改進傅里葉級數法求解封口錐柱球組合殼的自由振動

張帥 李天勻 朱翔 陳旭

摘要： 提出了一種改進傅里葉級數的半解析方法分析封口錐柱球組合殼的自由振動特性。基于能量泛函，結合經典薄板理論和Love殼體理論，建立了組合結構的理論模型，研究了不同柱殼長度，不同錐球半角以及不同厚度端板下錐柱球組合殼的固有頻率。該方法下的各子殼結構位移由標準的傅里葉級數和輔助收斂函數組成，既克服了傳統傅里葉級數在子殼結構交接處的不連續性，又提高了計算的收斂精度和速度。研究表明：該方法收斂性較好，所得理論計算結果與有限元結果比較一致。通過分析固有頻率，發現改變長度，半角，端板厚度均會對錐柱球組合殼的自由振動產生較明顯的影響。

關鍵詞： 結構振動; 錐?柱?球組合殼; 圓端板; Love殼體理論; 傅里葉里茲法

中圖分類號： O327; U661.44? ? 文獻標志碼： A? ? 文章編號： 1004-4523（2021）03-0601-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.03.018

引? 言

在船舶建造、航空航天、土木橋梁等多種工程的設計中，帶圓端板的錐?柱?球組合殼結構十分常見。一般而言，在實際應用時，通常會在設計階段對組合殼結構進行必要的振動研究，否則這些組合殼體可能會因受到動態載荷的作用，產生過大的噪聲、振動甚至出現疲勞損傷。

多年來，國內外眾多學者開展了大量有關板殼振動的研究，并取得了豐碩的研究成果。Donnell，Reissner，Flügge，Love和Timoshenko等基于不同的簡化模型、假設條件以及近似結果，發展并充實了各種板殼理論。這些工作已經由Leissa[1?2]和Qatu[3]進行了較為系統全面的總結。近年來，一些新的方法被應用在分析板殼振動特性的問題上。但應該指出的是，大多數文獻集中于基本的單板、單殼結構的研究，如圓板、環扇形板、矩形開口板、圓柱殼、圓錐殼和球殼，而很少分析組合殼的振動特性。Irie等[4?5]采用傳遞矩陣法研究了圓板，環板以及錐?柱組合殼的振動特性。Li[6]在薄板邊界上添加一組線簧和卷簧分別模擬四條邊界的剪應力和彎矩，把所有位移函數表示為一個雙重傅里葉級數與多個輔助函數的和，然后代入控制微分方程，求得薄板彎曲振動的半解析解。Bauer等[7]利用解析的冪級數方法分析了固支，簡支，自由和混合邊界條件下圓板的振動問題。Bashmal等[8]求解了四種典型邊界圓（環）板的面內自由振動問題，采用Rayleigh?Ritz法獲得了自由振動固有頻率和相應的振型。史冬巖等[9]利用改進傅里葉級數方法，計算了任意邊界條件下的環扇形板的面內振動特性。李天勻等[10]基于Rayleigh?Ritz法，選用切比雪夫級數為位移函數，求解得到了含任意形狀內開口的矩形板自由振動的固有頻率。Efraim和Eisenberger[11]通過冪級數解分析了分段軸對稱殼體的自由振動特性，得到了較為精確的固有頻率。Caresta和Kessissoglou[12]提出了一種經典的計算錐柱組合殼自由振動特性的方法。在此方法中，圓柱殼的運動方程用波傳播法求解，圓錐殼的運動方程用冪級數近似求解。最后，利用錐柱交接處的連續性條件，求出組合殼結構的固有頻率。Li等[13]采用半解析方法分析了均勻階梯拋物面殼、圓柱殼和球殼的組合結構在任意邊界條件下的自由振動特性。瞿葉高等[14]提出了一種改進的變分法來分析加環肋的錐?柱?錐組合殼在不同邊界條件下的自由振動，理論模型結合了改進的變分法與最小二乘加權殘差法，將組合殼結構劃分為適當的殼段，并對殼段界面施加所有必要的連續性約束。計算結果與有限元對比，具有較高的一致性。鄒明松等[15]基于經典彈性板殼理論，提出了一種半解析方法研究了兩端圓板封閉圓柱殼的自由振動。Xie等[16]通過波傳播法研究了彈性邊界條件下薄環形圓板與圓柱殼結構彈性耦合的自由振動和受迫振動特性。

迄今為止，前文提到的大部分文獻都集中在單板、單殼，或者組合殼在經典邊界或彈性邊界下振動問題的研究，鮮有文獻分析帶端板的組合殼結構的振動特性。

本文的主要目的是建立帶圓端板的錐柱球組合結構的振動分析理論模型，分析該模型的自由振動特性，討論端板對組合殼振動的影響。其中，圓端板的能量方程由薄板理論構建，并考慮面內振動的影響;錐殼，柱殼，球殼的能量方程均由經典Love薄殼理論構建。在不考慮邊界條件的情況下，各子結構的位移函數均由標準傅里葉級數和封閉形式的輔助收斂函數組成。引入輔助收斂函數不僅可以消除邊界和子結構之間的所有潛在不連續點，而且可以保證和加快傅里葉級數展開的收斂。通過與有限元計算結果的比較，驗證了本文方法的準確性和收斂性。同時，本文還分析了錐殼半頂角，球殼半開角及圓柱殼的長度對整體結構自由振動特性的影響。

1 理論推導

1.1 理論模型描述

本文研究的帶圓端板的錐?柱?球結構可以看作是由兩個薄圓板和錐、柱、球殼組合而成。其幾何結構、圓板的坐標系（r， θ， z）和殼體的坐標系（x， θ， z）如圖1所示，端板處位移的左視圖和正視圖以及球殼處位移的右視圖分別如圖2和3所示。假設圓錐殼、圓柱殼、球殼是由各向同性且勻質等厚的材料構成。圓錐殼、圓柱殼、球殼中面上的任一點的軸向、周向、法向位移分別是uz，vz，wz，uc，vc，wc，us，vs，ws。截頂圓錐殼小端截面的中面半徑為R1，錐半頂角為α，長度為Lz;圓柱殼的長度為Lc，R2為圓錐殼大端、圓柱殼以及右端開口球殼截面的中面半徑，φ0為球殼的半開角，三者的厚度滿足 hz=hc=hs，彈性模量為E，泊松比為μ，密度為ρ。假設兩圓端板也是由各向同性且勻質等厚的材料構成，其端板中面上的任一點的徑向、周向、橫向位移分別是ubl，vbr，wbl，ubr，vbr，wbr，其半徑、厚度、彈性模量、泊松比、密度分別為Rbl，Rbr，hbl，hbr，Ebl，Ebr，μbl，μbr，ρbl，ρbr。

1.2 結構能量方程

根據薄板理論[1]，可以得到極坐標系下薄圓板的彎曲變形能為

式（1）?（4）中? 下標i（i=bl，br）分別表示左端板，右端板;dA=rdrdθ;ρi，μi，hi分別表示圓板的密度，泊松比，厚度;ui，vi，wi分別表示圓板的徑向、周向、橫向的位移;Di=Eihi3/[12（1-μi2）]表示圓板的抗彎剛度，Gi=Eihi/（1-μi2）表示圓板的拉伸剛度，其中，Ei為楊氏模量。

根據基爾霍夫假設和經典Love殼體理論，可以將圓錐殼、圓柱殼、球殼的中面線應變、切應變以及曲率改變量和扭率改變量用以下方程表示[2]：

式中? 下標i（i=z，c，s）分別表示圓錐殼、圓柱殼、球殼;αi，βi代表殼體的軸向和周向;εαi，εβi表示線應變，εαiβi表示切應變，kαi，kβi表示中面的曲率改變量，ταiβi表示中面的扭率改變量;ui，vi，wi分別是殼體軸向、周向、法向位移;Ai，Bi表示殼體的拉梅系數，Rαi，Rβi表示殼體軸向和周向的曲率半徑，具體可參見表1。

由經典Love殼體理論可知，忽略一些小量可以得到殼體中面的線性應變表達式：

式?中? dS=dxidθI;Ki=Eh/（1-μ2），Di=Eh3/[12（1-μ2）]分別表示殼體的薄膜剛度和彎曲剛度。

同理，各子殼結構的動能可以表示為

1.3 結構連續條件

為了保證結構的完整性，本文采用人工彈簧技術模擬板、殼及殼、殼交接位置處的耦合條件，從而來滿足各子結構在連接處位移、轉角以及力、力矩的連續性。最后再根據位移轉角的協調性條件，分別得到不同部分之間儲存在彈簧中的勢能。下面以錐殼?柱殼為例說明連接處的耦合條件，具體參數如圖4所示，其中：kzcu，kzcv，kzcw，kzcθ分別表示沿子殼連接邊界線性分布的三組線彈簧和一組轉動彈簧。

由板殼力學知識可知，結構連接處需要滿足內力和內力矩的受力平衡，結合圖4可以得到錐殼?柱殼連續性方程：

式（19）?（27）中? Nc，Ncθ表示殼的中面內力;Qc表示橫向剪力;Mc表示彎矩;Mcθ表示扭矩;kblzu，kblzv，kblzw，kblzθ分別表示xbl=R1，xz=0處位移和轉角約束的彈簧剛度值;kzcu，kzcv，kzcw，kzcθ分別表示xz=Lz，xc=0處位移和轉角約束的彈簧剛度值;kcsu，kcsv，kcsw，kcsθ分別表示xc=Lc，xs=0處位移和轉角約束的彈簧剛度值;ksbru，ksbrv，ksbrw，ksbrθ分別表示xs=Ls，xbr=Rbr處位移和轉角移約束的彈簧剛度值。

1.4 結構位移方程

采用不同的位移方程對計算結果的精度會有一定的影響。常用可選的位移函數有切比雪夫多項式、雅克比多項式、勒讓德多項式等。本文選用的是由標準傅里葉級數和輔助收斂函數組成的改進的傅里葉級數，它不僅可以消除邊界以及子結構耦合界面之間所有潛在的不連續點，而且可以加快傅里葉級數展開的收斂速率[6]，因此采用改進的傅里葉級數作為本文結構的位移方程，在數值結果的計算精度以及求解速度上，都具備一定的優勢，其具體形式如下

式（28）?（32）中? 下標i（i=bl，z，c，s，br）分別表示左端板，圓錐殼、圓柱殼、球殼、右端板;λm=mπ/Li，m=0，1，2，…為殼體振動的軸向波數，n=0，1，2，…為殼體振動的周向波數;ω為角頻率，t為時間;M，N為位移函數的截斷項數。

帶圓端板的錐?柱?球結構的拉格朗日能量泛函L可表示為

式中? K為結構的剛度矩陣，M為結構的質量矩陣，ω為角頻率。求解方程（36）可以得到組合殼自由振動的各階固有頻率及其相應的特征向量。

2 算例分析

為了驗證方法的收斂性和準確性，本文給出了一些關于帶圓端板的錐?柱?球結構自由振動的算例分析。結構的幾何參數和材料參數選取值如下：R1=Rbl=0.4 m，R2=1 m，Lz=1.2 m，Lc=2.5 m，h=hz=hc=hs=0.01 m，α=30°，φ0 =30°，E=210 GPa，μ=0.3，ρ=7800 kg/m3，hb=hbl=hbr=0.01 m，Ebl= Ebr=210 GPa，μbl=μbr=0.3，ρbl=ρbr=7800 kg/m3，求解組合殼自由振動時，選取的邊界條件為自由邊界條件，各子殼連接處約束位移以及轉角的無量綱彈簧剛度k=1014。為了便于數據分析，這里引入無量綱頻率參數，其表達式為：。

2.1 收斂性分析

位移函數截斷項M，N的取值對計算結果的精度有較大影響。改變截斷項數M，N，忽略組合殼結構在自由邊界條件下的前6階剛體模態值，通過理論計算和FEM兩種方法分別得到了無端板和帶端板組合結構自由振動前10階無量綱頻率，結果如表2所示（其中FEM方法中組合殼模型由殼單元構建，下文不再贅述）。

由表2可知，無端板和帶端板的組合結構自由振動無量綱頻率隨著M的增大而逐漸趨于穩定，最終結果與有限元法的計算結果吻合較好。對比兩種方法的計算時間：在配置為Intel Core I5?7500 CPU、主頻為3.40 GHz、內存為16 GB、64位操作系統的PC機上，該方法計算一種工況下的固有頻率需要95 s，FEM方法計算一種工況下的固有頻率需要310 s，需要說明的是這里僅是FEM的計算時間，未包含建模的時間。因此，綜合收斂速度和計算精度兩個方面的考慮，在該方法下，當M=12時已滿足本文的計算要求。

2.2 準確性分析

擬從改變組合殼結構中的圓柱殼長度及錐殼、球殼的半開口角兩個方面來驗證所用方法計算組合殼自由振動的準確性。

2.2.1 圓柱殼長度對組合結構自由振動的影響

圓柱殼作為組合殼結構的主要組成部分之一，改變圓柱殼的幾何材料參數均會對組合殼結構的振動產生較大的影響。在第2.1節給定幾何參數和材料參數的基礎上，僅改變圓柱殼的長度，即圓柱殼的長度分別為2.5，10，25 m，忽略組合殼結構在自由邊界條件下的前6階剛體模態值，通過理論計算和FEM兩種方法得到的組合殼前8階的自由振動無量綱頻率，如圖5所示。

分析圖5可知，組合殼結構自由振動的固有頻率隨模態階數的增大而相應增大，同時也隨圓柱殼長度的增加而顯著減小。對比發現，當圓柱殼長度遠遠大于組合結構其他組成部分的最大尺度時，此時圓柱殼在影響組合結構的固有頻率中起著主導地位，結構的“梁式模態”效應顯著，因此圓柱殼越長，組合結構的固有頻率越小。

2.2.2 半頂角和半開角對組合結構自由振動的影響

通常最能決定錐球殼結構形狀的是其半頂角以及半開角，在第2.1節給定幾何參數和材料參數的基礎上，僅僅改變錐殼的半頂角和球殼半開角，忽略組合殼結構在自由邊界條件下的前6階剛體模態值，通過理論計算和FEM兩種方法得到了多種角度組合下，帶端板錐柱球結構前8階的自由振動無量綱頻率，具體組合形式以及結果對比，如表3?5所示。

由表3?5可知，改變錐殼半頂角及球殼半開角會顯著地影響組合結構的固有頻率，并使之呈現一定的變化規律：單一保持錐殼或是球殼的開口角不變，增大或減小另一結構的開口角，整體結構的固有頻率均會隨之增大或者減小。同時發現，采用本文方法計算得到高階模態下的固有頻率與有限元方法的結果吻合較好，表明了本文方法的準確性。

2.3 端板厚度對錐柱球結構自由振動特性的影響

現階段，大部分研究都只關心組合殼結構在經典邊界或彈性邊界下的振動問題，很少有文獻分析端板給組合結構帶來的影響。在第2.1節給定幾何參數和材料參數的基礎上，選取組合殼結構的邊界條件為自由邊界，分別以殼體厚度h=10 mm，h=15 mm，h=20 mm，h=25 mm作為4種工況，改變對應兩端端板的厚度hb，為了方便規律的表達，令ζ=hb/h，即可得到下面一系列ζ與無量綱頻率Ω的變化曲線，如圖6所示。

由圖6可知：4種工況下，本文方法與FEM計算得到的結果具有較好的一致性;組合結構無量綱頻率Ω隨著端板厚度與殼體厚度之比ζ的變化曲線具有較一致的趨勢，即ζ達到一定的閾值后，無量綱頻率趨于穩定。究其原因，是因為改變端板的厚度，相當于改變端板的等效剛度，當端板的等效剛度到達一定值時，錐殼小端以及球殼尾端三個方向的位移受到了較大的限制，從而使得結構的固有頻率幾乎不再改變。對比單個圖形，趨于穩定的無量綱頻率值與殼體厚度密切相關，殼體厚度越大，對應的無量綱頻率值越大。另外，不同工況下無量綱頻率值穩定點對應的閾值也各不相同，但該處的閾值會隨殼體厚度的增加而在一定范圍內呈現下降的趨勢。

3 結? 論

本文基于能量泛函，采用一種改進的傅里葉級數方法求解了帶圓端板的耦合錐?柱?球結構的自由振動。建立了帶圓端板的錐?柱?球組合殼結構理論模型，本文采用人工彈簧技術模擬耦合界面板、殼及殼、殼交接位置處的約束條件，從而來滿足各子殼結構在交接處位移和轉角以及力和力矩的連續性。最后應用Rayleigh?Ritz法計算求解結構的固有頻率，通過與有限元方法計算的結果比較，驗證了本文方法的準確性和收斂性，綜合全文可以得到以下結論：

1.通過對本文方法的收斂性以及準確性分析，并將其計算的結果與有限元對比，兩種方法的計算結果具有較高的吻合度，證明了本文方法的正確性與可行性。

2.帶圓端板的錐?柱?球結構的自由振動特性與其組成部分的圓柱殼長度，圓錐殼的半頂角以及球殼的半開角密切相關。當圓柱殼長度增大，此時組合結構的“梁式模態”效應顯著，其固有頻率反而會減小;單一保持錐殼或是球殼的開口角不變，增大或減小另一結構的開口角，組合殼結構的固有頻率均會隨之增大或者減小。

3.改變兩端板厚度對錐?柱?球結構自由振動特性具有較大的影響。組合殼結構無量綱頻率Ω隨著端板厚度與殼體厚度之比ζ的變化曲線在不同條件下具有一致的趨勢，即ζ達到一定閾值后，無量綱頻率趨于穩定。這一規律，對不同形狀封口組合殼結構的設計及其振動分析具有一定的工程指導意義。

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作者簡介： 張? 帥（1993-），男，博士研究生。E-mail： zhang_shuai@hust.edu.cn

通訊作者： 李天勻（1969-），男，教授。E-mail： ltyz801@hust.edu.cn