問題教學的實踐與思考

許凌燕

雖然數學知識是數學學習的基石，但是數學思維、數學思想和解決數學問題的能力更能反映一個學生的數學核心素養。而數學問題是激發學生學習興趣，開啟學生數學思維，培植學生數學思想方法的平臺和載體，在一個個精心設計的問題教學中，學生的數學思維和數學能力才能不斷提升和優化。下面筆者以蘇科版數學教材八年級下冊“矩形、菱形、正方形”第一課時為例，闡述問題教學在數學課堂上的應用。

一、教學實錄與分析

1.基于情境引入的問題教學。

師：前幾節課學習了平行四邊形，哪位同學說說我們是從哪些角度來研究平行四邊形的？

生1：平行四邊形的概念、性質、判定、應用。

師：請同學們拿出事先準備好的 Rt[△ABC]紙片（[∠B]=90[°]）、圖釘和白紙，在白紙上描出Rt[△ABC]的形狀，再繞斜邊AC的中點O旋轉180[°]后描下旋轉后三角形的形狀。以小組為單位討論并回答下列問題：

問題1 前后圖形拼成的形狀是平行四邊形嗎？

問題2 如果是，它與我們之前所學的平行四邊形有什么不同的地方？

生2：請大家看圖1，我們由[∠BAC]=[∠DCA]，[∠BCA]=[∠DAC]（或AB=CD，AD=CB）可證得這個四邊形是平行四邊形。

生3：它與我們之前所學的平行四邊形不同的地方是一個內角為直角，其他三個內角也為直角，可以利用平行四邊形的性質證明。

問題3 通過剛才的分析，你能用一句話描述一下這個圖形嗎？

生4：有一個角是直角的平行四邊形。

（教師板書矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形。矩形通常也叫長方形。）

【設計意圖】筆者設計的操作活動，讓學生回顧了平行四邊形的相關知識，認識到平行四邊形和矩形的聯系，進而得到矩形的定義。學生通過操作活動，體驗從舊知到新知的過程，讓新知生長在已有知識點之上。

2.基于知識類比的問題教學。

師：從定義可以看出，矩形是特殊的平行四邊形，其肯定具有平行四邊形的性質。那么我們研究平行四邊形的性質時，是從哪些方面研究的呢？具體是什么呢？

生：邊、角、對角線、對稱性……

師：通過類比思想，我們也可以從對邊、對角、對角線、對稱性來研究矩形。請同學來分析一下。

生5：對邊——平行且相等，角——相等且全都是90[°]，對角線——互相平分且相等。

師：為什么對角線相等？

生5：只要證[△ABC]≌[△DCB]，即可得AC=BD。

生6：對稱性——中心對稱、軸對稱性。矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形中心對稱的性質。同時，我們沿著上下對邊的中點連線所在直線折疊，發現左右兩邊重合，說明矩形是軸對稱圖形，而且有兩條對稱軸。

師：我們一起來歸納提煉。

【設計意圖】通過類比思想，學生明確研究方向，從而對矩形的性質有了更深層次的理解和認知。同時，這樣的數學問題教學為學生研究數學提供了途徑和方法，促進了學生數學知識的有效內化。

3.基于例題深化的問題教學。

教材上本課時內容只有一個例題，如何用好此例題是關鍵。為此，筆者設計了問題串，旨在激發學生的課堂思維，發展學生自主探究的能力。

例 如圖2，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于O。

問題4 在此題設條件下，[△AOB]是等腰三角形嗎？

生7：由矩形對角線互相平分可得AO=[12]AC，BO=[12]BD，且AC=BD，則AO=BO，所以[△AOB]是等腰三角形。

問題5 增加條件AC=2AB，則[△AOB]是什么三角形？（此問源于教材。）

生8：[∵]AC=2AB，[∴]AB=[12]AC。[∵]AO=[12]AC，BO=[12]BD，AC=BD，[∴]AO=BO=AB，[∴][△ABC]是等邊三角形。

問題6 圖中被對角線分割而成的三角形中還有等腰三角形嗎？

生9：只要將上面的證明調整一下，由矩形可得AO=CO=BO=DO=[12]AC=[12]BD。因此，[△AOB]、[△DOC]、[△AOD]、[△BOC]都是等腰三角形。

問題7 對圖中被對角線分割的三角形，你還有什么認識嗎？

生10：我們通過邊角邊可以證得[△ABC?][△DCB][?][△BAD?][△CDA]，且每個三角形面積為矩形的一半，即[S△ABC]=[S△DCB]=[S△BAD]=[S△CDA]=[12][S矩形ABCD]。

生11： [∵]AO為[△ABD]的中線，[∴][S△ABO]=[S△ADO]=[12][S△ABD]=[14][S矩形ABCD]，[∴][S△AOB]=[S△COD]=[S△AOD]=[S△BOC]=[14][S矩形ABCD]。

師：哪位同學能將剛才的知識總結一下？

生12：每條對角線將矩形分成兩個直角三角形，共計4個直角三角形，它們全等，每個直角三角形的面積為矩形面積的二分之一;兩條對角線把矩形分成4個等腰三角形，且每個三角形面積相等，都是矩形面積的四分之一。

問題8 通過剛才的研究，請同學們觀察等式AO=CO=BO=DO=[12]AC=[12]BD，還能發現什么？

生13：從這個等式中首尾兩項得AO=[12]BD，背景是在矩形中，各個內角都是直角，所以可得直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半。

【設計意圖】本環節設計的教學問題都是圍繞著教材例題展開的，旨在引導學生明確研究的方向，分析在一定條件下，問題發生、發展和變化的規律，探索解決數學問題的規律，體會數學思想方法。圍繞例題深化的數學問題按照一定順序揭示規律，逐步推進深入，使得學生能夠在主動構建數學知識的同時優化數學思維，歸納數學思想方法。

4.基于新知運用的問題教學。

問題9 再看圖2，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，請增加一個條件，使得[△AOB]是等邊三角形。

……

師：同學們回答得都很好，現將同學們提出的這些條件整理為“角”“邊”兩類。

（教師板書。角： [∠ABO]=60[°]，[∠BOC]=120[°]，[∠BCA]=30[°]。

邊：AB=[12]AC，AB=OA，AB=OB;CD=[12]BD，CD=OD，CD=OC。）

師：我們找其中一個條件如[∠BCA]=30[°]，請一名同學加以證明。

生14：由上可知[△AOB]是等腰三角形，又[∵] [∠BCA]=30[°]， [∴][∠BAC]=60[°]，[∴][△AOB]是等邊三角形。

師：由[∠BCA]=30[°]可得[△AOB]是等邊三角形，所以AB=AO=[12]AC，這是我們學過的什么知識呢？

生15：直角三角形中30[°]角所對的直角邊是斜邊的一半。

問題10 再看圖2，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，若[∠AOD]=120[°]，AB=4cm，求矩形對角線的長。

生16：由剛才的結論[△AOB]為等邊三角形，[∴]AB=AO=[12]AC=4，[∴]AC=8。

生17：由[∠AOD]=120[°]，得到[∠ACB]=30[°]，直角三角形中30[°]角所對的直角邊是斜邊的一半，[∴]AC=2AB=8。

【設計意圖】新知運用的問題教學有助于學生更加深刻地理解新知，認識數學的本質。學生通過這兩個問題，對圖中[△AOB]是等邊三角形有了本質的認識，并且通過一個開放性的問題收集素材，順利實現了對已有知識“直角三角形中30[°] 角所對的直角邊是斜邊的一半”的再認識，同時也對相關問題的解決明確了思路和方向。

二、基于問題教學的思考

課堂教學中的問題設計和教學設計是問題教學的前提和基礎。因此，數學的問題教學需要教師對教材內容進行深刻解讀，明確本節課的教學目標。教師應以數學知識的形成過程、內涵特點等方面為問題教學的切入點，精心設計一些具有一定目的性、層次性，符合學生已有基礎知識、學習水平和已有探索經驗的問題，讓問題教學成為學生數學知識、數學思想和數學能力不斷增長的根基。以數學知識的本質、數學思維的啟發、數學經驗的增長為基礎的高質量問題，一定能激發學生深度的參與興趣。

數學思想是數學問題教學的根，問題教學實現“知識構建”到“思想引領”的轉變。問題是問題教學的心臟，是學生思維活動的發源地。基于數學思想的問題教學，將知識、方法問題化，通過問題教學喚醒學生的探究意識，引發思考，將學生從知識學習引入方法積累并走向思想升華，以此領悟知識構建的本質。

教師將數學知識、數學思想進行問題化教學，能將需要教授的內容連續化、變式化為有實質意義的數學問題，引發學生持續地辨析、思考，激發學生內在的學習動力，引導學生從多維度理解數學知識，培養學生學習的興趣，將學生引入深度學習，培養數學學科精神，為后續的數學學習提供可持續的學習力。

（作者單位：江蘇省張家港市梁豐初級中學）