基于反向精英保留和Levy變異的多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法

梁倩

（哈爾濱商業(yè)大學(xué)，哈爾濱150028）

0 引言

多目標(biāo)優(yōu)化是多準(zhǔn)則決策的一個(gè)領(lǐng)域，它是涉及多個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)優(yōu)化的復(fù)雜問題，它更符合實(shí)際問題的需要。多目標(biāo)優(yōu)化不可能將所有的目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)值，需要再多個(gè)相互制約的目標(biāo)之間做出最優(yōu)決策。因此，對(duì)于多目標(biāo)相關(guān)問題的研究十分必要。

鯨魚優(yōu)化算法的出現(xiàn)相對(duì)較早，因此對(duì)于鯨魚優(yōu)化算法的研究比較全面，包含方法的改進(jìn)與應(yīng)用。趙繼民等人[1]將模糊神經(jīng)PID控制器和優(yōu)化算法進(jìn)行結(jié)合，采用鯨魚優(yōu)化算法去優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和偏差，降低了模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差，將混合的模型用于PID控制器。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，所提出的混合模型性能得到了良好的改善。郝曉弘等人[2]提出了一種混合策略改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法，將混沌映射產(chǎn)生初始種群，在迭代過程中改進(jìn)了收斂因子和慣性權(quán)重，并且變異程度取決于適應(yīng)度方差，阻止算法早熟收斂，研究數(shù)據(jù)表明，改進(jìn)后的算法精度大大提升。伍鐵斌等人[3]提出了一種基于指數(shù)函數(shù)收斂因子的改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法，在算法中加入了旋轉(zhuǎn)操作的精英學(xué)習(xí)機(jī)制，并在其中加入了自適應(yīng)變異策略，降低算法陷入局部最優(yōu)的概率。經(jīng)過驗(yàn)證，改進(jìn)后的鯨魚優(yōu)化算法收斂速度加快，全局尋優(yōu)能力得到強(qiáng)?？字サ热薣4]提出一種將自適應(yīng)權(quán)重和改進(jìn)搜索策略相結(jié)合的鯨魚優(yōu)化算法。在算法中，鯨魚種群的變化會(huì)使得權(quán)重與搜索機(jī)制發(fā)生變化，以適應(yīng)不同的鯨魚種群。經(jīng)仿真結(jié)果表明，所提出的算法在精度和收斂速度上有著顯著優(yōu)勢(shì)。吳澤忠等人[5]結(jié)合對(duì)立學(xué)習(xí)策略、隨機(jī)調(diào)整參數(shù)、正態(tài)變異操作等方法來(lái)改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法，提出了一種基于改進(jìn)螺旋更新位置模型的鯨魚優(yōu)化算法。對(duì)立學(xué)習(xí)策略對(duì)鯨魚每次的進(jìn)化速度得到改善，隨機(jī)調(diào)整控制參數(shù)使鯨魚發(fā)生突變，降低了算法陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)，加入正態(tài)變異和改進(jìn)螺旋更新方法增大了算法的全局搜索能力，數(shù)據(jù)結(jié)果表明，在單峰、多峰以及固定維數(shù)函數(shù)上，改進(jìn)后的算法具有更強(qiáng)的普遍適應(yīng)性和穩(wěn)定性。閆旭等人[6]利用量子物理與優(yōu)化策略改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法，并將改進(jìn)后的算法應(yīng)用在作業(yè)車間調(diào)度的問題上。在仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果上表明，相比于其他算法，所改進(jìn)后的鯨魚優(yōu)化算法在尋優(yōu)成功率上有較明顯的改觀。由以上文獻(xiàn)可以看出，目前對(duì)于鯨魚優(yōu)化算法的研究仍然不夠完善，例如多目標(biāo)問題的研究不夠深入。鯨魚優(yōu)化算法的搜尋機(jī)制在多目標(biāo)領(lǐng)域應(yīng)該也具有較高的應(yīng)用價(jià)值，因此對(duì)于多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法的改進(jìn)仍有許多工作要做。

為了解決鯨魚優(yōu)化算法本身的收斂速度慢，容易陷入局部最優(yōu)的問題，本文對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種反向精英保留和Levy變異相結(jié)合的多目標(biāo)算法。具體改進(jìn)為：首先利用反向精英保留策略[7]對(duì)種群的初始化進(jìn)行篩選，使得算法具有良好的初始分布；并且在種群的迭代過程中使用反向?qū)W習(xí)機(jī)制，能夠擴(kuò)大每次篩選的位置，加快收斂速度；其次引入了種群引導(dǎo)[8]的策略，將種群中最優(yōu)的部分個(gè)體選擇為領(lǐng)導(dǎo)者，其他個(gè)體根據(jù)這個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者進(jìn)行移動(dòng)，為算法后期迭代產(chǎn)生均勻分布打下基礎(chǔ)。在測(cè)試函數(shù)實(shí)驗(yàn)下，各項(xiàng)指標(biāo)都表明改進(jìn)后的算法有較強(qiáng)的尋優(yōu)能力；最后在算法的迭代過程中加入了Levy變異[9]的策略，以避免過早的收斂于局部最優(yōu)。

1 基本知識(shí)

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題

一個(gè)具有n個(gè)維度的決策變量和M個(gè)維度的目標(biāo)函數(shù)的問題就可以被描述為以下的模型：

其中，X=[ ]x1,x2,…,xn是一個(gè)n維空間中的決策變量，Y=[ ]y1,y2,…,ym是m維空間中的目標(biāo)量，而[low1,low2,…,lown]和[ ]up1,up2,…,upn是分別是決策變量的下限和上限。

解x優(yōu)于解y，在所有的目標(biāo)函數(shù)上x都小于等于y，并且至少在一個(gè)目標(biāo)函數(shù)上，x是嚴(yán)格優(yōu)于y，記為x?y。在解集合中，不存在任何一個(gè)解嚴(yán)格優(yōu)于當(dāng)前解，這樣的解被稱為帕累托最優(yōu)解。由帕累托最優(yōu)解構(gòu)成的集合被稱為帕累托最優(yōu)解集。所有的帕累托最優(yōu)解集所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值就是帕累托前沿。

1.2 鯨魚優(yōu)化算法

鯨魚優(yōu)化算法[10]的核心思想是鯨魚捕食時(shí)按照某種規(guī)則進(jìn)行位置的移動(dòng)，最優(yōu)鯨魚對(duì)其他鯨魚有引導(dǎo)的作用，并根據(jù)數(shù)學(xué)模型所提供的位置更新公式更新每頭鯨魚的位置。所有的鯨魚進(jìn)行移動(dòng)后，更新相應(yīng)位置的適應(yīng)度值，當(dāng)達(dá)到最終的迭代次數(shù)，迭代停止。

自然界中，鯨魚群能夠準(zhǔn)確識(shí)別獵物的位置并包圍它。而在解決實(shí)際問題中并不能預(yù)知最優(yōu)的解，因此在鯨魚優(yōu)化算法中，總是將當(dāng)前群體中的具有最優(yōu)適應(yīng)度的鯨魚視為最優(yōu)個(gè)體，群體中其他鯨魚個(gè)體均向最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行包圍，其位置更新公式為：

其中，t代表當(dāng)前迭代次數(shù)，Xbest(t)表示當(dāng)前鯨魚中最優(yōu)鯨魚的位置，X(t)=(x1,x2,x3,…,xd)代表當(dāng)前候選鯨魚的位置。A和C代表系數(shù)向量，定義為：

其中，r1和r2是[0，1]上的隨機(jī)數(shù)。a為收斂因子，隨著迭代次數(shù)線性從2遞減到0。a的計(jì)算公式如下：

其中，tmax是最大迭代次數(shù)。

此外，鯨魚的行為還包含螺旋更新這一階段，這一行為用一下數(shù)學(xué)模型進(jìn)行表示：

其中，D= |Xbest(t)-Xt|代表當(dāng)前鯨魚與最優(yōu)鯨魚的距離，b是螺旋程度的參數(shù)，l是[-1，1]之間的隨機(jī)數(shù)。鯨魚的包圍獵物的行為可以分為以上兩種，為了實(shí)現(xiàn)這兩種行為的同時(shí)發(fā)生，引入P為發(fā)生概率，當(dāng)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)大于P時(shí)，發(fā)生收縮包圍；當(dāng)隨機(jī)數(shù)小于P時(shí)，發(fā)生螺旋更新行為，在優(yōu)化過程中，P一般設(shè)置為0.5。

除了以上的包圍食物的行為外，鯨魚也可隨機(jī)搜尋食物。在搜尋食物中，鯨魚之間可根據(jù)相互之間的位置進(jìn)行更新位置，數(shù)學(xué)模型表達(dá)為：

其中，Xrand(t)代表隨機(jī)從鯨魚中選擇的個(gè)體單位。

鯨魚優(yōu)化算法的完整流程為：首先在搜索空間中隨機(jī)生成N個(gè)鯨魚的位置，之后進(jìn)行種群的位置更新過程，根據(jù)當(dāng)前種群中最優(yōu)鯨魚的位置或者隨機(jī)選擇的鯨魚位置進(jìn)行更新，之后再根據(jù)概率P選擇是螺旋更新還是包圍更新公式，直至整個(gè)算法的迭代次數(shù)完成或者達(dá)到停止條件。

2 反向精英保留和Levy變異的多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法（RLMOWOA）

2.1 帕累托等級(jí)排序

通過非支配排序?qū)⒎N群數(shù)為N的種群分類為分級(jí)的帕累托前沿。首先將種群中所有的帕累托前沿求出，標(biāo)記帕累托前沿等級(jí)為1。之后將帕累托等級(jí)為1的個(gè)體忽略，在剩下的個(gè)體中求帕累托前沿，并記錄帕累托等級(jí)記為2，之后循環(huán)進(jìn)行，直至將所有的解都分類。通過引入帕累托等級(jí)[11]和擁擠度的計(jì)算，能夠?qū)⑺械慕膺M(jìn)行排序，以便在種群混合時(shí)能夠選擇出較優(yōu)的前N個(gè)解。

2.2 擁擠距離

用來(lái)描述非支配解分布的特征，以便選出帕累托最優(yōu)集合中的10%的優(yōu)質(zhì)解。在帕累托解集中，每個(gè)非支配解都有一個(gè)擁擠距離，來(lái)表示離它最近的非支配解在各個(gè)目標(biāo)函數(shù)維度上的距離之和。擁擠距離值越大說(shuō)明離當(dāng)前解最近的帕累托解位置較遠(yuǎn)，即帕累托解分布較為稀疏。相反，擁擠距離越小說(shuō)明離當(dāng)前解最近的帕累托解位置較近，也即帕累托解越密集。引入擁擠距離目的是可以通過當(dāng)前帕累托最優(yōu)解的分布情況來(lái)選擇最優(yōu)帕累托解，以引導(dǎo)種群向更均勻分布解進(jìn)化。在帕累托前沿中的邊界解中，擁擠距離被設(shè)定為inf，其他解的擁擠距離的計(jì)算公式如下:

其中，I[i-1].m表示非支配解集I中將第m個(gè)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行排序后，僅次于該i解的第m維目標(biāo)函數(shù)值，fmmax和fmmin分別表示第m個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的最大值和最小值。

2.3 反向精英保留機(jī)制

為了更好地學(xué)習(xí)反向?qū)W習(xí)機(jī)制，首先來(lái)解釋反向點(diǎn)的概念，圖1顯示了a的反向點(diǎn)z。

圖1 反向點(diǎn)

一維標(biāo)量a的上下限分別是Zmax和Zmin，則稱Zmin+Zmax-a為向量a的反向點(diǎn)。在高維向量中，每個(gè)維度均采用這種方法獲得的點(diǎn)為反向點(diǎn)。在每次位置更新后，求出所有解的反向點(diǎn)，將所有的反向點(diǎn)種群和當(dāng)前解種群混合。根據(jù)帕累托等級(jí)和擁擠距離選擇前N個(gè)個(gè)體作為當(dāng)前這一代的位置更新，優(yōu)先選擇帕累托最優(yōu)解上的個(gè)體，當(dāng)帕累托等級(jí)相同時(shí)選擇位置比較稀疏的個(gè)體。本文不僅在種群初始化中應(yīng)用反向?qū)W習(xí)機(jī)制，還將反向?qū)W習(xí)機(jī)制應(yīng)用于鯨魚的迭代更新過程。

2.4 Levy變異

Levy分布是法國(guó)著名數(shù)學(xué)家萊維提出的概率分布，在自然界中有許多的飛行動(dòng)物的飛行軌跡都遵循Levy分布。在Levy分布的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了Levy飛行，它是一種長(zhǎng)短步相間的飛行方式，這種隨機(jī)的飛行方式使得飛行動(dòng)物的運(yùn)行軌跡范圍加大，找到食物的概率也相應(yīng)增加。目前這種變異方式已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各種優(yōu)化領(lǐng)域，Levy變異的更新公式是：

其中，α是步長(zhǎng)比例因子，xti代表第t代第i維的位置，⊕代表點(diǎn)對(duì)點(diǎn)乘法，Levy(β)代表服從參數(shù)為β的Levy分布的隨機(jī)數(shù)。Levy的計(jì)算方法如下：

其中，u和v均服從正態(tài)分布，定義為：

β的取值范圍一般是（1，3]，本文中β取1.5。

2.5 種群引導(dǎo)

由于鯨魚優(yōu)化算法需要定義最優(yōu)鯨魚的位置作為領(lǐng)導(dǎo)者，引導(dǎo)其他的鯨魚大致的移動(dòng)方向，因此最優(yōu)解的選取對(duì)于種群的進(jìn)化至關(guān)重要。但是由于偶然性的存在，有時(shí)最優(yōu)解的選擇并不夠合格，并且全局最優(yōu)解只局限于某個(gè)固定的解比較片面，最優(yōu)解應(yīng)該是從多個(gè)較優(yōu)解中隨機(jī)選擇。本文所提出的種群引導(dǎo)正是基于這樣的目的，每次從帕累托等級(jí)為1的個(gè)體中選取10%作為最優(yōu)解的集合，每個(gè)鯨魚在向最優(yōu)鯨魚移動(dòng)時(shí)從最優(yōu)10%中隨機(jī)選取一個(gè)作為目標(biāo)，經(jīng)過種群引導(dǎo)方式所獲得的解擁有更均勻的分布。

2.6 算法流程

本文提出的算法為反向精英保留和Levy變異的多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法。首先通過反向精英保留制度來(lái)初始化種群，利用種群中帕累托解中的10%作為引導(dǎo)者進(jìn)行位置更新，更新位置后的種群為候選種群，結(jié)合反向精英保留機(jī)制產(chǎn)生候選反向種群，混合候選種群和候選反向種群選擇前N個(gè)個(gè)體作為子代解，并以一定的概率產(chǎn)生Levy變異，將最終產(chǎn)生的子代與父代混合，根據(jù)帕累托等級(jí)和擁擠度篩選出較優(yōu)解進(jìn)入下一代。此過程不斷進(jìn)行直至最大迭代次數(shù)。

算法1 RLMOWOA算法

輸入：種群數(shù)量，最大迭代次數(shù)，突變概率。

輸出：帕累托最優(yōu)解。

步驟1初始化種群并計(jì)算反向點(diǎn)及其適應(yīng)度值；

步驟2將初始種群與反向種群合并后計(jì)算帕累托等級(jí)和擁擠距離。根據(jù)帕累托等級(jí)和擁擠度選取前N個(gè)個(gè)體作為初始種群；

步驟3從帕累托前沿個(gè)體中選擇10%作為種群引導(dǎo)；

步驟4將所有的鯨魚根據(jù)條件進(jìn)行位置更新，選擇最優(yōu)解為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)從10%中隨機(jī)選擇；

步驟5計(jì)算候選反向種群與當(dāng)前候選種群混合后的擁擠度，根據(jù)帕累托等級(jí)和擁擠度選擇前N個(gè)個(gè)體作為子代；

步驟6對(duì)種群中每個(gè)鯨魚產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)隨機(jī)數(shù)小于p時(shí)對(duì)該鯨魚位置進(jìn)行Levy變異；

步驟7將子代與父代進(jìn)行合并，重新計(jì)算帕累托等級(jí)和擁擠距離，根據(jù)步驟2的篩選規(guī)則選擇前N個(gè)個(gè)體進(jìn)入下一代，以保證種群數(shù)量維持不變；

步驟8判斷是否滿足最大迭代次數(shù)，不滿足最大迭代次數(shù)則重新執(zhí)行步驟3-步驟8。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為了進(jìn)一步測(cè)試所提出的改進(jìn)后的多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法，本文選取了四種算法與RLMOWOA進(jìn)行比較，分別是多目標(biāo)粒子群算法[12]（MOPSO）、多目標(biāo)布谷鳥算法[13]（MOCS）、非支配快速排序遺傳算法[14]（NSGAⅡ），經(jīng)典多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化（MOWOA）[15]，在兩個(gè)目標(biāo)的測(cè)試函數(shù)ZDT1、ZDT3[16]，以及三個(gè)目標(biāo)函數(shù)的VNT2、VNT3[17]函數(shù)上進(jìn)行測(cè)試。多個(gè)維度目標(biāo)函數(shù)對(duì)于帕累托前言的求解帶來(lái)的困難成幾何倍數(shù)增長(zhǎng)，無(wú)論是時(shí)間復(fù)雜度還是空間復(fù)雜度難度都會(huì)有所上升，但是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明MOWOA的表現(xiàn)依舊出色。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為32位Win7系統(tǒng)，CPU為Intel Core i3 4170，內(nèi)存為8GB，編程語(yǔ)言為MATLAB 2018a。每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行25次并記錄每個(gè)指標(biāo)的均值與方差。

3.2 性能指標(biāo)

（1）反轉(zhuǎn)世代距離

反轉(zhuǎn)世代距離（Inverted Generational Distance，IGD）[18]每個(gè)從真實(shí)帕累托前沿上獲取的參考點(diǎn)到最近的算法所求得的解的距離的平均值。

其中，P為分布在真實(shí)帕累托前沿上的點(diǎn)的集合，|P|代表集合P中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，Q為算法獲取的帕累托最優(yōu)解的集合，d(v,Q)代表v到集合Q中的點(diǎn)的最小歐氏距離。當(dāng)算法獲得的解比較集中時(shí)，d(v,Q)的值較大，導(dǎo)致整個(gè)IGD值較大。當(dāng)獲得的解離帕累托真實(shí)前沿比較遠(yuǎn)時(shí)，求和之后的參考點(diǎn)到獲得的解之間的距離之和則會(huì)相對(duì)較大。因此IGD能夠同時(shí)評(píng)價(jià)多樣性和收斂性。IGD值越小越說(shuō)明算法所求的解離真實(shí)帕累托前沿越近或者解的分布越均勻。

（2）超體積指標(biāo)

超體積指標(biāo)（Hypervolume，HV）[19]算法獲得的非支配解集與參照點(diǎn)圍成的目標(biāo)空間中區(qū)域的體積。

其中，δ表示Lebesgue測(cè)度，用來(lái)測(cè)量體積。|S|表示非支配解集的數(shù)目，vi表示參照點(diǎn)與解集中第i個(gè)解構(gòu)成的超體積。HV值越大算法的綜合性能越好。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

（1）種群引導(dǎo)、Levy變異、反向精英保留機(jī)制的驗(yàn)證

為了進(jìn)一步體現(xiàn)算法中引入種群引導(dǎo)，Levy變異和反向精英保留機(jī)制的作用，本文將所提出的算法與經(jīng)典的多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比。在ZDT1、ZDT3和ZDT6測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)采用控制變量法，相同測(cè)試函數(shù)在不同的算法下的迭代次數(shù)相同，以便觀察出所做出的改進(jìn)對(duì)算法的提升。實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別運(yùn)行30次，取各個(gè)指標(biāo)的均值進(jìn)行比較，記引入種群引導(dǎo)改進(jìn)的算法為PG-MOWOA，引入Levy變異改進(jìn)的算法為L(zhǎng)-MOWOA，引入反向精英保留機(jī)制的算法為R-MOWOA。在各對(duì)比圖中，經(jīng)典的多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法記為MOWOA。各實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖如圖2-圖4所示。

圖2 種群引導(dǎo)的對(duì)比圖

在ZDT3測(cè)試函數(shù)中，經(jīng)典MOWOA在多次運(yùn)行后的IGD和HV的均值分別是3.493E-01，5.004E-01，引入改進(jìn)后的算法PG-MOWOA均值分別是6.112E-03、5.866E-01，種群引導(dǎo)對(duì)算法的提升效果十分明顯。結(jié)合圖2可以看出，未引入種群引導(dǎo)的經(jīng)典MOWOA所求的帕累托前沿還未完全收斂于真實(shí)帕累托前言，并且所求帕累托前言之間的分布在左上角比較密集，右下相對(duì)稀疏。而PG-MOWOA所求的帕累托前沿分布均勻，這驗(yàn)證了種群引導(dǎo)對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化算的提升。

在ZDT6測(cè)試函數(shù)中，經(jīng)典MOWOA的IGD和HV的均值分別是1.955E-02、3.731E-01，引入改進(jìn)后的L-MOWOA的均值分別是3.879E-03、3.881E-01，Levy變異的引入使得各指標(biāo)值都有了改善。從圖3可以看出，L-MOWOA算法仍有部分點(diǎn)并未收斂于真實(shí)帕累托前言，這些點(diǎn)已經(jīng)陷入局部最優(yōu)，而Levy變異的引入完美的解決了這個(gè)問題，從而使算法的全局尋優(yōu)能力得到大幅提升。

圖3 Levy變異的對(duì)比圖

在ZDT1的測(cè)試函數(shù)中，經(jīng)典的MOWOA算法的IGD和HV的均值分別是2.546E-01、4.932E-01，引入改進(jìn)后R-MOWOA算法的均值分別是6.728E-03、7.163E-01。從圖4也可以看出，反向精英保留機(jī)制的引入對(duì)算法有著一定程度的提升。在算法中，反向精英保留機(jī)制不僅在種群初始化中引入，也在種群的更新迭代過程中得到應(yīng)用。初始化時(shí)的引入使得算法的初始分布更加全面，便于種群的進(jìn)化，迭代更新過程中的應(yīng)用使算法每次搜索范圍更廣，加快了收斂的速度。

圖4 反向精英保留機(jī)制的對(duì)比圖

（2）與其他算法的比較

從IGD指標(biāo)來(lái)看，RLMOWOA算法在ZDT系列測(cè)試函數(shù)上的表現(xiàn)比較好，在ZDT1上的IGD指標(biāo)達(dá)到了4.895E-03，比其他算法性能高很多，并且方差也達(dá)到了最小值，為4.051E?04。在ZDT2上的表現(xiàn)也十分優(yōu)秀，IGD均值為5.478E-03，方差也穩(wěn)定在3.541E?04左右。RLMOWOA在三個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的VNT系列測(cè)試函數(shù)上的表現(xiàn)雖然達(dá)到了最優(yōu)值，但性能提升并不大，在VNT2上的IGD指標(biāo)為1.798E-02，相比于其他四種算法的提升就顯得并不突出，但在VNT2上的方差較小，為7.371E?04，表現(xiàn)相對(duì)穩(wěn)定。在VNT3上的IGD指標(biāo)僅為4.401E-02，方差相對(duì)較大，僅有微弱的提升效果。總體來(lái)說(shuō)，RLMOWOA相比于另外四種算法有著不錯(cuò)的優(yōu)勢(shì)。

從HV指標(biāo)上來(lái)看，RLMOWOA算法在ZDT系列測(cè)試函數(shù)上的表現(xiàn)較好，在VNT系列測(cè)試函數(shù)上則表現(xiàn)平庸。經(jīng)典MOWOA的HV在ZDT1上的均值達(dá)到了6.799E-01，而OPMOWOA均值方差分別是7.194E-01、4.246E?04，均值和方差均達(dá)到了更高的水平。并且在ZDT2上也有著同樣的表現(xiàn)。可見RLMOWOA在MOWOA得基礎(chǔ)上得到了顯著的提升。在VNT2測(cè)試函數(shù)上，RLMOWOA算法并未達(dá)到最優(yōu)，但是五種算法的指標(biāo)值都相差不大，性能表現(xiàn)相近。這是由于不同的指標(biāo)表現(xiàn)不同方面的性能，單純的用HV指標(biāo)來(lái)衡量算法的優(yōu)劣不夠充分，IGD的指標(biāo)充分驗(yàn)證了這一點(diǎn)。在VNT3上，RLMOWOA的HV值達(dá)到了最大值，為1.842E-01，相比于其他算法提升也并不明顯，但從穩(wěn)定性上來(lái)看，RLMOWOA達(dá)到了最小，僅為6.274E?05，這種穩(wěn)定的表現(xiàn)使得算法有一定的優(yōu)勢(shì)。

表1 IGD值

表2 HV值

ZDT3 VNT2 VNT3 4.518E-02±2.182E-02 2.017E-00±9.641E-02 1.838E-01±1.410E-04 2.147E-02±3.303E-02 2.033E-00±9.275E-03 1.840E-01±1.000E-04 5.790E-01±1.778E-02 2.038E-00±3.473E-03 1.841E-01±1.130E-04 5.319E-01±1.146E-01 2.015E-00±4.387E-02 1.839E-01±1.729E-04 5.830E-01±1.792E-04 1.983E-00±5.979E-02 1.842E-01±6.274E-05

4 結(jié)語(yǔ)

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來(lái)臨，多樣化的信息數(shù)以萬(wàn)計(jì)的產(chǎn)生，多目標(biāo)優(yōu)化問題越來(lái)越多，各種約束條件越來(lái)越復(fù)雜，搜索空間也越來(lái)越大，這對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化而言是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)，也是一個(gè)發(fā)展的機(jī)遇。本文所提出的多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法將反向精英保留機(jī)制應(yīng)用到產(chǎn)生初始解和迭代進(jìn)化，將帕累托最優(yōu)解集中的優(yōu)質(zhì)解用于種群的進(jìn)化引導(dǎo)，再應(yīng)用帕累托等級(jí)排序和擁擠度距離對(duì)種群進(jìn)行排序，以便選出前N個(gè)個(gè)體維持種群數(shù)量的穩(wěn)定，最后在鯨魚捕食和移動(dòng)的過程中增加Levy變異。研究數(shù)據(jù)結(jié)果表明，本文的RLMOWOA算法相對(duì)于其他四種算法在IGD和HV上都有著顯著的優(yōu)勢(shì)，三種改進(jìn)機(jī)制的引入極大改善了算法的全局尋優(yōu)能力，證明了多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法有著較大的探索價(jià)值。未來(lái)的研究工作將從以下兩個(gè)方面進(jìn)行：①研究RLMOWOA與其他模型的結(jié)合，將多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法應(yīng)用到模型中去改善其他模型的不足。②對(duì)多目標(biāo)鯨魚優(yōu)化算法進(jìn)行多方面的改進(jìn)，使其適應(yīng)未來(lái)更加復(fù)雜的多目標(biāo)問題。