基于共振里德伯偶極-偶極相互作用的雙反阻塞機制及量子邏輯門的實現*

2021-08-04 08:34:40金釗李芮公衛江祁陽張壽蘇石磊

物理學報 2021年13期

關鍵詞：系統

金釗李芮公衛江祁陽張壽蘇石磊

1) (東北大學理學院物理系, 沈陽 110819)

2) (東北大學材料科學與工程學院, 軋制技術與連軋自動化國家重點實驗室, 沈陽 110819)

3) (延邊大學理學院物理系, 延吉 133002)

4) (鄭州大學物理工程學院, 鄭州 450001)

里德伯原子由于具有較長的能級壽命和易于操控的特點已成為卓越的信息載體之一.近年來, 關于里德伯原子性質的研究得到逐步的發展和完善, 特別是基于里德伯原子間范德瓦耳斯力誘導的單能級里德伯阻塞和反阻塞效應.然而, 隨著原子間距離的改變, 里德伯相互作用將導致更加復雜的動力學行為.本文主要研究在原子間距小于其特征長度的情況下, 如何根據構建的里德伯反阻塞及雙反阻塞機制一步實現兩量子比特控制相位門和交換門, 在此范圍內的原子間相互作用將涉及多個能級的布居交換.數值模擬表明: 里德伯阻塞與雙反阻塞機制的解析和數值結果能夠達到高度一致, 理想情況下控制相位門和交換門的平均保真度分別為99.35%和99.67%, 此結果對于抵抗高激發里德伯態的自發輻射具有一定的魯棒性.希望本文的研究能夠為里德伯原子系統中實現大規模容錯量子計算提供必要的理論支持與實驗依據.

1 引言

量子信息科學是利用量子相干和關聯特性進行量子計算和信息處理的一門新興學科[1], 它推動著量子物理的研究不斷革新, 同時也開啟了未來全球信息化變革的機遇之門.量子信息的實現依賴于一個具體的物理系統作為信息載體.目前, 較理想的量子信息處理平臺主要有: 囚禁離子系統[2]、中性原子系統[3]、線性光學系統[4]、超導系統[5]等, 由于它們在量子態操控、存儲和傳輸方面的卓越性質而備受矚目.

當中性原子中的外層電子被激發到高主量子數n的軌道時, 稱該類原子為里德伯原子[6?11].相比于一般中性原子, 里德伯原子具有軌道半徑較大、輻射壽命較長、以及自發輻射幾率小等特點.此外, 里德伯原子的捕獲和控制技術比較成熟, 實驗上可以通過光鑷精準控制里德伯原子的移動[6].在里德伯原子的眾多性質中, 強的長程相互作用一直是研究的熱點, 與囚禁離子之間的庫侖相互作用不同, 里德伯原子間的相互作用強度變化范圍很大[7], 并且可以被耦合光場控制[8].這些獨有的特點使得里德伯原子能夠承擔更多更復雜的量子信息處理任務.里德伯原子之間的強相互作用會引起一種抑制激發效應, 稱之為里德伯阻塞[12], 由于其特殊的條件激發性質, 已經被普遍應用于制備薛定諤貓態[13]、非破壞性宇稱測量[14]、以及非線性光學響應增強[15]等方案.

量子比特的有效控制是通過量子邏輯門[16]實現的, 其實質是作用在一組基矢上的一種或多種幺正操作.如果將一系列邏輯門以一定的方式組合起來便可構成需要的量子算法.與經典計算不同, 量子邏輯門是具有量子態疊加原理和可逆性質的運算機制, 因此, 量子計算機能夠以較高的運算速度和較低的能量消耗并行工作.為了實現大規模量子計算, 量子比特之間的耦合是非常必要的, 里德伯原子長程且可調的相互作用為操控中性量子比特實現可擴展的量子邏輯門提供了強有力的技術手段.其中有不少的理論方案已經被實驗驗證[17].典型的基于里德伯阻塞的受控邏輯門可分為三步[7]:(i) 對控制原子執行操作|1〉→|r〉; (ii) 對目標原子|1〉執行 2π 操作; (iii) 對控制原子執行操作|r〉→|1〉.如果控制原子初始位于|1〉 , 則對目標原子的 2π 操作將會失效; 反之目標原子的|1〉態將會獲得一個相位.然而, 此類阻塞門存在一個根本的局限, 即由里德伯能級移位V引起的固有阻塞錯誤, 通常正比于?/V2(?是有效拉比頻率)[18], 這會不可避免地阻止它的拓展和應用.

研究發現, 通過降低原子密度能夠達到增加原子間距且弱化里德伯原子間的相互作用的目的, 從而克服阻塞效應[19]; 也可以通過調制激光驅動的拉比頻率, 使其遠大于里德伯相互作用強度, 進而打破阻塞機制的限制; 還可以利用激光場失諧補償里德伯相互作用引起的能級移動來實現反阻塞[20,21].早在2007年, Ates 等[22]在研究制備超冷里德伯原子氣的方案中已經預測了反阻塞機制的存在.而后, Amthor 研究組[23]利用可分辨時間光譜測量技術在實驗上觀測到了該現象.相比于里德伯阻塞, 反阻塞是一種新的物理機制[24,25], 它允許多個里德伯原子同時被激發.最近, 包括同時[26]、分步[27]驅動的反阻塞機制、庫侖反阻塞機制[28]、以及耗散誘導的反阻塞機制[29]等不同類型的里德伯反阻塞機制被陸續提出, 并作為構建量子邏輯門[30?32]及制備量子糾纏態[33,34]等量子信息處理任務的基本模型被深入研究和細致探討.但大部分前期的研究方案[35?38]均考慮原子距離較遠或者共振條件達不到時的情形, 范德瓦耳斯相互作用的效果僅僅是使單里德伯態發生能級移動, 如果縮小原子間距至偶極-偶極相互作用區, 里德伯態間的相互作用將涉及多個能級的布居交換.正如基于偶極-偶極相互作用的F?rster共振過程[39,40], 它是利用里德伯原子中的共振能量轉移來增強原子間的相互作用, 該過程可以簡單概括為:|dd〉?|pf〉+|fp〉, 其中,|p〉=|61P1/2,mj=1/2〉 ,|d〉=|59D3/2,mj=3/2〉 , 以及|f〉=|57F5/2,mj=5/2〉 ,為能級間隔相等的三個里德伯態, 即雙原子矢量|dd〉,|pf〉, 以及|fp〉三者能量簡并[41,42].然而, 實際操作的非精準性將導致一個相對小的能量移位, 使得原本共振的相互作用存在一個F?rster缺陷.實驗上, 通常利用強度為32 mV·cm–1的電場消除此類誤差[39], 進而構建嚴格意義上的F?rster共振,此時原子間的偶極-偶極相互作用強度Vdip=實驗測得的彌散系數C3/2π=(2.39±0.03)GHz·μm3, 十分接近于理論值C3/2π=(2.54±0.03)GHz·μm3.此外, 另外兩種類型的偶極-偶極相互作用為自旋交換型[43,44]以及集體交換型[45,46],對應的態矢量轉化過程可分別表示為|sp〉?|ps〉以及|ss′〉?|pp′〉.正是因為偶極-偶極相互作用的特殊性質, 已經被廣泛應用于兩比特[47]和三比特[48]邏輯門的構建, 以及最近提出的可選擇的里德伯泵浦機制[49].

本文基于共振的里德伯偶極-偶極相互作用構建了里德伯反阻塞及雙反阻塞動力學, 不同于傳統的反阻塞機制[25?27], 當前的研究考慮了原子間距小于其特征距離時, 里德伯原子間的強相互作用導致的一系列動力學特征, 提出的雙反阻塞動力學允許兩個基態矢量|01〉和|10〉同時布居在里德伯能級,如果將提出的雙反阻塞動力學應用到耗散制備糾纏等量子信息處理方案中, 這在一定程度上能夠提高里德伯泵浦的效率, 從而加快系統演化達到消耗更少資源的目的.此外, 由于通用量子邏輯門通常需要考慮多個幺正操作的組合, 在數學上的低效率或者在物理實現上存在一定的復雜性.所以在量子計算中使用直接的多比特門更為方便.根據兩種反阻塞機制的特殊性質, 我們提出了一步實現高保真度的兩量子比特控制相位門和交換門的方案.因此, 本文所討論的內容對于拓展里德伯反阻塞機制的維度和提升激光泵浦效率等方面的探索具有重要意義.

本文第二部分和第三部分分別為構建里德伯反阻塞和雙反阻塞的基本模型及對應量子邏輯門的實現, 第四部分為理想情況和考慮原子自發輻射的數值結果討論, 最后給出結論.

2 里德伯反阻塞效應及控制相位門的實現

兩個相距微米量級的里德伯原子能級精細結構如圖1所示, 實驗上通常選擇Rb87冷原子氣模擬里德伯原子系統的動力學行為,|0〉ξ≡|5S1/2,F=1,mF=0〉和|1〉ξ≡|5S1/2,F=2,mF=2〉 (ξ=1,2 )表示對應原子的基態,|p〉ξ≡|63P1/2,mJ=1/2〉和|d〉ξ≡|62D3/2,mJ=3/2〉代表高激發里德伯態.對于第一個原子, 利用一束σ+極化, 波長為297 nm的單色激光場通過單光子過程實現|1〉1?|p〉1的躍遷.|1〉2?|d〉2的泵浦過程則需要利用兩束波長分別為 780和479.8 nm的驅動場通過雙光子過程來實現[39].兩個躍遷過程對應相同的拉比頻率?和失諧量?.當兩個原子同時處于里德伯態且樣品的空間密度達到約109cm–3時, 共振的偶極-偶極相互作用將誘導里德伯能級間的布居交換.

圖1 里德伯原子的能級結構.| p(0)〉ξ 和 | d(1)〉ξ ( ξ =1,2 )代表兩個激發(基)態, 具有相同拉比頻率的兩束非共振的光學激光分別驅動對應原子的躍遷 | 1〉1?|p〉1 和|1〉2?|d〉2 , 失諧量為 ?.V pd 表示兩個里德伯原子間共振的偶極-偶極相互作用強度Fig.1.Energy-level configuration of Rydberg atoms.|p(0)〉ξ and | d(1)〉ξ ( ξ =1,2 ) represent two Rydberg(ground) states, off-resonance optical lasers drive the transitions | 1〉1?|p〉1 and | 1〉2?|d〉2 for the corresponding atom with identical Rabi frequency ? and detuning ? , respectively.V pd denotes the strength of resonant diploe-diploe interaction between two Rydberg atoms.

旋波近似下, 描述整個系統演化的相互作用哈密頓量為(假設 ? =1 ):

式中,|pd〉=|p〉1?|d〉2為雙原子基矢, 在接下來的討論中還將沿用類似的形式;Vpd為里德伯原子間的偶極-偶極相互作用強度, 由此表征的里德伯相互作用可以進一步表示成對角化的形式是本征值為±Vpd的本征態.這一部分對角項能夠作為自由能哈密頓量, 將系統的相互作用旋轉至新的繪景.在此之前, 需要將外部驅動場的哈密頓量在集體的雙原子表象下進行展開, 其表達式為

利用時間平均方法[50]可以絕熱地消除(3)式中與單激發子空間相關的相互作用項 (高頻振蕩項),并結合大失諧條件{?,?±δ}??及反阻塞條件δ=2?和Vpd=2?+?2/(4?) , 最終能夠得到一個簡潔的相互作用形式, 即系統的有效哈密頓量:

(4)式表達了基態|11〉和雙激發里德伯態之間的布居轉化將隨著時間推移呈現拉比振蕩.當假設系統最初被制備在基態|11〉上時, 通過解析地求解薛定諤方程 i?t|ψ(t)〉/?t=Heff|ψ(t)〉 , 任意時刻系統的末態可以表示為

有效哈密頓量的導出, 需要嚴格遵守參數條件Vpd=2?+?2/(4?)(解析結果).為了表明其合理性, 在圖2(a) 中, 通過數值求解與原始哈密頓量((1)式)相關的薛定諤方程, 在時刻從初態|11〉出發, 畫出了雙激發里德伯態|+〉的布居隨著Vpd/?以及?/?的變化, 圖中的數值結果與解析結果(黑色點線)幾乎符合.

圖2 (a) 態矢量 | +〉的布居在時刻隨著參數 V pd/? 和 ? /? 的變化, 系統初態為 | 11〉 , 圖中的黑色點線是利用 V pd=2?+?2/(4?) 得到的解析結果; (b) 由原始哈密頓量(黑色點劃線)以及有效哈密頓量(紅色實線)支配的布居動力學隨時間的演化, 系統的初態和末態分別為 | 11〉和 ? |11〉 , 相關的系統參數設置為: ? /(2π) =2 MHz, ? =7.5? , 以及Vpd=2?+?2/(4?)Fig.2.(a) Population of state | +〉 versus V pd/? and?/? at the time with a fixed initial state|11〉, the solid dots are analytical results based on the equation V pd=2?+?2/(4?) ; (b) populations of?|11〉versus the evolution time from the initial state | 11〉 governed by Full Hamiltonian (black dash-dotted line) and effective Hamiltonian (red solid line), the related parameters are chosen as: ? /(2π) = 2 MHz, ? =7.5? , and Vpd=2?+?2/(4?).

作為上述里德伯反阻塞效應在量子信息處理任務中的應用, 下面討論如何一步實現兩量子比特控制相位門, 對應門操作的標準算符表達式為

從有效哈密頓量((4)式)及任意時刻系統末態的表達式((5)式)不難計算出當演化時間t=時, 態矢量|11〉的布居能夠完全轉化為?|11〉 , 而有效哈密頓量中不包含有關其他三個態矢量(|00〉 ,|10〉 , 以及|01〉 )的耦合項, 因此它們在整個演化過程中均保持在自身的原始狀態.在不考慮耗散的情況下, 借助于里德伯阻塞機制的控制相位門能夠以趨于100%的高保真度成功構建.在圖2(b)中, 通過數值求解由原始哈密頓量(紅色實線)及有效哈密頓量(黑色點劃線)分別支配的薛定諤方程, 模擬了當系統初態設置為|11〉時,態矢量?|11〉的布居隨時間的演化.從圖2(b)中可以看出, 兩條曲線的演化趨勢保持了高度一致, 均在與解析結果相同的時間點t=5.3μs , 保證了末態?|11〉的布居分別達到99.72%和99.97%, 這不僅從數值的角度驗證了上述理論分析的可行性, 也意味著從原始哈密頓量到有效哈密頓量的推導過程中涉及的一系列假設和近似均是合理且有效的,更表明了利用當前的有效哈密頓量計算出的解析結果能夠準確表征由原始哈密頓量支配系統演化的動力學行為.

3 里德伯雙反阻塞效應及交換門的實現

作為反阻塞機制的拓展和延續, 這一小節將基于里德伯原子間的偶極-偶極相互作用實現里德伯雙反阻塞, 即允許四個雙原子基態矢量.{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}中的兩個布居在高激發里德伯態.

對應模型的原子精細結構如圖3所示, 假設兩束具有相同拉比頻率?, 相對相位為θξ(ξ=1,2 )的光學激光場分別非共振地驅動原子能級|0〉ξ?|d〉ξ和|1〉ξ?|p〉ξ之間的躍遷, 失諧量均為?, 實驗上, 通常利用光鑷精確控制和束縛原子在空間中的相對位置, 從而調節兩個原子里德伯能級間的作用類型, 這里依然沿用上節中具有“自旋-交換”性質的共振偶極-偶極相互作用.刻畫上述耦合的系統哈密頓量為

圖3 里德伯原子的能級結構.| p(0)〉ξ 和 | d(1)〉ξ ( ξ =1,2 )代表兩個激發(基)態, 兩束具有相同拉比頻率 ? 及相對相位為 θξ 的非共振的光學激光分別驅動對應原子的躍遷|0〉ξ?|d〉ξ 和 | 1〉ξ?|p〉ξ , 失諧量為 ?.V pd 表示兩個里德伯原子間共振的偶極-偶極相互作用強度Fig.3.Energy-level configuration of Rydberg atoms.|p(0)〉ξ and | d(1)〉ξ ( ξ =1,2 ) represent two Rydberg(ground) states, off-resonance optical lasers drive the transitions | 0〉ξ?|d〉ξ and | 1〉ξ?|p〉ξ for the corresponding atom with identical Rabi frequency ? , detuning ? , and different relative phase θξ , respectively.V pd denotes the strength of resonant diploe-diploe interaction between two Rydberg atoms.

式中, 已經假設θ1=?π 和θ2=π.同樣將(7)式在雙原子基矢下展開, 并以里德伯相互作用哈密頓量的對角形式作為新的旋轉框架, 此時激光與原子耦合哈密頓量可以重新表達為

通過解析地求解由(9)式支配的薛定諤方程, 可得到如下演化過程:

式中?=?2t/(4?).當操作時間t=(2n?1)π?/?2(n為正整數), 基態矢量|10〉和|01〉的疊加態能夠同時布居在雙激發里德伯態|+〉 , 此時系統呈現里德伯雙反阻塞效應.為了進一步證明上述解析結果以及反阻塞條件的準確性, 在圖4(a) 中, 通過數值求解與原始哈密頓量((7)式)相關的薛定諤方程, 在時刻t=π?/?2, 從初態出發, 畫出了雙激發里德伯態|+〉的布居隨著Vpd/?及?/?的變化, 圖中的數值結果與雙反阻塞條件Vpd=2?的解析結果(黑色點線)能夠基本重合.

圖4 (a) 態矢量 | +〉的布居在時刻 t =π?/?2 隨著參數Vpd/? 和 ? /? 的變化, 系統初態為|01〉) , 圖中的黑色點線是利用公式 V pd=2? 得到的解析結果; (b) 由原始哈密頓量(黑色點劃線)以及有效哈密頓量(紅色實線)支配的布居動力學隨時間的演化, 系統的初態和末態分別為 | 10〉和 | 01〉 , 相關的系統參數設置為:?/(2π) = 2 MHz, ? =7.5? , 以及Vpd=2?Fig.4.(a) Population of state | +〉 versus V pd/? and?/? at the time t =π?/?2 with a fixed initial state | 10〉 ,the solid dots are analytical results based on the equation Vpd=2? ; (b) populations of | 01〉 versus the evolution time from the initial state | 10〉 governed by Full Hamiltonian (black dash-dotted line) and effective Hamiltonian (red solid line), the related parameters are chosen as: ? /(2π) =2 MHz, ? =7.5? , and V pd=2?.

此外, 當演化時間t=2(2n?1)π?/?2時, 將出現如下布居轉化:|10〉→|01〉和|01〉→|10〉.在圖4(b)中, 通過數值求解由原始哈密頓量(紅色實線)及有效哈密頓量(黑色點劃線)分別支配的薛定諤方程, 模擬了當系統初態為|10〉時, 末態|01〉的布居隨時間的演化.圖4(b)中的兩條曲線的演化趨勢依然保持了高度一致, 并且在t=2π?/?2=3.7μs 的時間點初態與末態的布居轉化分別達到99.71%和100%, 該結論再一次表明了解析和數值結果的精確對應.值得注意的是, 另外兩個基態矢量|00〉和|11〉由于與系統哈密頓量解耦合, 因此布居不發生變化.以上描述即為標準兩量子比特交換門的構建過程, 其算符表示為

4 數值分析

量子系統的演化會不可避免地遭受環境的影響進而導致消相干, 對于當前的里德伯原子系統,唯一的耗散因素即高激發里德伯態的自發輻射.盡管我們所構建的量子邏輯門均涉及原子基態矢量間的相互轉化, 但支配系統動力學演化的有效哈密頓量的導出與基態到激發態的泵浦過程息息相關.但由于這個過程是非共振激光驅動的, 因此所導致的激發態布居始終保持高頻振蕩的行為, 從而能夠保證構建的量子邏輯門對于抵抗原子自發輻射具有一定的魯棒性.為了驗證上述理論分析的正確性, 引入量子門操作的平均保真度[51,52]:

式中,為(1)式((7)式)所表征的原始哈密頓量;為描述對應原子四個衰減路徑的 Lindblad 算符,γ為原子自發輻射率.

在圖5(a)(圖5(b))中, 數值模擬了理想情況下, 即γ=0 時, 兩量子比特控制相位門(交換門)的平均保真度隨時間的演化.可以看出, 原始哈密頓量(紅色線)和有效哈密頓量(黑色線)支配的動力學結果和演化趨勢基本能夠相互重合, 其中, 紅色曲線在末態時間點=0.9935(0.9967), 而黑色曲線的值則均超過了0.9999, 造成這種輕微差異的原因, 主要是由于原始哈密頓量中存在的高頻振蕩項所導致的一些微小的誤差.

圖5 由原始哈密頓量和有效哈密頓量支配的平均保真度隨時間的演化 (a)控制相位門; (b)控制交換門.系統參數為 ? /(2π) = 2 MHz, ? =7.5? ,Vpd=2?+?2/(4?)( V pd= 2 ? ) 以及 γ = 0 kHz.插圖表示不同的原子自發輻射率對平均保真度的影響, 選定的末態時刻為( t =2π?/?2 ), 其他的系統參數除了 γ 以外均與大圖相同Fig.5.Time-dependence of the average fidelity dominated by full Hamiltonian and effective Hamiltonian: (a) controlled-PHASE gate; (b) controlled-SWAP gate.Values of parameters are: ? /(2π) = 2 MHz, ? =7.5? ,Vpd=2?+?2/(4?) ( V pd=2? ) and γ = 0 kHz.The insets shows the influence of different atomic decay rates γ on the final average fidelity.The chosen final time is ( t =2π?/?2 ) and the other parameters are the same as in panels (a) and (b) except for γ.

此外, 在圖5(a)和5(b)的插圖中利用數值方法進一步研究了原子自發輻射對門操作的平均保真度帶來的負面影響.通過分別求解由原始哈密頓量所支配的主方程并選定對應的末態的時間點, 可以明顯觀察到, 在γ從0 kHz增大到2 kHz的范圍內, 平均保真度的值呈現出了線性的遞減, 減少量僅為0.004.即使當γ=2kHz—10?3?時, 控制相位門和交換門的平均保真度依然可以超過0.99.這從數值的層面表明了方案所構建的邏輯門對于抵抗原子激發態的衰減具有一定的魯棒性.實際上,高激發的里德伯態具有較長的壽命[8], 對應相對小的自發輻射率, 因此, 在參數條件γ/?<1 0?3下[53],保證邏輯門的平均保真度的值大于0.99并非是一個極端挑戰, 而是可以輕易達到的要求.

5 結論

本文以四能級里德伯原子為基本模型研究了里德伯反阻塞動力學的性質及應用, 通過調節激光失諧量補償原子間共振的偶極-偶極相互作用誘導的能級移位實現了雙原子基態的同時布居.在此基礎上, 根據反阻塞與雙反阻塞各自的泵浦特征, 構建了對應的兩量子比特控制相位門及交換門.數值模擬同時考慮了有效哈密頓量和原始哈密頓量分別支配的動力學演化.結果表明, 兩者表征的解析和數值結果可以達到高度符合, 同時也驗證了高保真度量子邏輯門對于抵抗原子自發輻射具有一定的魯棒性.希望本文的研究能夠積極地推動多維度、高效率的里德伯反阻塞機制的研究走向深入,并且為中性原子系統中實現大規模量子計算的相關實驗提供理論依據.

感謝哈爾濱工業大學吳金雷博士的討論.