基于變點–算術失效強度減的設備維修質量評估

周 瑜, 寇 綱, 白 楊, 爾古打機

(1.內蒙古大學經濟管理學院,內蒙古自治區呼和浩特010021;2.西南財經大學工商管理學院,四川成都611130;3.西南民族大學電氣信息工程學院,四川成都610041)

1 引 言

生產設備是企業的重要資產,生產設備的運行狀況嚴重影響企業的生產安全和效率.企業為了提高生產設備的可用度,通常對設備實施一系列的預防維修政策.據文獻[1,2]統計,設備維修費用一般占全部生產成本的15%～70%,平均為20.8%.發達國家交通運輸行業的數據為20%～30%,鋼鐵行業約為40%.同時,預防維修質量與預防維修成本之間具有一定的內在關系[3].因此,如何獲得最優的預防維修質量一直是研究熱點.

對于預防維修,設備經歷一次預防維修后,設備的失效強度與預防維修之前相比通常會出現以下五種情形: 比新的好(better than new,BTN),修復如新(as good as new,AGAN),介于新舊之間(worse than new but better than old,WNBO),修復如舊(as bad as old,ABAO)和比舊的差(worse than old,WTO).其中BTN 意味著設備經歷一次預防維修后,它的失效強度明顯優于預防維修之前,即出現了可靠性增長現象[4,5].此狀態下的常見模型為可靠性增長模型[4,5].然而,可靠性增長現象很難出現在劣化系統中.AGAN意味著設備的失效強度在預防維修后恢復到新設備的水平,即設備的狀態完好如新.這種狀態在電子元器件的可靠性建模中較為常見,常用的建模方法為更新過程[6,7].ABAO 表示設備的失效強度在預防維修前后無差異,即設備的狀態恢復如舊.由于這種狀態假設既不影響失效強度的變化趨勢也不影響失效強度的變化速率,因此在設備可靠性建模中最為常見,常用的建模方法有點過程模型[8].實際上,設備經歷一次預防維修后,其失效強度一般會介于新舊狀態之間,即WNBO 狀態,也稱之為不完美維修[9].針對WNBO 狀態,Wang 等[10]總結了已有建模方法,讀者可以通過該文獻進一步了解這些方法.WTO 狀態是五種維修狀態中最不理想的一種狀態.WTO 狀態意味著設備在執行預防維修后,設備的失效強度較預防維修之前相比出現明顯的劣化趨勢.

以上五種情形中,關于不完美維修的應用和研究最常見,現有文獻開發了許多經典模型,如Kijima 模型[11,12],BP 模型[13]等.Wu 等[14]把這些方法大致劃分為三類,分別是年齡減模型,失效強度減模型和混合模型.基于本文模型應用的背景,本文僅就失效強度減模型進行討論.失效強度減模型通常假設設備經歷一次預防維修后,設備的失效強度將減少一確定值或與原失效強度成固定比例的減少.已有研究中,有大量的關于失效強度減的文獻,如文獻[15–21].Nakagawa 等[18?21]提出的失效強度減模型就是成比例減少模型,即假設預防維修后的設備失效強度減少量與預防維修前的失效強度成一定比例.Wu 等[22]建議的模型則是假設預防維修后的設備失效強度將隨機減少一定量值.隨后,算術失效強度減(Arithmetic Reduction of Intensity,ARI)模型被廣泛應用[15?17,19,20].文獻[16]在Nakagawa 等的模型基礎上提出了一個p階記憶模型,其中階數p是指預防維修能夠影響到的未來預防維修區間數.而Chan 等的模型實質上就是一種無限記憶模型.Toledo 等[17]隨后給出了p階記憶模型的極大似然估計方法和模型選擇方法.Zhou 等[23]根據實際應用背景,提出了一個新的算術失效強度減模型.該模型假設設備經歷一次預防維修后的失效強度等于預防維修前的失效強度和一個當量之和.這個當量與預防維修前的失效強度和設備固有失效強度之差成一定比例,進而采用該比例描述設備預防維修質量.通過與現有模型的比較說明了方法的有效性.

在上述模型和方法中, 通常假設設備的失效強度的變化是平滑的.現實中, 設備的失效強度有可能在某一時間區間上出現失效強度變化趨勢不一致的情形, 這種現象被稱為失效變點[24].基于此, 本文在Zhou 等[23]的工作基礎上,給出了一個具有失效變點的算術強度減模型.

2 變點–算術失效強度減模型

生產設備通常具有多個不同時間周期的預防維修,簡稱為多級預防維修制度.以巴士車隊為例,每隔15天進行一次一級預防維修;每隔3 個月～4 個月進行一次二級預防維修;每隔2年進行一次高級預防維修.為了模型構建過程的簡捷,接下來將以具有二級預防維修制度的設備為例進行說明,但這并不影響該模型擴展到更多級別的預防維修制度.具有二級預防維修制度的設備發生故障和維修歷程如圖1 所示.在圖1中,車隊在171 周內共進行了7 次二級預防維修.例如,車隊在第26 周,第48 周做了第1 次,第2 次預防維修.假設一次預防維修結束后,重新計算車隊在該預防維修區間內的失效表現,直到下一次預防維修來臨為止.因此,車隊的第1 個預防維修影響下的車隊失效表現區間為[0,22].由圖可以看出,車隊預防維修的執行并非嚴格按等周期進行,即預防維修周期是非齊次的.本文采用累積失效次數衡量車隊失效表現,圖中每一段帶圈實線表示在上一次二級預防維修后和下一次二級預防維修之前,車隊發生失效的累積次數.圖線斜率越大,說明該二級預防維修區間內車隊失效越頻繁.

圖1 設備故障和維修歷程Fig.1 Equipment failure and maintenance process

根據圖1,車隊在第123 周進行了第五次二級預防維修.此后,車隊的失效頻率出現了較為明顯的變化,在該二級預防維修區間內的累積失效次數高達39 次,遠高于其它二級預防維修區間.實際上,引起該變化的原因是車隊在該區間內發生了營運線路的變更.線路變更引起了失效頻率的變化,這種變化可以看作為失效變點[24].如果不考慮變點的存在,建模得到的結果可能存在一定偏差.因此,本文將基于以下假設構建失效變點–算術失效強度減模型.

2.1 模型假設

具有二級預防維修制度的設備預防維修歷程如圖2 所示.

圖2 設備二級預防維修歷程Fig.2 Equipment type-II preventive maintenance process

根據圖2, 假設設備進行第i次二級預防維修的時間為Ti,i= 1,2,...,n.假設二級預防維修為等周期預防維修, 則有T1=T2?T1=···=Tn ?Tn?1.在第i個二級預防維修周期內, 設備進行第j次一級預防維修的時間為Hj,j= 1,2,...,mi.且有H1=H2?H1=···=Hmi ?Hmi?1和Ti ?Ti?1= (mi+1)(Hmi ?Hmi?1)成立.令t為任意一個一級預防維修周期內的運行時間, 為一非負變量, 0 ≤t≤Hmi ?Hmi?1.假設在t時間內每隔Δt統計一次系統的累積失效次數, 觀察時間點可簡記為tpj(t=pjΔt),且令Mji(t)標識觀察到的累積失效次數,即令Mji(t)標記第j次和第j+1次一級預防維修區間內的累積失效次數.經歷一次一級預防維修后,Mj i(t)清零并重新計算.這樣,獲得的失效觀察次數,如表1 所示.由于實際執行過程中,預防維修區間非嚴格相等,因此出現觀察時間點非齊次現象.例如,表1的[H2,H3]區間內,tpj中的累積失效次數為null,意味著設備在tpj來臨前已經進行了預防維修.

表1 累積失效次數Table 1 Cumulative failure number

此外,令(t)標識設備在第i次二級預防維修區間內進行的第j次一級預防維修區間內的實際失效強度,而設備的固有失效強度記為(t).假設設備的預防維修質量為變量,令ρi為第i次二級預防維修質量,為第i次二級預防維修區間內第j次一級預防維修質量.冪律模型的參數為αi和βi.為了方便建模,結合文獻[23],還對模型做如下假設:

1)設備故障修理時間,預防維修時間和停機時間與設備的運行時間相比足夠小,可以忽略不計.

2)設備故障修理因為是最小維修,因此故障修理不會本質上改變設備的固有失效強度.因此,在對設備失效強度進行建模時可以應用失效計數過程.

3)固有失效強度一般可以由進行首次預防維修前的失效歷程進行確定.實際上,設備首次進行預防維修前的失效歷程很難獲得,即使獲得也很難推斷出失效的固有失效強度.因此,如果無法獲得首次預防維修前的失效歷程,可以將能夠獲得的最早失效歷程作為建模固有失效強度的參考.

2.2 模型構建

根據以上假設,令設備經歷一次預防維修后的失效強度等于預防維修前的失效強度和一個當量之和.文獻[20]中假設該當量與預防維修前的失效強度和預測失效強度之差成一定比例,失效強度僅基于最近的預防維修區間的失效強度進行預測.由于失效強度的變化受過去所有預防維修和固有失效強度的累積影響,文獻[23]在此基礎上提出,該當量與預防維修前的失效強度和設備固有失效強度之差成一定比例.因此,第i次二級預防維修區間內第j次一級預防維修后的失效強度之和.

第i次二級預防維修區間內第1 次一級預防維修前的失效強度只受第i次二級預防維修影響,因此第i次二級預防維修區間內第1 次一級預防維修前的失效強度可以表達為之和.綜上所述,可以得到不含有失效變點的算術失效強度減模型[23]

當i= 1,2,...,n時,上式成立.當i= 0 時(即無任何預防維修干擾時),根據假設3)和圖2 有(t) =(t).

如果設備的運營環境,工作強度等在第i次二級預防維修區間的第j次一級預防維修后發生較大變化,從而使得設備的失效強度變化趨勢發生變化,已有文獻稱之為失效變點[23].設備失效強度的趨勢變化通常表現為短周期內兩次相鄰失效的時間間隔變化和長周期的趨勢變化.對于短周期內的失效時間間隔變化可以引入一個尺度參數描述,而長周期的趨勢變化可以引入一個形狀參數進行度量.在現有失效強度模型中兩參數冪律模型恰好含有一個尺度參數和一個形狀參數,因此本文采用冪律模型對失效趨勢進行平滑處理.平滑處理的目的是消除因設備運營環境差異或工作強度變化而帶來的失效強度變化.基于式(1),可構建得到新的基于失效變點–算術失效強度減模型為

根據文獻[25],失效計數過程中,失效強度為單位時間內的失效次數.故設備失效強度和失效次數存在以下關系

根據式(2)和式(3),有

實際上,設備在運行過程中會受到預防維修的干擾,因此該值是一個理論值,可以根據初次失效強度建模得到.根據表1 和式(4),建模的具體步驟如下.

步驟1為數據轉換及預處理.如果采集的失效數據為失效時間間隔數據,可以統計轉換為失效計數數據,并整理得如表1 所示的數據類型.

步驟2建模數據集得到其概率分布進而應用式(4)估計觀察時間點上的期望累積失效次數并確定固有失效強度.對于數據集可以采用較為常用的冪律模型或線性對數模型[3,25].同時,將能夠獲得的最早的預防維修區間內的失效過程確定為固有失效強度.當然,這樣確定的固有失效強度與設備真實的失效強度之間必定存在一定的差異,但維修質量評估主要參考的就是維修前后的失效強度變化情況.因此,取能夠獲得的最早的失效過程為固有失效強度具有一定合理性.當然,固有失效強度對維修質量評估的影響值得在今后的研究中進一步探討.

步驟3估計ρi或.根據式(4),預防維修質量可以通過最小化擬合值與觀察值之間的最小誤差平方和(sum of squares for error,SSE)得到.SSEij為

步驟4預防維修質量評估.依據估計得到的ρi或值,根據模型構建原理,可以推導當ρi或取不同值時,系統失效強度經歷一次預防維修后的變化情況.舉例來說,若ρi=1 或=1,系統經歷第i個二級預防維修區間內的第j次一級預防維修后的失效強度就等于(t).因為(t)是系統在第i個二級預防維修區間內的第j ?1 次一級預防維修干預得到的系統在第i個二級預防維修區間內的第j次一級預防維修區間內的固有失效強度表現.因此,ρi= 1 或= 1 意味著系統經歷第i個二級預防維修區間內的第j次一級預防維修后,其失效強度與該區間的系統固有失效強度表現一致.因此,與上一預防維修區間相比,相當于修復如新.由此,可以推出不同ρi或值對應的預防維修質量如下:

在本文建議的模型中,對于二級預防維修ρi是通過二級預防維修后至下一個一級預防維修來臨前的失效歷程來衡量的.現實中,二級預防維修的實際影響區間為一個完整的二級預防維修區間.換句話說,模型中的ρi是衡量整個二級預防維修區間內的變化趨勢,而是衡量整個一級預防維修區間內的變化趨勢.一旦能獲取充足的二級預防維修數據(至少在二級預防維修后再運行一個二級預防維修周期),可以對二級預防維修的維修效果ρi進行校對.

2.3 模型比較和驗證

為了說明模型的有效性, 本文建議的模型將與相似的三個模型進行對比, 這三個模型分別來自于文獻[18,20,23].文獻[23]給出的模型如式(1)所示.文獻[18]的模型可以描述為

其中φ是預防維修質量.文獻[20]的模型是

其中φ是預防維修質量.

對比幾種模型,建議的模型參數的增加,勢必會導致具有更優的擬合效果.為了避免此類情況的發生,可以通過構建AIC 準則或AICc 準則進行擬合優度比較.基于最小二乘法的AIC 準則[26]為

本文的建模數據樣本較小,考慮基于最小二乘法的AICc 準則[26]更為恰當.基于最小二乘法的AICc 準則為

其中k為模型參數個數,n為數據樣本量.一般來講,最小的AIC 值或AICc 值,具有最優的擬合優度.

為了進一步說明建議模型與其它模型的可比性,以及對存在的失效變點進行平滑的合理性,本文分析了原始數據的平均失效時間間隔(mean time between failures,MTBF),并以兩次預防維修區間內的MTBF 改進量ΔMTBF 為依據開展驗證說明.這是因為MTBF是系統預防維修狀況的外在表現.預防維修排除的潛在失效越多, 則系統的失效次數越少, 那么系統的MTBF 會越大.設第j個預防維修區間內的MTBF為MTBFj,則

這樣,如果ΔMTBF>0,則意味著系統經歷一次預防維修后運行狀態有改善,值越大改進程度越明顯;如果ΔMTBF=0,則意味著系統經歷一次預防維修后運行狀態不變;如果ΔMTBF<0,則意味著系統經歷一次預防維修后運行狀態保持比原來更差.由于ΔMTBF 和或(ρi)具有不同的變化范圍,可以將其進行0-1 標準化后進行比較.

3 數值例子

某巴士公司的管理信息系統詳細記錄了預防維修周期內車輛發生的故障數據和所開展的維修活動.本文收集了該巴士公司一個車隊的預防維修數據.在數據收集周期內,該公司對該車隊共進行了7 次二級預防維修.經過整理得到了該車隊中巴士車輛在7 次二級預防維修周期內的累積失效次數,如表2 所示.表2中初始列表示車輛未進行二級預防維修前的初始失效過程,“1st”指車輛經歷第1 次2 級預防維修后的失效過程,以此類推.不失一般性,對數據進行了脫敏處理,累積失效次數取的是車隊所有車輛的平均累積失效次數.而這并不會影響到評估結果.此外,該車隊車輛在第5 次預防維修后的運營線路發生了變化,由于兩條線路的明顯差異,導致車輛失效趨勢發生明顯變化.因此,在第5 次預防維修效果評估時,可考慮應用具有失效變點的評估模型進行處理.

表2 巴士車輛的累積失效次數Table 2 Cumulative failure number of the urban bus

根據表2,應用冪律模型對每一預防維修周期內的失效次數進行模型,繼而應用文獻[18,20,23]和本文的模型估計得到了前6 次預防維修的維修質量.具體的建模步驟如下:

步驟1設將能夠得到的最早的失效記錄,即表2 中第一列數據確立為固有失效數據.應用三參冪律模型(tk)=((tk+θ)/φ)ψ建模(tk),參數估計得到θ=17.08,φ=17.14 和ψ=3.75.

步驟2應用文獻[18,20,23]中的評估方法進行預防維修效果評估,得到的預防維修質量如表3 所示,得到的SSEi也列在了表中.

步驟3觀察表3 中文獻[18,20,23]估計得到的SSEi會發現,這三種方法得到的SSEi在第5 次預防維修時發生了突變.因此,可嘗試使用本文建議的模型建模第5 次和第6 次預防維修質量.根據式(4),在文獻[23]評估的前4 次預防維修質量基礎上,進一步估計得到了第5 次和第6 次的預防維修質量,如表3 倒數第2 行和第3 行所示.在平滑建模時,參數估計得到α5=17.32 和β5=4.40.

表3 建模結果Table 3 Modelling results

最終, 估計得到的預防維修質量如表3 所示.根據表3 所示的建模結果, 本文建議的模型具有最小的SSE 值,AIC 值和AICc 值,故本文建議的模型具有最優的擬合優度.為了進一步說明參考模型與本文建議模型對預防維修質量評估的有效性,根據2.3 節模型比較與驗證中所描述的驗證方法,通過原始數據計算得到了二級預防維修區間內的ΔMTBF,如表3 最后一行所示.

根據表3 中的評估結果,運用0-1 標準化方法, 將文獻[18, 20, 23]和本文建議方法所得到的評估結果與ΔMTBF 進行對比, 比較結果如圖3 所示.可見本文建議方法得到的預防維修質量變化曲線與實際的ΔMTBF 變化趨勢非常一致.為了說明一致性程度,進一步應用歐式距離衡量了幾種方法與ΔMTBF 的相近程度.經計算,文獻[18,20,23]和本文建議方法與ΔMTBF 的歐式距離分別為0.427 3,1.969 5,0.378 1和0.148 1.本文建議方法與ΔMTBF 具有最相近的趨勢變化,這進一步說明了本文方法的有效性.

圖3 模型比較Fig.3 Comparison between models

4 結束語

在算術失效強度減模型中,通常假設設備的失效強度平滑變化.然而,發現現實情況中設備失效強度的變化有可能存在變點.因此,本文在前期研究工作基礎上,給出了一個具有失效變點的算術失效強度減模型.為了驗證方法的有效性,本文給出了以預防維修區間內的MTBF 改進量的變化趨勢為衡量依據,并以某巴士車輛的二級預防維修數據為例開展了案例研究.案例研究中,本文建議的建模方法與文獻已有相似的模型進行了比較.研究結果表明,本文建議的變點-算術失效強度減模型不僅具有更優的模型擬合優度,而且還具有與MTBF 改進量最小的歐氏距離,這表明本文建議的方法是有效可行的.