數學再發現教學法示例評析

文∣何瑞霖 熊向軍 馬弘斌 李道生

現行數學教材給出的數學體系是一門系統的演繹科學，它直接給出發現的結果而隱去了發現的過程，然而發現過程可以加深對知識的理解和記憶，特別是可以有效地發展創新思維能力。因此，如何從數學思維的結果出發，回溯數學發現思維過程，就成為設計教學程序的一個重要課題。

一、再發現教學法教學案例

再發現教學法亦稱假設法和探究法，是指教師在學生學習概念和原理時，不是將學習的內容直接提供給學生，而是向學生提供一種問題情境，給學生一些事實和問題，讓學生積極思考、獨立探究，自行發現并掌握相應的原理和結論的一種方法。再發現教學不是把現成的理論直接提供給學生，而是從青少年好奇、好問、好動的心理特點出發，由教師提供材料并引導學生發現、回答和解決問題，使他們成為知識的發現者，而不是消極的接受者。

下面以“圓面積公式”再發現教學的實施過程為例，具體說明數學發現的一般思維過程及如何設計再發現教學程序，引導學生進行探索性思維活動。

精心創設問題情境，將學生的注意力和興趣引至數學知識的探究活動中。教師提出和明確使學生感興趣的問題，給出“發現”的明確任務和目標，使學生面臨認知矛盾，引起學生求知探索的動力。教師在提出要求、給出假設后，需要進一步設置情境，激發學生的認知“矛盾”，進而提供解決問題的各種假設。

【教學片段1】

師：圓面積公式這是大家早已熟悉的，但它是怎樣得出來的？你們知道嗎?

生：在小學，我們學過圓面積公式的推導方法。將圓分成若干等份，再拼接成近似矩形，即可由矩形面積公式S=ab得出圓面積公式S=πR2。

師：對，這里運用“轉化”的思想，通過分割、拼接，將未知面積公式的圓轉化為已知面積公式的矩形，由此發現圓面積公式，其過程見圖1。

分析以上過程，教師會問,數學家如何想到將圓分成2n等份(而不是2n+1等份)?又如何想到將此2n等份按兩個半圓(各n等份)展開、對接？實際上，如此“發現過程”并不是數學家真實的思維過程，是人為設計的一種“發現式教學程序”，是已知圓的面積公式的前提下，有目的、有意識地拼接[S=πR2=(πR)R]，不能作為圓面積公式再發現的真實的思維過程。類似的還有：發現“三角形內角和定理”的“剪拼法”；發現“勾股定理”的“度量法”等。

【教學片段2】

圖2

=πR2

師：還有其他方法獲得圓的一部分嗎？你見過其他形式的圓的一部分嗎？

生：圓環！在小學六年級的數學習題中經常見到這類圖形。

師：對，圓環是圓挖去一個同心小圓后的剩余部分，現在的問題是，若發現了圓環面積的計算公式，就能由此發現圓面積的計算公式嗎？

生：能。因為當圓環的內圓縮成一點時，圓環就變成了圓，也就是說，圓可看作是內圓周長為零的圓環。因此，發現了圓環面積的計算公式也就同時發現了圓的面積計算公式。

師：這一特征你能產生什么聯想，你能發現其面積嗎?

生：我發現了！圖3中圓環的面積應等于中間的寬度AB乘以它掃過一周的周長C，C應取正中間那一個圓的周長。即

圖3

=π(R-r)(R+r)

=π(R2-r2)

師：你能解釋一下，你作出這一猜想的理由嗎？

生：說不清楚，但我總感到只有這樣計算才合理些。

再發現教學法強調直覺思維,直覺思維與分析思維不同，它不根據仔細規定好了的步驟，而是采取躍進、越級和走捷徑的方式來思維，就是要求學生在學習過程中不要用正常邏輯思維的方式進行思維，而是要運用學生豐富的想象，發展學生的思維空間，去獲取更多的知識。

【教學片段3】

師：圓環的特征——中間寬度處處相同，還有什么圖形與圓環有類似特征？

生：平行線。

師：對，平行線中間距離處處相等。由此我們可以聯想，AB繞圓環一周，正好相當于AB沿平行線l1、l2掃過一段路程a，如圖4所示。而后者的面積為AB乘以掃過的路程a。于是會想到“圓環的面積應為AB乘以沿圓環掃過一周的周長C”。

圖4

發現思維往往表現為頓悟和靈感，是分析思維的高度簡約，有時連發現者本身也不知道這個簡約的過程，又講不清發現過程。但是作為教學過程，教師不應停留在這種認識上；因為這樣做，不可能有效地培養學生的思維能力，特別是直覺思維本身，這樣做實際上是掩蓋了數學思維的某些環節，教師必須對數學思維的某些環節做慢鏡頭的解剖，找出被它省略的環節，為直覺發現的產生鋪設一條邏輯通道。

教師進一步引導學生觀察，思考圓環中間寬度不變，但內外周長不同，正好類似于梯形特征。梯形上、下底平行，中間等距，但上、下底長不同。據此，將圓環看作一個梯形，上底長為內圓周長C內，下底長為外圓周長C外，高為圓環寬度AB(AB=R-r)，最終借助梯形面積公式導出圓環面積公式，如圖5所示。

圖5

=π(R2-r2)

每個定理公式不同的分析思路可能有不同的理解方式，我們應盡可能多地尋找不同的理解方式，并引導學生比較其中最合乎思維規律的計算方式，這才是數學教學價值所在。

【教學片段4】

師：從圓環與梯形的結構特征相似，聯想其面積的計算方法應有相似性，這一重要的思維方法在科學研究中經常發揮重要的作用，大家應細心體會，認真掌握。以上類比發現過程如圖6所示。

圖6

生：若將圖5圓環沿AB剪開，再朝相反方向均勻拉伸，且不改變中間寬度，那么圓環就變成了一個等腰梯形。有些書上說圓環不能展開，這里怎么展開了呢?

師：問得好！敢于質疑，這正是科學發現的重要條件之一。但你注意到沒有，剪開圓環的地方在變為梯形的腰后，長度增加了。

生：這樣看來，還是不能展開。

師：雖然如此，但從圓環與梯形的結構特征相似方面看，可以說，你將圓環“理想化”地“展成”了梯形。

生：如果認為圓環能“理想化”地“展成”梯形，那么圓環之間的每一個內圓周相應地展直為梯形兩底之間一條與底平行的線段，從而兩者之間應有一一對應相等的關系。只有這樣，我才認為圓環能“展成”梯形，才感到“展開”的梯形面積與圓環的面積相等，否則，我將懷疑上述發現的正確性。

師：那我們來計算一下試試看。如圖7，取圓環之間的任一內圓周，設半徑為r+h(0≤h≤R-r)，則其周長為2π(r+h)。

圖7

在梯形中取與上底相距h的一條平行線段EF，則EF=EM+MN+NF=2EM+AA′

=2πh+2πr

=2π(h+r)

即EF=2π(h+r)

生：完全相同，我不懷疑了。

學生又提出猜想：兩平面圖形，若能建立線段之間的一一對應相等關系，那么這兩個圖形的面積相等。

教師利用題目證明此猜想的錯誤，并向學生指出憑直覺的發現并不完全可靠，只有經過實踐檢驗或嚴格的證明，才能斷定發現的真偽。

通過類比來進行知識的學習，不一定是數學家當初真實的發現歷程，而是指合乎數學思維規律，經教師加工，適合學生思維水平與知識水平的發現過程，我們稱之為“再發現過程”。科學上常有不同科學家各自獨立發現同一數學規律方法的現象，教師的教學設計也應在學生不知曉所學定理公式定律的前提下去重新探索獨立發現它，這是設計教學程序引導學生進行探索性思維活動所應注意的首要問題，使學生提出和發現問題成為必然，而不是“撞大運”。

二、再發現教學法注意問題

綜合師生圓面積公式發現過程的教學，我們發現，設計再發現教學程序，引導學生進行探索性思維活動時，必須注意以下六個問題。

(1)教師親自體驗定理、公式的探索過程，以便憑自己的真實感受制定出符合思維規律的教學程序。

(2)設計教學程序應充分挖掘數學發現的思維過程，不掩蓋數學思維的任何一個環節，充分揭示知識的發展過程。

(3)在引導學生進行探索性思維活動時，應控制學生的思維朝正確的方向發展，同時又需要學生自由交換意見，互相啟發、互相補充，最大限度地調動學生學習的主動性和積極性。

(4)再發現教學方案要順其自然，合乎情理，不能為了發現而發現，是讓學生成為探索者，而不是把學生看成是學習工具。為此，教師要做到：①不要回避“發現”的失敗，應該體現出發現的曲折過程，讓學生從成功與失敗的比較中受到教益；②要因勢利導，不要強行推行教師的預定方案，必要時放棄預定方案，順著學生的思路向前。

(5)由于發現思維往往表現為頓悟和靈感，有時連發現者本身也不明這個過程。但是作為教學過程，教師不應停留在這種認識上，這樣不能有效地培養學生的思維能力，特別是直覺思維本身，這樣做實際上是掩蓋了數學思維的某些環節，教師必須對數學思維的某些環節做慢鏡頭的解剖，找出被省略的環節，為直覺發現的產生鋪設一條邏輯通道。

(6)通過探索得到某種結論固然重要，但是教師要更著重于總結獲得這種結論的思維過程。

總的來說，數學教師是通過自己的創造性思維活動，引導學生進行探索，使學生的思維活動與數學家思維活動“同步”，以理解數學知識，并通過這個過程，逐步實現數學思維結構向數學家思維結構的靠攏，最終達到提高學生創造性思維的目的。

三、再發現教學法的局限性

從圓面積公式再發現教學過程可以看出再發現教學法仍存在不足，教師在教學過程中需要依據教學實際情況來實施。

再發現教學法的適應范圍和對象是有限的，它并非適用于所有學生，它要求學生具備相應的發現需要、發現經驗，并樹立有效的假設，這較容易引起學生的畏難情緒和恐懼心理。發現法教學耗時不經濟，通過發現學習來掌握知識，效率很低，運用不當就難以在有限的時間內完成教學任務。因此，它不宜在短時間內向學生傳授一定數量的知識和技能，因為學生的學習過程是以學習間接知識為主，這就要求學生不需要事事都按照“發現的步驟”去進行，只能選取典型知識去進行再發現教學法教學。再發現教學法具有較大的靈活性，對教師的知識素養和教學機智、技巧、耐心等要求很高,一般教師很難掌握，反而容易弄巧成拙。尤其是在教師“引導”與學生“發現”的結合問題上，對教師要求較高，需要教師恰當地確定學生獨立探究、力所能及的“最近發展區”，只有教師給學生創設的問題情境符合學生實際水平，跳一跳就能達到“最近發展區"時，學生的探索和智力才能得到發展。

因此，在傳統的“接受式教學法”的基礎上，融入“再發現教學法”，學生接受的過程中多啟發，發現的過程中多參與，兩種教學形式互補共存，達到和諧統一，將會對教師教學有新的啟發。