跳頻信號參數(shù)估計的核函數(shù)優(yōu)化及仿真*

孫文璐

（陸軍工程大學，江蘇 南京 210001）

0 引 言

跳頻通信技術是軍事通信系統(tǒng)中一種常用的通信技術，也是我軍開展軍事偵察任務時必須考慮的一類通信手段。本文主要針對跳頻信號的頻點、跳頻周期和跳頻時刻等參數(shù)的估計方法進行研究，重點改進了在模糊函數(shù)域中，濾除交叉項所使用的核函數(shù)，旨在進一步提升低信噪比環(huán)境下的跳頻信號參數(shù)估計的成功率，降低各參數(shù)的估計誤差，為后續(xù)的通信干擾等工作打好基礎。

1 問題描述

跳頻信號是一種常見的非平穩(wěn)信號，它的載波頻率一般按照收發(fā)雙方事先約定的規(guī)律隨時間周期性跳變。單個跳頻信號在獨立的跳頻周期內(nèi)具有載波頻率恒常的特點，所有可能的載波頻率（也稱頻點）的集合就是這個跳頻信號的頻率集合。跳頻信號的時域波形函數(shù)[1]為：

式中：s0(t)表示跳頻信號每一跳的信號分量；T表示整個觀測時長；TH表示一個跳頻周期；αTH表示頻率跳變時刻；fk表示第k跳的載波頻率。

跳頻信號的參數(shù)估計，通常是指估計跳頻信號的頻點、跳頻周期和頻率跳變時刻等參數(shù)。本文針對這3個參數(shù)的估計算法進行了研究。

2 基于模糊函數(shù)的核函數(shù)設計

分析一個跳頻信號的時頻域特征，通常將該信號的解析信號轉換到時頻域中，再對其時頻分布進行分析。根據(jù)解析信號的定義，跳頻信號s(t)的解析信號x(t)可寫作：

解析信號x(t)的維格納-威爾分布（Wigner-Ville Distributions，WVD）一般定義為[2]：

式中：x*(t)表示x(t)的復共軛函數(shù)。

跳頻信號的WVD是在時頻域對其解析信號的雙線性變換作關于τ的快速傅里葉變換（F ast Fourier Transform，F(xiàn)FT），表示的是原有信號在時頻域的能量分布情況，如果對解析信號x(t)的雙線性變換作關于t的FFT，即

則可獲得信號在時偏和頻偏平面（又稱相關域）的能量分布情況，該函數(shù)被稱為信號的模糊函數(shù)[3]。根據(jù)定義可知，WVD與模糊函數(shù)可通過二維FFT進行轉化。

維格納分布的優(yōu)勢在于能夠比其他時頻分析方法更準確地保留跳頻周期和頻點參數(shù)，但其也具有明顯的缺陷，即存在大量的交叉項干擾。為了克服WVD中的交叉項干擾，通常需要在模糊函數(shù)域內(nèi)設計一種核函數(shù)，對模糊函數(shù)中的交叉項進行濾除[4]。由于跳頻信號的載波頻率具有短時恒常的特點，其模糊函數(shù)能量通常呈現(xiàn)出自項圍繞原點集中分布，而交叉項遠離原點分散且關于原點中心分布的特點[5]。利用能量分布的這一特性，選擇合適的核函數(shù)即可有效濾除大部分的交叉項分量。

對信號的模糊函數(shù)作加權的二維FFT，即

式（6）表示信號在時頻域的能量分布函數(shù)，其中的加權函數(shù)被稱為核函數(shù)。核函數(shù)的設計應當做到在盡量保留自項的同時，濾除最多的交叉項。因此當核函數(shù)趨近完美時，重構出的時頻域能量函數(shù)應當趨近于跳頻函數(shù)WVD的自項分量。

本文在前人基礎上提出一種優(yōu)化的核函數(shù)。現(xiàn)將其定義為：

式中：a、b、c、d為自適應參數(shù)。c=d=1時，此核函數(shù)退化為前人設計的核函數(shù)[6]，可以看做是本研究中優(yōu)化后的核函數(shù)的一個特例。接下來對4個參數(shù)進行分析。

由于rect(·)控制時延方向的核函數(shù)寬度，當頻偏為0時，時延軸只存在自項，因此參數(shù)b的取值為2TH時，能最多地保留自項分量。參數(shù)c、d決定了核函數(shù)的弧度，與a參數(shù)共同決定了核函數(shù)的紋理與形狀。由于Sa(·)在頻域是振蕩函數(shù)，核函數(shù)與a、b、d這3個參數(shù)并不存在單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的關系，因此需要引入一種評價核函數(shù)優(yōu)劣的評價機制。

3 基于熵測度評價的核函數(shù)優(yōu)化

在時頻域，一個信號的時頻聚集性越強，其能量則更貼合信號真實的時頻位置；而在時頻聚集性相同，信號時頻分布的交叉項能量越小，則時頻分布的能量也能更多地集中在真實的信號項附近。因此，無論是時頻聚集性，還是交叉項的嚴重程度，都可以通過時頻平面上能量分布的稀疏性加以描述。信息熵能夠非常好地判斷時頻分布的稀疏程度，進而評價時頻分布的優(yōu)劣。對于同一信號，通常希望其時頻分布的信息熵盡量小。

當核函數(shù)參數(shù)取最優(yōu)解時，能量域信息熵可以獲得最小值[7]。這里使用一種歸一化Renyi熵[8]對能量域進行不確定性測定。離散類時頻分布的歸一化α階Renyi熵的定義如下：

式中：n=1,2,3,…,N；N表示時域采樣點數(shù)；k=1,2,3,…,K；K表示頻域采樣點數(shù)；P(n,k)表示點處的能量。當α＞1且α為奇數(shù)時，Renyi熵均可正確反映信號時頻域能量分布的集中情況：為了降低運算量，通常α可取3，此時信號的3階Renyi熵可以(n,k)寫為：

4 估計跳頻信號的參數(shù)

計算核函數(shù)參數(shù)取不同值時，能量域的Renyi熵，熵越小時對應的核函數(shù)參數(shù)就越接近最佳核函數(shù)參數(shù)，選擇熵出現(xiàn)最小值時的核函數(shù)參數(shù)對跳頻信號參數(shù)進行估計。參數(shù)估計算法的具體步驟如下：

（1）根據(jù)式（5），計算出跳頻采樣信號的解析信號 x(t)對應的窄帶模糊函數(shù) Ax(τ,ν)；

（2）根據(jù)式（7）預置核函數(shù)并通過遍歷等方法尋找能使式（9）中熵取得最小值的核函數(shù)參數(shù)；

（3）按照式（6）重構出跳頻信號的WVD函數(shù)Px(t,f)；

（4）計算重構出的WVD函數(shù)在每一個采樣時刻n上沿頻率軸的能量最大的2%的能量值之和，獲得矢量y(n)；

（6）將y(n)出現(xiàn)波峰的位置記為p(m)，m=1,2,3,…,k，k為峰值的個數(shù)；

（7）估計跳變時刻：先求出峰值出現(xiàn)的平均位置：

再求出頻率跳變時刻：

（8）估計跳頻信號的頻率集：

式中：l=1,2,3,…,L；L表示估計出的跳頻頻點個數(shù)。

5 仿真實驗

為了驗證優(yōu)化后的核函數(shù)在跳頻信號參數(shù)估計中的有效性，現(xiàn)對該算法進行仿真。已知一段跳頻信號，其頻點為0.52 kHz、1.5 kHz、0.24 kHz、1.82 kHz、0.82 kHz、2.24 kHz、1.20 kHz， 采 樣 頻率10 kHz，跳頻周期為0.05 s，跳頻時刻為0.02 s，采樣時間0.35 s。原始跳頻信號的WVD圖像如圖1所示，可以清晰地看見時頻能量域存在大量的交叉項，雖然很難直接將交叉項與自項直接區(qū)分開，但WVD的時域邊緣分辨率高的優(yōu)勢非常明顯。

現(xiàn)分別在信噪比SNR=15 dB和SNR=-3 dB的環(huán)境下，進行跳頻信號參數(shù)估計的仿真實驗。

當SNR=15 dB時，信號的模糊函數(shù)如圖2所示，圖中信號的自項主要集中分布在模糊函數(shù)域的原點附近，且能量幅值較大，而大量交叉項則呈現(xiàn)出遠離模糊函數(shù)域原點的對稱分布。現(xiàn)將核函數(shù)參數(shù)設計為a=4、b=119、c=1、d=1，對跳頻信號的模糊函數(shù)用核函數(shù)加權后，如圖3所示，遠離原點的大部分交叉項可以直接濾除，但自項附近依然存在殘留的交叉項。將模糊函數(shù)域的能量分布進行二維FFT，使其轉換到時頻分布域，如圖4所示。即可清晰地觀察到時頻域內(nèi)信號的能量分布情況，由圖4可以看出信號有6個完整的跳及1個不完整的跳。將圖4與圖1對比后發(fā)現(xiàn)，信號的跳頻周期及各跳對應的頻點相對準確。由信號在各時刻的沿頻率軸的能量峰值圖像（圖5）可以較為準確地讀取該跳頻信號的跳頻周期及各頻點，同時也可以計算出跳頻時刻為0.02 s。

當SNR=-3 dB時，信號的WVD圖像如圖6，與原始信號的WVD圖像相比，前者的自項與交叉項出現(xiàn)了嚴重的混疊現(xiàn)象，難以直接分辨。現(xiàn)將核函數(shù)參數(shù)設定為a=3、b=119、c=0.05、d=1.2，獲得加核函數(shù)后的信號模糊函數(shù)如圖7所示，進行二維傅里葉變換后如圖8所示，可以看出較為模糊的跳頻信號時頻圖像，再將圖像重構到時間-能量圖上時，如圖9所示，信號的跳頻周期、頻點及跳頻時刻等參數(shù)均無法直接從圖像中獲取。此時對根據(jù)跳頻信號參數(shù)估計的過程，最終恢復出跳頻周期為0.049 s，頻點為0.528 kHz（+0.008 kHz）、1.495 kHz（-0.005 kHz），0.254 kHz（+0.014 kHz）、1.822 kHz（+0.002 kHz），0.802 kHz（-0.018 kHz）、2.223 kHz（-0.017 kHz）、1.260 kHz（+0.006 kHz），跳頻時刻為0.022 s。

為了驗證新設計的核函數(shù)比原核函數(shù)具有更優(yōu)化的性能，現(xiàn)分別計算兩個核函數(shù)的3階Renyi熵與信噪比的關系圖。如圖10，當原始跳頻信號完全相同時，分別計算a階Renyi熵；當熵相同時，在0 dB附近，優(yōu)化的核函數(shù)可以獲得3 dB至5 dB的性能增益。

6 結 語

跳頻信號使用WVD方法進行參數(shù)估計時，最亟需解決的就是交叉項濾除的問題。本文提出的優(yōu)化的核函數(shù)是前人研究基礎上，受跳頻信號自項具有時域有限支撐、頻域無限拓展的特性啟發(fā)[9]，將原有核函數(shù)中的一次函數(shù)優(yōu)化為平滑的可變冪函數(shù)，使核函數(shù)形狀與信號自項更貼合，從而保留更多自項并濾除更多的交叉項。

本文中提出的核函數(shù)，依然存在進一步優(yōu)化的空間，例如將函數(shù)設計為自適應核函數(shù)，將認為改變核函數(shù)參數(shù)優(yōu)化為根據(jù)信號特點主動優(yōu)化參數(shù)。另外，雖然在本算法中使用優(yōu)化后的核函數(shù)比原算法獲得了3 dB以上的性能提升，但其使用范圍依然局限于高信噪比的環(huán)境中，在-10 dB以上的較低信噪比區(qū)間，能量峰值的個數(shù)及位置均不夠準確，需要進一步辨別優(yōu)化。-10 dB以下的低信噪比環(huán)境，幾乎無法使用此算法準確地重構跳頻信號的WVD并估計跳頻、跳速及跳頻時刻等參數(shù)。因此，在低信噪比環(huán)境下，如何改進時頻分析類算法來估計跳頻信號的參數(shù)，依然是一個艱難的挑戰(zhàn)。