例談如何使題目的設(shè)問更自然

付 軍

(安徽省六安皋城中學(xué) 237000)

筆者是初中的一名數(shù)學(xué)教師，近日在陪同初三學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，遇到了這樣一道題目，通過教學(xué)中學(xué)生的探究與作答，與出題人給于的參考答案進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)了一些問題，引發(fā)了筆者的一些思考.

一、原題重現(xiàn)

例1 (浙江省寧波市中考題)若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形．

(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的AC的長；

(2)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求證：△ABC是比例三角形．

二、參考答案重現(xiàn)

解(1)因?yàn)椤鰽BC是比例三角形，且AB=2、AC=3，

(2)因?yàn)锳D∥BC，所以∠ACB=∠CAD，

又因?yàn)椤螧AC=∠ADC，所以△ABC∽△DCA，

因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADB=∠CBD，

因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD，

所以∠ADB=∠ABD，所以AB=AD，

所以CA2=BC·AB，

所以△ABC是比例三角形；

因?yàn)锳D∥BC，∠ADC=90°，所以∠BCD=90°，

所以∠BHA=∠BCD=90°，

又因?yàn)椤螦BH=∠DBC，所以△ABH∽△DBC，

三、題型分析

此題目類型屬于近些年比較流行的“新定義”型.所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)、能力進(jìn)行理解，根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.通過該題目的三個(gè)設(shè)問來看，筆者認(rèn)為，出題人的意圖應(yīng)該是給定“比例三角形”這樣一個(gè)沒有學(xué)過的一些概念，從而在學(xué)生理解概念的基礎(chǔ)上，設(shè)置了三個(gè)問題.第一個(gè)問題意在考查“比例三角形”簡單應(yīng)用；第二個(gè)問題意在考查如何判定“比例三角形”；第三個(gè)問題需要結(jié)合輔助線的添加以及相似三角形的相關(guān)知識(shí)，意在考查“比例三角形”的靈活運(yùn)用.

四、問題呈現(xiàn)

筆者所在學(xué)校的學(xué)生為電腦搖號(hào)分班，班級(jí)兩極分化現(xiàn)象較為嚴(yán)重.學(xué)生們?cè)谧鲞@道題目時(shí)，大部分同學(xué)只能完成前兩個(gè)問.對(duì)于第三個(gè)問，學(xué)生做起來有一定難度.為了使題目有區(qū)分度，出題人這樣設(shè)置三個(gè)問題無可厚非.但筆者發(fā)現(xiàn)成功做出第三問正確答案的同學(xué)，幾乎都沒有選擇參考答案提供的方法.這引起了筆者的思考，是學(xué)生們的思維方式有問題還是第三問的設(shè)問有問題？下面將學(xué)生的做法呈現(xiàn)如下：

設(shè)AD=AB=a,DC=b.

在Rt△ADC中,根據(jù)勾股定理可得AC2=AD2+DC2=a2+b2;

在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可得BC2=AC2+AB2=2a2+b2;

在Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理可得BD2=BC2+CD2=2a2+2b2.

這種做法很明顯比參考答案更簡潔，學(xué)生也更容易理解，但問題在于如果用這樣方法的話，解答過程中和“比例三角形”這個(gè)概念關(guān)系不大，甚至可以跳脫出這個(gè)題目，單獨(dú)將第三問設(shè)立為一個(gè)獨(dú)立問題：

五、筆者思考

一道題目的設(shè)問，梯度上應(yīng)該是由易到難，層層遞進(jìn).幾個(gè)設(shè)問之間也應(yīng)該是相互呼應(yīng)，考查方向明確而且符合學(xué)生的認(rèn)知水平.基于以上考慮，筆者認(rèn)為，此題第三個(gè)設(shè)問，如果改成

“(3)如圖2，在(2)的條件下，當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，求的值．”是否更自然，合理一些？這樣的更改的話，如果學(xué)生依然沿用“勾股定理”的解法，解答如下：

設(shè)AD=AB=a,DC=b.

在Rt△ADC中,根據(jù)勾股定理可得AC2=AD2+DC2=a2+b2;

在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可得BC2=AC2+AB2=2a2+b2;

發(fā)現(xiàn)無法解答，進(jìn)而在思維困惑下，重新回歸題目，發(fā)現(xiàn)設(shè)AB=x,BC=y.

利用第二個(gè)設(shè)問的結(jié)論，可以得AC2=AB·BC=xy,

在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可得BC2=AC2+AB2.

這樣設(shè)問使得題目更連貫也更符合學(xué)生的認(rèn)知，而且此題的答案是黃金分割知識(shí)中的黃金數(shù)，因而可以在此基礎(chǔ)帶領(lǐng)學(xué)生們進(jìn)一步探究AB和BC的交點(diǎn)O的特殊性.第四個(gè)設(shè)問也應(yīng)運(yùn)而生：交點(diǎn)O是否為線段AB的黃金分割點(diǎn)？交點(diǎn)O是否為線段BC的黃金分割點(diǎn)？

筆者認(rèn)為，“解題”的目的不僅是為找到正確答案，更重要的是搞清問題的來龍去脈，建立學(xué)習(xí)的整體結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).“理解數(shù)學(xué)一理解教學(xué)一理解學(xué)生”，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中逐步達(dá)成“獲得數(shù)學(xué)的基本思想’的目標(biāo)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展思維能力.問題之解此中來,“問題”與“解”才更有價(jià)值.