強散射過程與雙隨機相位加密過程的等價性分析*

陳潔 周昕 白星 李聰 徐昭 倪洋

(四川大學電子信息學院, 成都 610065)

薄層強散射介質的散射系統只會引起入射光波的振幅和相位分布變化, 但不會導致總能量的衰減.這一過程可以看成光波被散射系統編碼的過程, 與雙隨機加密系統極為相似.本文首先證明了載有目標信息的光波在通過薄層強散射介質的散射系統時所產生散斑的分布特性, 與雙隨機加密系統加密同一明文目標所得到的密文分布特性具有高度的相似性.然后, 本文將該散射系統視為一個雙隨機加密系統, 并利用相位恢復算法精確地計算出該散射系統所對應的兩塊隨機相位密鑰, 同時證明了這兩塊密鑰板還可以成功地從該散射系統所得到的其他任何散斑中恢復出對應的原始圖像.最后, 為了進一步證明二者的等價性, 本文使用一種適用于雙隨機加密系統的唯密文攻擊方法, 成功地破解了薄層強散射介質的散射系統, 得到了較好結果.

1 引 言

近年來, 采用非侵入、直接的成像方式透過散射介質恢復出目標的原始結構和信息, 在光學成像領域已成為備受矚目的研究熱點, 特別在醫學診斷、軍事安全、納米技術應用及水下探測等方面顯得極為重要和迫切[1?4].對于微粒尺寸為波長量級且空間分布隨機的介質, 入射光在其內部傳播時會產生強烈的散射, 從而導致原本有序的波前相位發生嚴重畸變[5].這些強散射光會在觀測表面隨機分布, 產生相長干涉和相消干涉, 最終形成散斑圖.當散射介質厚度較小時, 對入射光總能量的影響可以忽略不計.最近, 一些研究成功地實現了從薄層強散射介質出射光場中重建出隱藏的目標圖像[6?8].如: 基于相位多樣性的成像方法, 通過采集多幀散斑, 并結合相位分集重建算法進行聯合重建[5]; 基于雙譜分析的單幀散斑成像方法, 通過分析散斑的雙譜信息來提取目標的相位信息[6]; 將波前相位調制技術[8]和菲涅耳衍射理論[7]相結合,實現了強散射介質中的聚焦; 還有強散射介質傳輸矩陣的測量, 也對散斑圖樣恢復具有重要意義[9?11],包括三步相移干涉法[9]和任意步相移干涉法[10],以及通過結合光聲效應實現不受光記憶效應限制的光聲傳輸矩陣[11]的測量.

當入射光透過強散射介質時, 雖然從雜亂無序的散斑圖不能直接獲得成像目標的信息[12], 但事實上入射光所攜帶的信息只是由于散射而變得無序, 卻并沒有丟失.也就是說, 入射光波信息被散射介質系統所編碼, 表現為雜亂無序的出射光場狀態.由于粒子在散射介質中的隨機分布不隨時間變化, 一旦給定了隨機散射介質, 同一入射光通過相同介質的出射場是相同的.因此, 如果能夠對散斑圖像進行解碼, 則可以有效恢復出目標物體.通過數值模擬我們發現, 對于同一幅給定的目標圖像,在光學記憶效應范圍[13]內的強散射介質[14]散斑圖樣和雙隨機加密(DRPE)系統的密文圖樣在統計分布上具有相同的分布規律.在此基礎上, 我們將散射系統與DRPE系統聯系起來, 把這樣的強散射介質視為DRPE編碼系統.將原始目標作為空間約束條件, 散斑圖樣作為頻域約束條件, 迭代進入相位恢復算法中得到散射系統的兩個隨機相位密鑰, 并且這一對密鑰還可以成功解密經過同一散射系統中的其他散斑圖像.受到成像相關技術[15]和DRPE系統唯密文攻擊方法[16]的啟發,我們還對散斑圖案執行了DRPE加密系統的“唯密文攻擊”方法(COA).隨著散斑圖樣實現次數的增加, 計算得到散斑的傅里葉域強度平均自相關值會越來越收斂到目標物體的能量譜密度(ESD)[15].然后, 將得到的ESD近似值輸入相位恢復算法[17]中進行迭代運算, 便對散斑圖案進行了成功解碼,恢復出原始目標信息.理論上, 所有適用于雙隨機相位加密系統的唯密文攻擊方法都適用于此種散射介質散斑圖像的恢復.

本文第一次驗證了薄層強散射系統與DRPE系統的等價性, 基于這一特性, 可以利用DRPE系統解密的方法來解決散射介質成像的許多問題, 這為非侵入式透過散射介質成像提供了新的思路.

2 基 礎

2.1 散射成像系統

散射成像系統如圖1所示, 物體被相干光照射, 散射介質被放置在目標物體和成像平面之間.對于文獻[5]中提出的強散射介質薄層, 我們假設散射介質引起的入射光振幅損失可以忽略.在光學記憶效應范圍內, 可以將散斑寫成目標物體和成像系統的點擴散函數的卷積[12]:

圖1 散射過程Fig.1.Scattering process.

其中,S(x,y) 是光學記憶效應范圍內散射系統的點擴散函數.

散射介質出射的光場可以表示為[5]

其中, (x,y) 表示二維空間坐標,|A(x,y)|代表散射光場的振幅, e xp[iθ(x,y)] 則代表散射光場的相位.散斑圖案的強度信息可表示為

散射光場A(x,y) 的實部和虛部都近似分布為高斯隨機變量, 其均值都為零; 散射光場的模值|A(x,y)|服從瑞利概率密度分布[18]:

其中,a表示散斑模值|A(x,y)|,σ2表示散射光場實部和虛部的方差.散射光強度服從負指數統計分布[19]:

其中表示光強的平均值.

2.2 DRPE系統

經典的雙隨機相位加密系統由標準的4f系統實現, 如圖2所示.輸入圖像f(x,y) 在空域受到第一塊隨機相位板 e xp[i2πn(x,y)] 的調制作用, 經過第一塊透鏡的傅里葉變換后, 在頻域受到第二塊隨機相位板 e xp[i2πb(u,v)] 的調制作用, 再經過第二塊透鏡的傅里葉變換作用, 在輸出平面上可得到密文圖像[20]:

圖2 雙隨機相位加密系統Fig.2.Double random phase encryption system.

其中, (x,y) 和 (u,v) 分別表示二維空域坐標和二維頻域坐標,n(x,y) 和b(u,v) 代表以均勻概率在區間[0, 1]上隨機取值的任意實數, Γ 和 Γ?1分別表示傅里葉變換和逆變換.

3 等價性分析

3.1 散射系統與DRPE系統的統計分布規律

我們用一幅原始圖像E作為目標物體, 分別經過薄層強散射系統和DRPE系統后, 所得到的散斑圖案和密文圖樣灰度直方圖統計分布(圖3)的散斑和密文的統計分布規律是一致的, 原始圖像E如圖4(a)所示.其中, 散斑圖案和DRPE系統密文的實部和虛部都近似為獨立分布的高斯隨機變量, 模值均服從瑞利概率密度分布, 而光強則均服從負指數概率密度分布.對于其他任意的同一原始圖像, 都可以得到與圖3類似的結果.基于此,我們認為, 薄層介質強散射過程與DRPE加密系統具有高度的相似性.在本文中, 我們考慮的等價性是指薄層強散射系統和DRPE系統性能的等價性, 即兩個系統從各自的入射面到出射面所產生結果的等價, 也就是說, 介質到探測器的距離是在我們所說等價的兩個系統之外的光場衍射過程.顯然, 討論中最簡單的情況是當這個衍射距離為零時, 也就是探測器剛剛放在散射介質的出射面處.當然這樣處理也是只具有理論討論意義, 忽略了實際的情況下散射介質物理尺寸和探測距離的影響.

圖3 散斑和密文的統計直方圖 (a)實部; (b)虛部;(c)振幅; (d)強度Fig.3.Statistical distribution histogram of speckle and cyphertext: (a) Real part; (b) imaginary part; (c) amplitude (d) intensity.

3.2 散射系統的一對密鑰

在經典的DRPE系統中, 兩個隨機相位板分別在空間域和頻率域對輸入圖像進行調制, 使密文成為平穩的白噪聲.而對于強散射介質薄層, 也可以認為散射介質主要影響入射光的相位而引起光場分布的改變[21].因此假設圖1所示的強散射過程等效于圖2中所示的DRPE系統, 則該散射過程應具有兩個相應的密鑰板, 利用相位恢復算法模擬就可以找到這兩個相位密鑰.

根據文獻[5]提出的強散射效應薄層介質模型, 在光學記憶效應范圍內, 散斑場是具有空間平移不變性的[21], 因此由(1)式可以得到如圖4(b)所示的散斑圖樣.對散斑A(x,y) 進行變換可得到[22]:

其中,φ(u,v)=Γ{O(x,y)·exp[i2πn(x,y)]},n(x,y)和b(u,v) 為在[0, 1] 區間隨機取值的任意實數.這樣,根據物體平面上的強度信息|φ(x,y)|=O(x,y) 和傅里葉平面上的強度信息|φ(u,v)|=|Γ{A(x,y)}|,利用Gerchberg-Saxton(GS)相位恢復算法[17]迭代就得到第一個隨機相位密鑰, 即目標平面上的密鑰n(x,y).而第二個隨機相位密鑰, 即頻譜平面的隨機相位板b(u,v) 可由目標平面的密鑰推導出[22]:

至此, 我們已經成功地找到了散射系統的一對密鑰, 并可以用這兩個密鑰解密經過同一散射介質的其他散斑圖樣.相應過程的數值模擬結果如下: 圖4(c)為通過迭代獲得的第一塊密鑰板分布,圖4(d)則為由(8)式得到第二塊密鑰板的隨機相位函數分布.而用這一對密鑰可以對經過同一散射系統的另一幅散斑圖像進行解密, 其對應的原始圖像為圖4(e), 解密圖像如圖4(f)所示.

圖4 (a)原始圖像; (b) 經過強散射薄層后的散斑; (c)第一塊密鑰板; (d)第二塊密鑰板;(e)另一原始圖像; (f)利用兩塊密鑰板解密出的圖像Fig.4.(a) Original image;(b) speckle suffered highly thin scatter layer; (c) first encryption key; (d) second encryption key; (e) another original image; (f) decrypted image by two keys.

在我們的迭代模擬中, 兩塊隨機相位板都以均勻概率在[0, 1]之間選取初始值.解密出來的兩塊隨機相位板的統計分布直方圖如圖5所示, 從直方圖來看, 第二塊隨機相位板比第一塊更接近滿足均勻概率分布, 它們的方差分別為3.2705和3.3093.由于第一塊相位板有兩個突出的峰值, 這意味著本文示例中相位迭代運算所最終確定的第一塊相位板, 其相位分布概率已不再是完全理想的均勻概率分布情況.

圖5 (a)第一塊隨機相位板統計分布直方圖;(b)第二塊隨機相位板統計分布直方圖Fig.5.(a) The histogram of first random phase key; (b) the histogram of second random phase key.

4 討 論

由于經典的DRPE技術存在受到唯密文攻擊的可能性[17], 基于二者的等價性, 我們認為對散射介質形成的散斑圖案進行相同的唯密文攻擊來恢復目標圖像也是可行的.當散射介質和CCD分別位于透鏡的前焦面和后焦面時, CCD接收到的信息為傅里葉域強度圖樣, 可以寫成:

其中,P(u,v) 表示的是總孔徑函數,?Sn(u,v)=Sn(u,v)?〈Sn(u,v)〉 ,nth是自相關函數Sn(u,v) 的系綜平均實現次數,是目標物體的ESD值.

為了能夠直接探測到散斑的傅里葉域強度圖樣, 設計的散射成像系統裝置如圖6所示.其中d表示物體與散射介質層之間的距離,f表示透鏡的焦距.隨著散斑實現次數N的增加, 散斑傅里葉域強度Sn(u,v) 的自相關平均值會收斂到目標對象的ESD值:

圖6 散射成像系統示意圖Fig.6.Schematic diagram of scattering imaging system.

顯然, (10)式表明, 只要實現足夠數量的散斑,就可以提取出目標物體的ESD值, 其中包含了目標物體的全部信息.ESD值的平方根即是物體強度傅里葉變換模值的估計.使用相位恢復算法[17],可以從目標物體的傅里葉變換模值中恢復出目標物體的強度值.

在我們的模擬中, 原始圖像是文本為E的二值圖像, 其大小為256 × 256像素, 如圖7(a)所示.在光學記憶效應范圍內, 由(3)式可得到散斑.對散斑進行傅里葉逆變換后, 取結果的平方, 得到由(10)式描述的散斑強度圖案Sn(u,v) , 如圖7(b)所示.由于能量譜密度集中在圖像的中間, 因此取散斑圖在時間上的平均值而不是在空間上的平均值.我們的模擬采用了N=104個散斑強度圖樣.接著計算得到每個散斑強度圖案的自相關, 取其平均值, 根據(10)式生成目標物體的ESD的估計值,如圖7(c)所示.物體強度的傅里葉變換模值通過求ESD的平方根得到, 然后將估計的傅里葉變換模值輸入相位恢復算法[17], 得到圖7(d)所示的重建明文圖像.

圖7 (a)目標物體; (b)傅里葉域散斑強度; (c)ESD的估計值; (d)恢復出的目標圖像Fig.7.(a) Original plaintext image; (b) Fourier-domain speckle intensity;(c) estimated ESD; (d) recovered plaintext image.

為了實現這種恢復方法, 散斑實現的次數N應盡可能多, 反饋到相位恢復算法中進行迭代的能量譜更集中, 可以獲得更好的可恢復性.這里我們選擇了結構相似性(SSIM)作為重建效果的評價標準.結構相似性計算公式為

其中:ux和uy分別表示圖 像x和y的平均值;σx和σy分別表示圖像x和y的標準差;σx2和σy2分別表示圖像x和y的方差;σxy表示圖像x和y的協方差;C1和C2都是常數, 為了避免零分母, 通常取C1=(K1×L)2,C2=(K2×L)2,K1=0.01 ,K2=0.03 ,L=255(L為像素值的動態范圍).根據上述公式計算得出, 重建圖像與原始圖像之間的SSIM為0.8520.

這種“散斑的唯密文攻擊”方法相當于實現了透過散射介質的非侵入式成像, 可以直接從CCD接收到的強度圖中恢復出原始物體圖像.這是依據當散斑實現的次數足夠多時, 原物體和散斑的能量譜密度相等的原理來完成的.當然, 這種方法也存在著一些不足, 正如圖7(d)所示的那樣, 由于算法中的平均過程, 使圖像的許多細節被平均化, 從而降低了重建圖像的質量.

5 結 論

綜上所述, 本文通過數值模擬方法驗證了強散射系統和雙隨機編碼系統是等價的, 并且受圖像相關性的啟發, 提供了一種簡單有效的利用唯密文攻擊從薄層強散射系統散斑中恢復目標圖像的方法.數值模擬結果表明: 通過對多次實現的散斑強度數據進行平均, 可以估計出目標物體的傅里葉模值;然后, 根據傅里葉模值的估計, 應用具有非負約束的相位恢復算法就可以重建原始圖像.該方法完全可以推廣到傳統實現散射介質的光譜成像中去.

不過, 需要特別指出的是, 由于透過散射介質成像是一個極其復雜的過程, 因此本文實際上對相應過程進行了理想簡化處理.本文中的強散射體是指表面高度隨機起伏的標準偏差大于照明光波波長的散射體, 此時散射光波的初始位相均勻地分布在區間(?π,π )上[14].而薄層則為了強調散射介質對振幅的影響較小, 即只改變相位.這種散射介質模型在前人的文獻中也有使用[13,21], 相應的實物有毛玻璃, 厚度為380 μm的雞胸肉, 80 μm的蔥表皮[13]等.本文所描述的等價系統是指從散射介質的入射面到出射面與DRPE系統的入射面到出射面等價.然而, 在實際過程中仍然存在著從物體到入射面和出射面到接收面的衍射過程, 這兩個衍射過程會導致散射介質的入射圖像和出射圖像出現一定的衍射效應.在實際處理加解密過程時, 需要把這兩個衍射過程的影響考慮進去, 但在本文中為了簡化表述, 將物體面、散射介質和觀察面設計為緊靠在一起.我們認為, 在理想條件下, 由于薄層強散射系統和DRPE系統的等價性, 理論上所有適用于DRPE系統的純密文攻擊方法, 都可以應用于薄層強散射系統的散斑恢復, 因此今后有可能發展出更多利用系統等價性破解散射光場的方法.