大概念統(tǒng)攝實現(xiàn)多維理解

方蘇云

數(shù)學大概念指向數(shù)學知識體系的內(nèi)核，能反映數(shù)學本質(zhì)，它可以是一個單元的核心內(nèi)容，也可以是跨單元、跨年級的能將數(shù)學關鍵思想和相關內(nèi)容聯(lián)系起來的關鍵“錨點”。在“運算定律”單元教學所有新課結(jié)束后，筆者設置了一節(jié)拓展課——以“乘法意義”即“幾個幾”這一大概念統(tǒng)攝“乘法分配律”的內(nèi)涵。

一、關聯(lián)先前學習，重“立”本質(zhì)意義

數(shù)學活動可以看作經(jīng)驗活動，學生在數(shù)學活動中的核心是如何改造經(jīng)驗，教師要利用學生已有經(jīng)驗幫助他們主動建構起數(shù)學學習的直覺及知識對應的數(shù)學模型，運用數(shù)學的思維方式進行學習。在“乘法分配律再認識”教學中，筆者充分關聯(lián)先前學習中的直觀材料，組織學生在尋找乘法分配律的過程中重“立”其本質(zhì)意義——“乘法意義”的理解。

【片段1】

呈現(xiàn)一組材料：（1）一年級減法口算，3-2=1，30-20=10，3個十減2個十就是1個十，是10。（2）二年級乘法口訣，6×7=？可以先算5個6是30，再算2個6是12，合起來是42。（3）三年級乘法口算，12×3=？可以先算10×3=30，再算2×3=6，30+6=36。（4）三年級長方形周長計算，6×2+4×2=20，還可以（6+4）×2=20。（5）四年級行程問題，兩只小烏龜賽跑，同時同向并排起跑，甲烏龜每分鐘爬25米，乙烏龜每分鐘爬35米，5分鐘后兩只烏龜相距多少米？

問題1：在之前的數(shù)學學習中你能找到乘法分配律嗎？一眼就看到了哪個？學生口答，教師板書算式，并要求說出其所表示的意義。問題2：其他幾個材料中也能找到乘法分配律嗎？問題3：請按一定的標準將材料中五個乘法分配律算式分分類。

這一組學習材料，就是教材安排的乘法分配律的雛形，我們把它稱為先前學習材料。重新利用這組直觀又簡單的材料來重現(xiàn)“找乘法分配律”的過程，不僅充分利用素材對學生的“親和力”，有助于喚醒學生經(jīng)驗，更實現(xiàn)了“舊知新探尋”的關聯(lián)效果。在分類過程中，學生出現(xiàn)兩種不同分法：第一種按“加、減”分成“幾個幾+幾個幾”一類，“幾個幾-幾個幾”為另一類;第二種按“分、合”分成“一個數(shù)拆成兩個數(shù)”即“幾個幾=幾個幾±幾個幾”一類，另一類為“兩個數(shù)合成一個數(shù)”即“幾個幾±幾個幾=幾個幾”，本質(zhì)上就是乘法分配律“順”與“逆”的關系。在分類過程中，學生從“乘加、乘減”，以及“互逆”等角度立體化地理解乘法分配律的本質(zhì)——不管怎么變化，等號左右兩邊始終保持“幾個幾”相等。通過層層設問、追問、交流，促使學生思維向縱深拓展。

二、關注簡算狀況，再“悟”模型結(jié)構

我們在幫助學生尋找新舊知識之間的本質(zhì)與共性，經(jīng)歷建立結(jié)構聯(lián)系的數(shù)學學習后，更重要的是通過學習活動培養(yǎng)學生學會思考，尤其在審辯中學會邏輯思考，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，成為善于認識問題、解決問題的人。在關聯(lián)先前學習的基礎上，過渡到當下學習，緊扣四年級乘法分配律簡算錯例，加強對算式中“幾個幾”的辨析，再“悟”乘法分配律模型結(jié)構。

【片段2】

呈現(xiàn)學生簡算錯例：

（1）103×12=（103-3）×12……？搖？搖？搖（2）45×99+45=（45+45）×99……？搖？搖？搖（3）25×（8+4）=25×8×4……？搖？搖？搖（4）39×8+6×39-39×4=312+234-158……

問題1：乘法分配律用錯在哪里？請找到錯的那一步畫出來，并訂正。組織學生獨立完成，展示學生訂正情況。追問：你能用“幾個幾”來說明嗎？問題2：25×（8+4）表示12個25，寫成25×12，除了把12拆成“8+4”，想成25×4+25×8，還可以怎么拆12？問題3：從錯例4中我們可以看到乘法分配律除了兩個積加、減，也可以三個積加、減，甚至多個積，對嗎？

上述學習材料來自學生當下學習乘法分配律簡算中的錯題，對錯題的思考辨析可以說比單純的“練”更有價值，在思辨中再次聚焦“意義層面”——對“幾個幾”保持相等的理解，避免出現(xiàn)低水平層次的技能訓練。如在25×（8+4）的辨析中可以進一步跟進乘法分配律與乘法結(jié)合律的對比，25×8×4表示32個25，25×4×3表示12個25，哪個可以與原題保持“幾個幾”相等？在這種具有一定思考力的對比問題中強化學生理解的深度與寬度。又如辨析“39×8+6×39-39×4”自然拓展到“幾個數(shù)加減混合與一個數(shù)相乘”的結(jié)構，加深“多個數(shù)分配”維度的理解。整個學習過程讓學生又一次經(jīng)歷了分析、比較、反思，又一次積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學思考力，讓學生在辨析、交流中不斷地建立起從乘法意義層面對乘法分配律的理解，再“悟”其模型結(jié)構。

三、再看知識遷移，又“意”內(nèi)涵特征

運算律在小數(shù)、分數(shù)中同樣適用，如何把乘法分配律巧妙地從整數(shù)遷移到小數(shù)、分數(shù)的應用中呢？筆者繼續(xù)緊扣“幾個幾”，直接在本節(jié)課將乘法分配律植入小數(shù)、分數(shù)計算，在運用拓展中再次引導學生從“乘法意義”層面理解乘法分配律的內(nèi)涵。

【片段3】

呈現(xiàn)：能想辦法計算下面兩題嗎？

問題：我們只要抓住“幾個幾”就可以用乘法分配律來計算還沒學過的小數(shù)乘法、分數(shù)乘法，信不信？學生嘗試計算，在組內(nèi)分享計算方法，并作全班交流。追問：你是怎么想的？最后用動態(tài)線段圖演示幫助學生加深理解分數(shù)乘法。

在上述學習過程中，可以看見乘法分配律的后續(xù)遷移——小數(shù)、分數(shù)乘法。也許正因為還沒有掌握小數(shù)、分數(shù)乘法的計算方法，在四年級學習中提早切入，

（作者單位：浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心 本專輯責任編輯：王彬）

信息

本文系2020年杭州市基教教研立項課題“大概念統(tǒng)攝下小學數(shù)學單元教學關聯(lián)反芻與重組的研究”（編號：L2020211）的研究成果。