巧用分類思想來解決面積重合問題

侯坤明

(江蘇省灌云實驗中學 222200)

幾何圖形的運動變化問題一直以來都是中考命題專家青睞的熱點，這一類題目在編寫時都不同程度上體現出基本圖形、基本概念來源于現實生活，將現實生活中的一些問題抽象化得到.這類題型注重培養學生良好的觀察、操作、想象、討論、交流等學習習慣，學生在吸收知識的同時更能夠領悟其中蘊含的基本數學思想，并通過適度的提煉和總結，使之能對認識能力、理解能力和應用能力起到指導作用，更好的理解數學實質，初步獲得數學思維能力.

筆者在給學生講解蘇教版八年級下學期第95頁的第22題時，受到了一些啟發.原題如下：

圖1

如圖1，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，將正方形A′B′C′D′繞點A′旋轉，在這個過程中，這兩個正方形重合部分的面積會發生變化嗎？證明你的結論.

我們將上題中的兩個正方形都變為：

邊長為6的相同正方形，按如圖2所示方式放置，右邊正方形EFGH是水平放置的，其中∠BCF=45°,C是EF的中點(左邊正方形的右邊頂點與右邊正方形的邊所在的中點重合)，同時令左邊正方形水平向右按每秒鐘一個單位長度平移，右邊正方形EFGH固定不動.請你嘗試解決以下問題：

(1)在運動過程中BC與FG的夾角等于____度；

(2)當t=2時，求正方形ABCD余下的面積；

(3)請你計算從左邊正方形ABCD開始進入直至完全穿過并離開右邊正方形EFGH時，兩正方形重合部分的面積s與運動時間t(初始狀態時t=0秒)之間的函數關系,并求出對應的t的取值范圍.

(4)在(3)的情況下有無重合面積的最大值，若有請求出來；若沒有，請說明理由.

解(1)45°(135°)；(2)32；(3)(ⅰ)分析：首先呈現移動變化過程中的關鍵位置的系列圖，然后根據重合部分形成的多邊形的邊數劃分為八種不同的情況.每一種情況分別分為兩個狀態圖，即進行狀態和結束時的臨界狀態，并分別計算此種情況下它們重合部分的面積與運動時間t(初始狀態時t=0秒)之間的函數關系.

圖2

(ⅱ)解答如下：

圖3

第一種情況：

0≤t≤3,s1=t2;

圖4

第二種情況：

圖5

第三種情況：

圖6

第四種情況：

圖7

第五種情況：

圖8

第六種情況：

圖9

第七種情況：

圖10

第八種情況：