指向整體建構的小學數學度量教學

王智明

【摘要】度量是數學課程中的一條主線。度量的學習過程包含了對象的認識、工具的選擇、單位的構建與選擇以及度量值的獲得。它們以“單位”為內容上的共性，以“定性到定量”為思想上的共性，故度量的教學內容適合整體化教學。教學中要重視已有經驗，整體考慮，長程設計度量的基本概念。單位是度量的本質，因此需要以單位為主線，建立度量相關內容的縱向、橫向聯系。同時在教學中需要滲透數學思想，以深刻達成簡約。

【關鍵詞】度量;整體;建構

度量是小學數學中的重要內容。絕大多數國家都把度量作為小學數學課程發展的一條主線，如美國數學標準的制定，就是以數與運算、代數、幾何、度量、數據處理與概率貫穿小學到高中。實際教學中，教師常常對度量的重要性認識不足，僅把度量視作圖形與幾何或數與代數的一部分教學內容，影響了度量教學中數學思想的形成與發展，同時更忽略了其作為數學課程一條主線的作用。

度量在日常教學中存在諸多問題。首先，內容上教材雖強調了整體內容的連續性與系統性，但學生學習時間跨度大，導致遺忘率較高。其次，教學過程忽略學生對度量對象的深層感悟和體驗，較少體現深層感悟的創造性。再者，忽略兒童的經驗，兒童的數學學習本質上是在已有經驗基礎上深度和廣度的變化，而度量的教學內容本身與兒童的經驗息息相關，需要重視兒童在原有經驗基礎上的自我構建，不斷豐富，通過類比形成新經驗。為此，對小學數學中的度量教學進行了相關研究，以期從統整角度對單元內容進行整合，促進數學的深度學習。

一、度量與測量

談到度量，難免會提及與之相近的“測量”一詞，在此先對兩者做一辨析。

張奠宙先生說過，“數學測量的本質是給每一個測量對象以合適的數”，廣義上的測量很多，可以是用一定數值方式來度量;可以是用等級程度來表示;還可以是用一定方法測量概率的值，這些都可以看作測量。而小學數學中的測量是一種狹義的理解，指借助于我們熟悉的常見工具（直尺、量角器等），測量的量多限于長度、角度、面積、體積等，測量對象都是物體的可測屬性的量。

數學中的度量是指用一個帶單位的數值來描述可測量物體或現象的某一屬性，從而形成某個具有特殊含義的“量”，如長度、面積、容積、體積、角度、重量（質量）、方位、溫度、時間、貨幣等。隨著數學方法在日常生活中的廣泛應用，越來越多的物體和現象都有了可度量的屬性。除此之外，因為度量有數值及單位，所以它與數學學科內部的數、形以及數量關系都有廣泛的聯系。例如，兒童可以從一匹馬、二只雞、三把椅子這些帶單位的量認識數，同時還可以借助單位溝通數與數之間的聯系。因此，度量相比測量更上位，包容性更廣。

二、度量教學中的整體思想

蘇霍姆林斯基曾說過，“只有當一個人看見樹林是一個統一整體時，他才能對每一棵樹形成較完整的表象”，可見整體讓思考更全面，延展更豐富。度量的教學貫穿了整個小學數學的學習，其過程適合整體教學，主要體現在以下幾方面。

（一）以“單位”為內容上的共性

度量內容可以因人而異，但度量單位的確立是為了便于對度量進行統一化的表達和無歧義的交流，因此單位是不同度量內容所共同擁有的數學本質特征。例如，長度的度量是找到一個長度單位一個個量，拼合為所要量的線段，體現了給每一條線段找一個合適數的本質。同樣的過程還可以在面積、體積、質量、時間及數量的度量中看到，過程上都體現了以單位為個數的累加。同時進一步認識“量的大小就是單位的個數”“單位不同，其個數也不同”這些度量的實質。

有了度量對象，需要構建、選擇度量單位，獲得度量值，這種以度量單位確定并獲得度量值的過程可視作量感的培養。量感的培養不僅體現在幾何量、常見量的獲得中，它還分散在數的認識、數的運算中。例如，小數的意義教學中，常常借助元、米等單位認識小數與分數的關系，但這是一種僅從數的角度單一認識小數的方式，無法溝通數學知識的彼此聯系，整體建構小數的意義。以等式0.3=3/10為例，除了可以認識到小數與分數的轉化，還可以從度量單位的角度認識到0.3是用0.1一個一個累加而來，3個0.1的累加就有了0.3。一個小的量去度量一個大的量，需要經歷單位的累加過程，這樣一種認數的過程與古人早期打孔計數類似。同時從這樣的角度理解數的運算，加法、乘法可以體現為計數單位的累加，減法、除法可以體現為單位的細化。從單位的細化和累加的角度溝通數的認識、數的運算與度量之間的關系，更好地體現了“度量是課程的主線”這一理念。

（二）以“定性到定量”為思想上的共性

不同的度量內容都經歷了相同的數學活動，體現了這樣一個思想：我們對可度量物體屬性的研究經歷了從簡單粗略的定性描述（多少、長短等）過渡到嚴格精確的定量刻畫。

首先，最初經歷粗略的測量活動可以是課堂上個體的簡單直觀的比較，也可以是同伴之間直接或間接的比較，其中的度量過程是粗略的。由于比較工具不同、比較過程不同會產生不同程度的偏差，此時用數學方法處理度量問題的基礎凸顯為需要構建或者選擇標準度量單位。其次，個體的單位不能滿足度量統一的需要，單位的統一、精確成為追求的目標。“結果為什么會不一樣？”“看來我們有必要統一度量工具”。學生手中使用的度量工具，經歷從多元到統一的過程，并通過操作體驗、反思交流認識到度量的實質。同時，從不同的度量需求來看，當一種單位無法滿足精確性要求時，為了更準確地進行測量，就需要進一步細分單位，度量單位越精細越能真實地表達客觀實際，例如人們構造的復合距離單位“光秒”。

三、整體建構下的度量教學策略

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在實施建議中對數學知識整體化教學提出了相應建議，“注重知識的生長點和延伸點”，把知識“置于整體知識體系中”“引導學生感受數學的整體性”。從度量內容的分析可知，度量教學應遵循重視學生已有經驗，整體考慮、長程設計度量的基本概念。單位是度量的本質，因此需要以單位為主線，建立度量相關內容的橫縱聯系。同時在教學中需要滲透數學思想，以深刻達成簡約。

（一）重視已有經驗，整體考慮，長程設計

兒童對度量的感知，以及后期能對度量單位產生廣泛的共識，建立在人的兩個先天本能上，即對數量的多少和對距離遠近的感知。兒童對于常見的長度、面積、體積等概念是有經驗可循的，但由于年齡和認知水平的限制，這些內容被分散、割裂在不同年級教材中。教師需要整體把握教材，關注教材單元內容的前后聯系。同時，度量對象及單位的建構是一種整體性的建構活動，要基于兒童的相關經驗，關聯后續知識的學習。教學時對一些知識點提前滲透，或找到知識的原初關聯，對內容從知識的大單元進行長程設計，有助于促進度量學習的進階和度量意識水平的提升。

例如某教材在一年級的“比較”中，設計了比較長短的內容（如圖1），實際上已經滲透了長度的概念。學生面對這樣的問題可以憑借經驗直覺判斷，也可以從格子數量上進行比較，這其實就是讓學生提前感受長度的概念。這里的問題也可以看作選取正方形格子的邊長為單位度量長度，為后期建立長度單位提供相關經驗。

又如，杭州市學軍小學的教師團隊進行關于長度單位學習項目的整合學習，課堂上布置了自行設計尺子的活動，要求學生用樂高積木、黃豆、回形針等材料做一把能夠測量作業本寬度的尺子。學生在創作的過程中經歷對單位的感知，在群體的討論中改良，在與實際的尺子比較的過程中經歷從不同中抽象概括相同的特征等，從而讓學生對長度單位的學習（單位的形成、單位的累加、單位的細分）自然而然獲得，實現對度量知識學習的完整體驗。

（二）以單位為主線，建立內容的橫縱聯系

數學知識不是孤立的“點”，而是圍繞基本命題及統一的概念體系被組織、被建構的，是相互聯系的“整體”。數學知識之間具有較強的關聯性，教學設計要遵循知識之間內在的結構關系進行整體設計。橫向的知識聯系是指結構類似的不同單元內容之間的聯結關系，由多個結構類似的知識塊構成。如從長度單位到面積單位再到體積單位，都具有相同的邏輯結構和知識體系。這樣一類度量知識的教學設計，需要注意其中蘊含的相同思維方式，它們都以對單位的認識作為主線。在此基礎上進行整體設計可以打破“點狀”教學模式，把具有同類特征的內容整合成“塊狀”知識，凸顯背后共通的思維方式。

例如，把長度單位和面積單位的學習整體設計，可以在上好起始課，學生對原初的“比較物”內涵臻于豐富時，仿效長度單位的獲得推及面積單位，使后續生長課更簡約。教學中學生可以在自學感知何謂面積，體驗通過“目測”即可比較面積大小之后，進一步深化對面積的認識，通過活動操作增強對單位的體驗，進一步認識“面積的大小就是單位的個數”“單位不同，其個數也不同”這些度量的本質。

縱向的知識聯系是指不同知識在其發生或發展過程中有相似或者有內在結構相同的聯系，可以形成雙向鏈狀結構。對教材內容而言，可以圍繞大觀念、核心知識等對不同年級的單元知識進行統整，將不同領域的知識聯系起來整體設計，這樣有助于學生從上、下位聯系（縱向聯系）中，逐漸感悟知識之間的邏輯聯系。例如在《小數除法》一課中，吳正憲老師以97元買4本《格林童話》提出小數除法的問題情境，學生在問題解決過程中被97÷4所余下的1卡住：余下的1元到底該怎么分，每人到底要付多少錢呢？學生利用原有的元角分的生活經驗，以及平均分的除法知識累積，很自然地把1÷4轉換為1元怎么分，他們想把l元分成10角，還想用豎式表達。在嘗試豎式表達的過程中，可以看到學生借助元、角、分理解算理，通過轉化的辦法把小數除法轉化為整數除法的經歷。原先的除法算式被賦予了問題情境，抽象的除法問題有了實際模擬單位的情境后，數運算中的算理與單位之間的溝通，幫助學生更好地理解了小數除法。其實質也就是把“1”細分成“10個0.1”“2個0.2”細化成“20個0.02”等。

正如前文提及的，“單位”是內容上的共性，小數除法的學習從單位的角度看，理解算理的形成過程就是不斷細化單位的過程。站在更高的單位角度看“小數的認識”可以發現，溝通度量與數的認識的是單位，而聯通小數除法算理的依然是單位，借助于單位的細分，可以更好地理解小數除法是整數除法的自然延續，小數點是基于等式性質的特殊標記，是運算的結果。

（三）滲透數學思想，以整合達成簡約

數學教學中有意識地滲透數學思想，可加深學生對數學知識本質的理解，看到數學思維整合的力量。度量的學習中，學生經歷從簡單粗略的定性描述到嚴格精確的定量刻畫，是一種數學化的過程，在這一過程中要注意將學生已有的零散、粗略的知識梳理形成精確、系統的知識。

關注縱橫聯系的整體教學，不是同一水平上簡單的重復，而是要努力做到用思想上的整合替代內容上的簡單重復，讓學生感受數學抽象思想的力量，讓學生經歷運用數學推理達到思維創造。

以許衛兵老師的《千米的認識》一課為例：千米是繼分米、米之后學習的第五個長度單位，許老師在課堂上沒有簡單重復前面的學習過程，而是讓學生在自主整理已經學過的四個長度單位的基礎上，嘗試創造第五個長度單位。許老師提問：“你覺得這個長度單位會在什么位置，它和我們已經學過的長度單位之間是什么關系？”以簡約而深刻的設計引領學生帶著問題展開探究學習。學生通過大膽猜測，呈現了多種發明結果。有比毫米小的，有比米大的，許老師將大家“發明”的長度單位進行排隊，使之結構化、整體化（如圖2）。通過圖表的展示，學生體會到單位有強大的規律和魅力，加深了對數學整體性和結構性的認識，從思想方法上感受到數學的邏輯性和嚴謹性。教學中學生在之前長度單位學習的基礎上經歷了推理、創造，以理解的深刻達成數學符號化語言的簡約。

度量是一種意識，度量是一種思想，教學中要關注整體，長程設計，以統整的觀念進行單元內容上的整合，同時關注學生在學習過程中對數學思想的感悟，這樣的教學才能讓學習真發生，讓學生有真實的收獲。