考慮壓密過程和殘余強度的巖石統計損傷本構模型

潘有維，黃德文

(長江大學城市建設學院，湖北 荊州市 434023)

0 引言

巖石大多為兩種或以上的礦物集合體，廣泛地分布于大自然，是一種非均質非連續各項異性的材料，其內部含有大量的孔隙、裂隙、節理等缺陷。由于其破壞時具有復雜的力學特征，廣大學者都對巖石開展了大量的三軸試驗研究[1?2]，合理構建反映巖石破壞全過程的巖石本構模型是研究的熱點，受到人們的廣泛關注。

巖石的本構主要指的是軸向應力和軸向應變的關系。早期的研究主要是基于經典斷裂力學，假定巖石為連續介質，但巖石屬于強烈的非線性材料，這類研究已不能滿足實際需要。巖石的破壞實質上是細觀裂隙逐漸發展直至貫通的過程。目前的研究主要是基于連續損傷理論，由lemaitre[3]于1985年提出的用有效應力替換常規本構關系中應力的應力應變關系。近幾年來，巖石本構的研究已經取得了不錯的成果，文獻[4]在巖石變形力學特征的基礎上，考慮到已有模型難以較好反映初始損傷和峰后變形特征，提出了考慮初始損傷的巖石幾何本構模型，在這個基礎上，通過對weibull 分布參數的確定，提出了修正的巖石應變軟化類本構模型。文獻[5]從空隙對巖石的影響入手，考慮到圍壓對彈性模量的影響，基于損傷理論建立了反映彈性模量隨圍壓的變化而變化的本構模型。文獻[6]針對現有的模型不能反映巖石破壞后的殘余強度特征這一問題，將巖石假設為損傷和未損傷兩部分，其中損傷部分承受殘余強度，建立了巖石全過程的損傷本構模型。文獻[7]將巖石抽象為空隙和骨架，提出空隙應變比的新概念，利用巖石三軸試驗數據和損傷力學理論建立了能夠較好反映巖石屈服后的非線性特征的巖石本構模型。文獻[8?9]基于巖石損傷本構模型分別采用Drucker-Prager 和Mohr-Coulomb 破壞準則，使巖石微元強度服從某一種統計分布，建立了巖石統計損傷本構模型。文獻[10?11]考慮巖石的應變軟化和硬化特性相互轉化的問題，引入損傷力學理論建立巖石本構模型。文獻[12]考慮了巖石破壞時孔隙水壓力的影響，引入Terzaghi 有效應力原理，構建了考慮孔隙水壓力的巖石本構模型。

縱觀前人對巖石的本構模型研究，有的研究了巖石裂隙壓密過程的影響，建立了考慮初始損傷或者損傷閥值的巖石本構模型[13?14]，有的研究了殘余強度修正值對巖石破壞的影響[15]，而同時考慮壓密過程和殘余強度的研究卻鮮有人研究。巖石在破壞初始過程會有裂隙壓密機理存在，這一階段巖石的彈性模量E和泊松比v并不是一成不變的，在以往的研究中大都把E和v看成了恒定值，這樣往往會導致最后的研究結果產生誤差，不符合實際。實際上隨著圍壓的不斷增加，彈性模量E會不斷增大，最后趨于穩定值，而泊松比v則會不斷減小，最后趨于定值[16]，這都是由巖石本身的復雜力學性質引起的，尤其是各向異性。文章基于文獻[16?17]的理論擬合，對彈性模量E和泊松比v采用隨圍壓變化的修正值，巖石微元強度嘗試采用更符合實際經驗的Hoek-Brown 準則，在已有的巖石損傷力學模型的基礎上，采用對數正態分布，建立了綜合考慮壓密過程和殘余強度的巖石損傷統計本構模型。

1 巖石統計損傷本構模型

1.1 巖石損傷本構模型

目前對于損傷力學的研究方法主要分為宏觀和細觀損傷力學兩種，細觀損傷力學主要涉及巖石內部微裂隙的擴張，并逐漸發展成主裂縫的過程。宏觀損傷力學則是將巖石內部隨機分布的節理、裂隙考慮成初始損傷，定義損傷變量D為損傷面積與總面積之比[4]，其表達式如下：

式中，Ad為巖石損傷面積；A為巖石完整面積。

現有很多基于lemaitre 應變等價性假說建立的巖石本構模型[3]，即：

式中，D為損傷變量；為有效應力；σ為表觀應力。這種模型在反應巖石殘余強度特征的時候存在誤差。文獻[5]將作用于外力下的巖石假定為損傷和未損傷兩部分，提出了能反映巖石殘余強度特征的本構模型，即：

式中，σb為巖石的殘余強度。該模型相對式（2）的優點明顯，式（2）D為0 的時候，巖石未發生損傷，D在0 到1 之間的時候，說明巖石一開始就發生了損傷，考慮了初始損傷，D為1 的時候，發現巖石已經沒有了承載力，不符合實際研究結果，式（3）既體現了巖石破壞的損傷過程，又體現了巖石的殘余強度特征，更符合巖石的實際。

對于未損傷部分為線彈性材料，符合廣義虎克定律，即：

式中，E，ν分別為巖石的彈性模量和泊松比；為未損部分的細觀應變。

對于巖石的破壞，假定只在軸向發生，側向不發生，巖石表觀應變與細觀應變等價[8]，將式（4）代入式（3），得：

式（5）即為改進的新型巖石損傷本構模型。

1.2 巖石微元強度的確定

目前應用的強度準則大都是Mohr-Coulomb 準則和Drucker-Prager 準則，兩者都能很好地度量巖石損傷，但前者不能描述高低應力區以及低應力區的強度特性，而后者結果稍偏于保守。文章嘗試采用Hoek-Brown 經驗強度準則來描述巖石的力學特征。H-B 強度準則相較于M-C 和D-P 準則可以考慮到巖石的結構、節理等多方面的因素。

H-B 強度準則由E.Hoek 和E.T.Brown 首次提出，能夠反映巖石極限主應力間的非線性關系，表達式如下：

式中，σ1為最大主應力；σ3為最小主應力；σc為巖石單軸抗壓強度；m為巖石的經驗參數，反映巖石的軟硬程度，取值范圍為0.001～25；s為經驗參數，反映巖石的破碎程度，取值范圍為0～1。m和s的取值一般根據巖石的材料和分類確定。

巖石的強度常用下式來表示，即用巖石的破壞準則表示，表達式如下：

式中，K為一個隨荷載變化的常數，度量巖石的峰值破壞，式f（σi）-K＞0 則表示了巖石已經超過峰值強度開始破壞，令巖石服從霍克—布朗強度準則，用F表示巖石微元強度，即：

1.3 巖石統計損傷本構模型

對于統計損傷模型的建立方法，首先是合理的定義損傷變量，然后采用某種巖石破壞強度準則度量巖石微元強度，最后采用適宜的統計分布可得到演化方程。在過去已有的模型當中，采用較多的有weilbull 分布、對數正態分布、正態分布、冪函數分布等等，假定巖石微元強度服從對數正態分布，可得巖石統計損傷本構模型，即：

式中，F0、S0為對數正太分布參數，假定巖石微元強度符合概率密度函數，定義損傷區域D，即有：

式（12）通過對比標準正太分布可得，

將式（9）和式（13）代入式（5）即得到新型反映初始壓密過程和殘余強度的巖石統計損傷本構模型。

2 模型參數的確定

對于E和ν采用修正擬合隨圍壓變化的E′和ν′[14?15]：

E（σ3=0）為初始彈性模量，由式（15）、式（16）可知，彈性模量和泊松比都隨著圍壓的變化而變化，對比兩者是恒定值的情況更加符合巖石破壞的實際情況。

對數正態分布參數的求解，一般是聯立式（5）和式（13），利用式（5）解出D的數學表達式可得：

將式（17）進行變形，可得：

對于一組1σ、3σ、1ε、bσ的試驗值，可以確立一個值，由標準的正太分布查表可得對應的值，令y=lnF，則。y值由式（9）得到，采用曲線擬合方法，多組數據求解F0和S0。

3 實例驗證

為驗證文章提出的巖石損傷本構模型的合理性，擬采用文獻[8]的資料，巖石材料為粉砂質泥巖，巖石單軸抗壓強度cσ為11.96 MPa，通過常規的試驗處理數據方法得到力學參數見表1。

表1 粉砂質泥巖力學參數

對于E和v采用式（15）和式（16）得到修正值。通過查詢標準正態分布表，同時利用多組圍壓數據代入式（18），即可得到參數S0和F0的值。對于H-B 強度準則中的經驗參數取值，將式（7）變形得到式（19），利用多組圍壓數據以及參數S0和F0的值，通過解多組方程，即可求得參數m和s的值[18]。

利用4 組數據和文獻[8]進行曲線擬合，結果如圖1 所示。

圖1 不同圍壓下的巖石應力應變曲線

4 結果與討論

典型的巖石全應力應變曲線主要分為5 個階段，如圖2 所示，在OA段，曲線向外凹陷，斜率逐漸增大，此時巖石內部的微裂隙逐漸壓密，卸去荷載，巖石變形逐漸恢復，為彈性階段。AB段曲線接近直線，應力應變為線彈性階段。BC段曲線向外凸起，斜率逐漸變小，巖石開始屈服，裂紋開始快速成長，C為峰值點，巖石到達極限承載強度。CD段巖石承載能力快速下降，此時巖石內部的裂隙開始貫通，表現為應變軟化，D點以后，隨著應力的增加，巖石強度不再降低，表現為巖石的殘余強度。

圖2 巖石全應力應變曲線

文章建立的本構模型從整體上與文獻[8]吻合良好，圖1 和圖2 也基本相符，特別是在反映巖石破壞后的殘余強度方面，這說明考慮了修正后的彈性模量和泊松比的巖石本構模型能夠更好地符合實際，但本文也有很多值得深究的方面。

（1）曲線擬合的對象只有一個，相對來說比較單一，這是由于資料受限以及一些其他客觀因素造成的。在驗算模型的時候需要的參數比較全面，因而計算過程相對合理，使得本文更有說服力。

（2）在考慮了彈性模量和泊松比的修正后所得到的模型在應變軟化階段相對沒有吻合良好，究其主觀因素主要是由于式（18）對于參數m和s求解的誤差。對于m和s更科學的求解方法，由于沒有實驗條件測得相應的數值，因而采用式（18）的求解方法。

（3）采用的Hoek-Brown 強度準則，雖能夠反映巖石高低應力區和拉應力區的強度特征，但是它忽略了巖石中主應力的影響，這也是需要改進的地方，希望有改進的Hoek-Brown 強度準則以便更好地模擬巖石的破壞全過程。

5 結論

在已有的巖石損傷本構模型的基礎上，針對已有模型未能考慮彈性模量和泊松比隨圍壓變化而變化的情況，基于霍克-布朗強度準則，采用對數正態分布所建立的巖石損傷統計本構模型，可以得到如下結論：

（1）從曲線擬合情況來看，能夠很好地反映峰前的變形特征和巖石的殘余強度，同時也能夠反映巖石破壞的全過程。本文旨在為同類研究提供一個新的方向，即根據彈性模量和泊松比隨圍壓的變化情況來建立巖石的本構模型。

（2）統計損傷本構模型采用的是Hoek-Brown強度準則，相較于M-C 和D-P 準則來說，考慮了巖石的結構、節理等因素，且能夠反映巖石高低應力區及拉應力區的強度特征，有一定的優勢。

（3）建立的模型考慮了隨圍壓變化而變化的彈性模量和泊松比，相比于采用定值的彈性模量和泊松比，更加符合巖石加載破壞的實際情況，因而本模型有更好的適用性，且參數較少，求解簡便，在同類研究中，可以提供很好的參考。