連接局部遲滯非線性的時(shí)頻域動(dòng)力學(xué)降階方法

王東 張周鎖

摘要： 針對(duì)連接結(jié)構(gòu)時(shí)域和頻域的非線性振動(dòng)問題，提出一種基于局部非線性轉(zhuǎn)化的動(dòng)力學(xué)降階方法。采用Newmark法和多諧波平衡法分別將時(shí)域和頻域的非線性動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組，將整體結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)降階到僅與連接非線性相關(guān)的自由度上進(jìn)行求解，通過減小迭代過程中Jacobian矩陣的維數(shù)來提高計(jì)算效率。采用Iwan模型描述連接界面的局部遲滯非線性，利用三自由度質(zhì)量彈簧振子和連接梁結(jié)構(gòu)研究非線性動(dòng)力學(xué)分析方法的計(jì)算精度和效率。結(jié)果表明，本文建立的降階方法預(yù)測的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與現(xiàn)有的未降價(jià)方法吻合較好，提出的非線性動(dòng)力學(xué)降階方法能夠有效地減少迭代過程的計(jì)算耗費(fèi)，提高計(jì)算效率，時(shí)域方法約提高30%，頻域方法提高近70倍。

關(guān)鍵詞： 遲滯非線性; 連接界面; 動(dòng)力學(xué)降階; 多諧波平衡法; Newmark法

中圖分類號(hào)： O322? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A? ? 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）03-0559-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.03.013

引? 言

連接是復(fù)雜機(jī)械裝配結(jié)構(gòu)中不可或缺的重要組成單元，廣泛地應(yīng)用于部組件之間載荷和能量傳遞[1]。連接界面的存在引起復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特征，也是裝配結(jié)構(gòu)中的薄弱環(huán)節(jié)，嚴(yán)重地影響機(jī)械設(shè)備的可靠性、穩(wěn)定性和實(shí)用性能。動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的預(yù)測對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、優(yōu)化、控制、健康監(jiān)測有重要的作用[2?3]。

非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的預(yù)測方法主要分為時(shí)域和頻域兩大類方法[4]。時(shí)域方法又分為直接數(shù)值積分和半解析方法。直接時(shí)程積分方法包括中心差分法、Runge?Kutta法、Newmark法、Wilson?θ法等[5]。采用時(shí)程積分方法求解非線性動(dòng)力學(xué)問題需要耗費(fèi)巨大的計(jì)算資源[6]。Oldfield等采用Iwan、Bouc?Wen模型描述單螺栓連接結(jié)構(gòu)的遲滯非線性行為，利用四階Runge?Kutta法對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解[7]。Song等[8?9]和Gaul等[10]也采用時(shí)程積分法對(duì)螺栓連接結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行求解。半解析法可以直接獲得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，將非線性系統(tǒng)截?cái)酁槎鄠€(gè)考慮不同初值的線性系統(tǒng)，但需要在每個(gè)時(shí)程截?cái)帱c(diǎn)求解過渡方程，僅適用于特殊的非線性系統(tǒng)，如分段線性化模型[11]。在求解小阻尼結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，計(jì)算瞬態(tài)響應(yīng)仍需要花費(fèi)大量的計(jì)算資源，尤其是高頻激勵(lì)載荷。因此，研究者傾向于在頻域求解非線性動(dòng)力學(xué)方程[12]。

針對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，研究者提出了多種半解析的頻域近似方法，如攝動(dòng)法、平均法、漸近法、多尺度法、諧波平衡法、增量諧波平衡法等[4，13?16]。其中，諧波平衡法求解過程簡單，已經(jīng)廣泛地被用于求解非線性系統(tǒng)的周期穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。諧波平衡法將動(dòng)力學(xué)響應(yīng)展開成一系列含未知系數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，將非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程，通過匹配方程的諧波系數(shù)獲得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)非線性響應(yīng)[10，17?18]。利用諧波平衡法求解非線性動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，一般將研究對(duì)象簡化為單自由度或低自由度的等效模型，截取的諧波階數(shù)對(duì)計(jì)算精度有重要的影響，以上的研究在求解過程中普遍保留一階或較少階的諧波項(xiàng)。隨著諧波階次的增加，計(jì)算精度變高但計(jì)算量迅速增大，計(jì)算效率降低。

對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)方程的非線性項(xiàng)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，可采用混合時(shí)頻域方法對(duì)結(jié)果進(jìn)行求解。Cameron?Griffin首先將該方法應(yīng)用于求解含遲滯非線性的單自由度系統(tǒng)，基于時(shí)頻交替變換和諧波平衡法求解穩(wěn)態(tài)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。這種方法融合了頻域求解振動(dòng)方程的高效性和時(shí)域判斷非線性力的便捷性，通過快速離散傅里葉正?逆變換，反復(fù)迭代獲得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)[6，18?22]。Petrov等開發(fā)的諧波平衡法求解器FORSE （Force Response Suite）已被廣泛地應(yīng)用于摩擦系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)求解，如葉盤、發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)[23?26]。Krack等研發(fā)的開源程序NLVIB （Nonlinear Vibration）也可以用來求解非線性方程組[27?28]。兩種求解器均采用Newton's迭代法搜尋匹配的諧波系數(shù)[29?30]。由于Jacobian矩陣的病態(tài)（奇異矩陣），求解非線性響應(yīng)的迭代過程往往是條件收斂的[31?33]。在迭代過程中，Jacobian矩陣的構(gòu)造與求逆（或特征值求解）耗費(fèi)了大量的計(jì)算資源。因此，發(fā)展有效的非線性動(dòng)力學(xué)降階方法，減小Jacobian矩陣的規(guī)模，提高迭代過程的計(jì)算效率是非常必要的。

本文提出一種基于局部非線性轉(zhuǎn)化的動(dòng)力學(xué)降階方法。針對(duì)連接結(jié)構(gòu)時(shí)域和頻域非線性振動(dòng)問題，分別采用Newmark法和多諧波平衡法將非線性動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組，同時(shí)將整體結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的求解轉(zhuǎn)化到僅與連接非線性相關(guān)的自由度上進(jìn)行求解，減小迭代過程的計(jì)算規(guī)模，提高計(jì)算效率。采用Iwan模型描述連接界面的局部遲滯非線性力學(xué)行為，利用三自由度質(zhì)量彈簧振子和連接梁結(jié)構(gòu)驗(yàn)證本文的方法。

1 時(shí)域非線性動(dòng)力學(xué)降階算法

1.1 非線性動(dòng)力學(xué)方程代數(shù)化

考慮連接界面上局部非線性行為的動(dòng)力學(xué)微分方程為

式中? 分別為質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣;為動(dòng)力學(xué)響應(yīng);為局部非線性恢復(fù)力;為非線性模型的參數(shù);為外激勵(lì)力。

采用Newmark法將非線性動(dòng)力學(xué)微分方程轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組。采用逐步積分法建立由時(shí)刻到時(shí)刻的狀態(tài)向量的遞推關(guān)系。時(shí)刻的未知量，和滿足

式（9）中，時(shí)刻的位移響應(yīng)與非線性恢復(fù)力是耦合的，需要進(jìn)行迭代求解。采用Newton's迭代方法對(duì)子步的非線性響應(yīng)進(jìn)行求解，定義殘差方程為

1.2 動(dòng)力學(xué)降階方法

在機(jī)械結(jié)構(gòu)中，由連接引起的非線性往往是局部的，與非線性相關(guān)的自由度數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)的自由度。利用一位置轉(zhuǎn)換矩陣提取局部非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

利用局部坐標(biāo)中非線性恢復(fù)力構(gòu)造原物理坐標(biāo)系下的非線性恢復(fù)力。

式中? 為連接界面局部遲滯非線性恢復(fù)力。

忽略非線性自由度之間耦合特性，局部非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的迭代格式定義為

式中? 為連接非線性相關(guān)的自由度序號(hào)。

由于Jacobian矩陣的病態(tài)奇異性，非線性迭代過程往往是條件收斂的。本文采用松弛迭代原理提高迭代的收斂性能，式（16）中局部非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)不完全更新。

式中? 為松弛因子，介于0?1之間，越小，非線性響應(yīng)更新的速率越慢，但收斂性越好。

將式（16）和（17）中迭代收斂的解代回式（9）和（10）可以獲得整體結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

1.3 算? 例

如圖1所示，利用三自由度質(zhì)量彈簧振子系統(tǒng)驗(yàn)證本文的時(shí)域非線性動(dòng)力學(xué)降階方法。利用Iwan模型描述連接界面非線性恢復(fù)力

如圖2所示，基于Masing映射準(zhǔn)則[34?36]，周期性激勵(lì)載荷下Iwan模型的遲滯非線性恢復(fù)力為

基于文獻(xiàn)[37]中螺栓連接結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行仿真，參數(shù)選取為：m1=5.28 kg，m2=0.55 kg，m3=5.21 kg，k1=1.09×107 N/m，k2=1.9×107 N/m，c1=0，c2=200 N?s/m， fext=Asin（2πft）。外激勵(lì)載荷幅值，激勵(lì)頻率，計(jì)算瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)如圖3所示，各激勵(lì)頻率穩(wěn)態(tài)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)如圖4所示。

由圖3和4可知，本文方法預(yù)測的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與降階前的結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了本文方法的有效性。共振峰附近頻響曲線變平是由遲滯非線性引起的能量耗散造成的。降階前與降階之后計(jì)算耗費(fèi)對(duì)比結(jié)果如表1所示，數(shù)值仿真均在4?core Intel（R） Core（TM） i5?3470 3.2 GHz CPU上開展。結(jié)果表明，降階之后，每個(gè)子步迭代矩陣的維數(shù)有所降低，非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的計(jì)算耗時(shí)也大大減少，計(jì)算效率約提高30%。

2 頻域非線性動(dòng)力學(xué)降階算法

2.1 非線性動(dòng)力學(xué)方程代數(shù)化

利用多諧波平衡法將連接界面局部非線性恢復(fù)力、外激勵(lì)載荷與非線性響應(yīng)進(jìn)行諧波級(jí)數(shù)展開：

式中? 為諧波的階數(shù);為外載荷的激勵(lì)頻率;為穩(wěn)態(tài)非線性響應(yīng)的諧波系數(shù);和分別為激勵(lì)載荷和非線性恢復(fù)力的諧波系數(shù);為取實(shí)部算子;i=。

將式（23）?（25）代入式（1），非線性動(dòng)力學(xué)微分方程轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組

式中? 為動(dòng)剛度的逆矩陣或傳遞函數(shù)，定義為

Newton's迭代的殘差函數(shù)為

整體結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的迭代格式定義為

式（29）中，每個(gè)連接非線性自由度上動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的待求系數(shù)為項(xiàng)，包括零階常數(shù)項(xiàng)、每階諧波系數(shù)的余弦項(xiàng)系數(shù)和正弦項(xiàng)系數(shù)。

2.2 動(dòng)力學(xué)降階方法

與時(shí)域動(dòng)力學(xué)降階方法相似，連接界面上局部非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)定義為

Newton's迭代的殘差函數(shù)重新定義為

上式僅考慮與連續(xù)非線性相關(guān)的自由度上的響應(yīng)與外激勵(lì)和非線性恢復(fù)力之間的傳遞關(guān)系。

忽略各非線性自由度之間的耦合，局部非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的迭代格式為

不同于式（16）和（32），迭代矩陣的構(gòu)造與非線性恢復(fù)力和響應(yīng)的諧波系數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)相關(guān)，難以直接寫出解析的 ，本文采用普適的中心差分方法計(jì)算迭代矩陣的每一列[12]

式（33）表示局部非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的每一階諧波系數(shù)的微元變化引起的非線性恢復(fù)力的微元變化。

2.3 算? 例

如圖5所示，利用一連接梁結(jié)構(gòu)驗(yàn)證本文的頻域非線性動(dòng)力學(xué)降階方法。有限元模型含有8個(gè)線性Euler梁單元，1個(gè)非線性連接單元。兩個(gè)方向的Iwan模型用來描述連接界面上局部非線性恢復(fù)力。每個(gè)節(jié)點(diǎn)含有橫向平動(dòng)u、垂向平動(dòng)v、轉(zhuǎn)動(dòng)θ三個(gè)自由度，共計(jì)30個(gè)自由度。線性梁單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、非線性連接單元的恢復(fù)力表達(dá)式可以參考文獻(xiàn)[9，12，38?39]。

局部非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣為

式中? 為連接梁單元的長度;為寬度。

圖5中，為殘余剛度系數(shù);兩個(gè)Iwan模型的臨界滑移力，黏著剛度分別定義為

式中? 為梁單元的彈性模量;為截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

連接梁結(jié)構(gòu)的材料為鋼，密度ρ=7.85103 kg/m3，彈性模量為。激勵(lì)幅值為，激勵(lì)頻率范圍根據(jù)第一階和第三階彎曲模態(tài)頻率進(jìn)行選取，分別為和，諧波階數(shù)取10（H=10），計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，本文方法預(yù)測的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與降階前的結(jié)果吻合較好，頻響函數(shù)能夠較好地反映非線性力學(xué)行為的影響，尤其是在共振峰附近的區(qū)域。由表2可知，降階之后，Jacobian矩陣的維數(shù)大大降低，非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的計(jì)算耗時(shí)也大大減少，計(jì)算效率約提高70倍。

3 結(jié)? 論

本文提出一種基于局部非線性轉(zhuǎn)化的降階非線性動(dòng)力學(xué)算法。采用Newmark和多諧波平衡法將非線性動(dòng)力學(xué)微分方程轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組，將整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)轉(zhuǎn)化到僅與連接非線性相關(guān)的自由度上進(jìn)行求解，減小迭代過程的計(jì)算耗費(fèi)。利用含有Iwan模型的三自由度質(zhì)量彈簧振子和連接梁結(jié)構(gòu)驗(yàn)證本文的非線性動(dòng)力學(xué)降階方法。

本文方法預(yù)測的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與未降階的Newmark和多諧波平衡法的結(jié)果吻合較好。頻響函數(shù)能夠較好地反映遲滯非線性引起的能量耗散的影響，尤其是在共振峰附近。降階之后，非線性迭代過程的計(jì)算效率明顯提高，時(shí)域降階提高約30%，而頻域降階提高近70倍。

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作者簡介： 王? 東（1988-），男，助理研究員。電話：（0816）2485436; E-mail：king_east@sina.cn

通訊作者： 張周鎖（1963-），男，教授。電話：（029）82663689; E-mail：zzs@mail.xjtu.edu.cn