C0愈相似，在相似程度序列中愈排前.則由表4可以看出t16為4.923，其值最小，可判斷目標范例C01與源范例C16最相似.同理，由表5可以看出t8為4.154，其值最小，因此可以判斷目標范例C02與源范例C8最相似.而根據表1可知，古城墻磚源范例C8和C16的產地都來源于河北定興，進而可以判斷該城墻段所使用的墻磚最有可能來源于河北定興.

5 結論

(1)針對古城墻病害問題，三維激光掃描技術能夠快速地獲取古城墻的點云圖，通過對比獲取古城墻磚的破損面積，可以準確地計算出城墻修繕的需磚量，這對古城墻病害調查具有很強的實用性.

(2)本文根據模糊相似優先的概念構造了一個基于模糊相似優先的古城墻磚范例檢索模型.通過古城墻磚化學組成成分之間的兩兩比較，獲得相應成分下古城墻磚的目標范例與源范例之間的相似性序列，最終找出與目標范例最相似的邊古城墻磚的源范例.本方法推理原理直觀、使用方便.在以往的古城墻磚范例和當前需修復替換的古城墻磚之間建立了合理的推理關系，可以為今后的古城墻的修繕與城磚替換提供科學的依據.